Gerade/Ungerade Funktionen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Do 24.01.2008 | | Autor: | thb |
| Aufgabe | | [mm] \begin{gathered}
f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\
f{\text{ gerade}}{\text{, falls }}f( - t) = f(t)\,{\text{und }}f{\text{ ungerade}}{\text{, falls }}f( - t) = - f(t){\text{, }}t \in \mathbb{R}{\text{.}} \hfill \\
{\text{Z}}{\text{.z}}{\text{.:}} \hfill \\
{\text{1}}{\text{.) }}f{\text{ diff'bar und gerade }} \Rightarrow {\text{ }}f'{\text{ ungerade}} \hfill \\
{\text{2}}{\text{.) }}f{\text{ diff'bar und ungerade }} \Rightarrow {\text{ }}f'{\text{ gerade}} \hfill \\
\end{gathered} [/mm] |
Hallo allerseits.
Es geht um gerade bzw. ungerade Funktionen und wie sich dies beim Ableiten verhalten.
Ich hab schon was zustande gebracht aber fürchte, dass das noch nicht ganz schlüßig ist...bitte gibt mir ein Tipp.
[mm] \begin{gathered}
{\text{Ist }}f{\text{ an einer beliebigen Stelle }}a > 0{\text{ diff'bar so ex}}{\text{. }}\mathop {\lim }\limits_{t \to a} \frac{{f(t) - f(a)}}
{{t - a}} = f'(a). \hfill \\
{\text{Fü r - }}a{\text{ gilt dann enstprechend: Es ex}}{\text{.: }}\mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(t) - f( - a)}}
{{t - ( - a)}} = f'( - a). \hfill \\
{\text{Mit }}f( - a) = f(a){\text{ gilt dann:}} \hfill \\
f'( - a) = \mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(t) - f( - a)}}
{{t - ( - a)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(t) - f(a)}}
{{t + a}} = - \mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(a) - f(t)}}
{{t + a}} = - f'(a){\text{.}} \hfill \\
\Rightarrow {\text{ }}f'{\text{ ungerade}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{Ist }}f{\text{ an einer beliebigen Stelle }}a > 0{\text{ diff'bar so ex}}{\text{. }}\mathop {\lim }\limits_{t \to a} \frac{{f(t) - f(a)}}
{{t - a}} = f'(a). \hfill \\
{\text{Fü r - }}a{\text{ gilt dann enstprechend: Es ex}}{\text{.:}}\mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(t) - f( - a)}}
{{t - ( - a)}} = f'( - a). \hfill \\
{\text{Mit }}f( - a) = - f(a){\text{ gilt dann:}} \hfill \\
f'( - a) = \mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(t) - f( - a)}}
{{t - ( - a)}}{\text{ = }}\mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(t) + f(a)}}
{{t + a}}{\text{ = }}f'(a){\text{.}} \hfill \\
\Rightarrow {\text{ }}f'{\text{ gerade}}{\text{.}} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Do 24.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn f gerade ist, dann folgt,
[mm] \bruch{d}{dt}f(-t)=-\bruch{d}{dt}f(-t)=-\bruch{d}{dt}f(t)
[/mm]
also ist f' ungerade
wenn f ungerade ist, dann folgt
[mm] \bruch{d}{dt}f(-t)=-\bruch{d}{dt}f(-t)=\bruch{d}{dt}f(t)
[/mm]
also ist f' ungerade.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Do 24.01.2008 | | Autor: | thb |
Hallo und danke für die rasche Antwort. Die Frage war eigentlich nur, ob mein Ausführungen auch zulässig und schlüssig sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Do 24.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Weg ist auch richtig, allerdings find ich die Stelle:
[mm] $\mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{f(t) - f(a)} [/mm] {t + a} = - [mm] \mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(a) - f(t)}} [/mm] {{t + a}} $
etwas kritisch. das ist zwar richtig, mit t=a+h bzw t=a-h usw, wärs aber klarer, sonst musst dus erklären, ich weiss aber nicht, wie das dein Korrektor sieht.
Gruss leduart
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