Gerade + Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Die Gerade g1 und g2 seien festgelegt durch:
g1 : P1 (0|1|0) ; [mm] \vec{a1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
g2 : P2 (2|4|0) ; [mm] \vec{a2} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
a.)
Zeige das die Gerade g1 u. g2 windschief sind!
b.)
Die Ebene E enthält die Gerade g1 und verlaufen parallel zu g2. Ermittle den Abstand des Punktes P(4|6|5) von der Ebene E!
c.) Ermittle den Abstand der beiden Geraden g1 u. g2 und bestimme die Gleichung der Geraden g, in der das gesamte Lot von g1 und g2 liegt!
d.) Untersuche ob es eine Gerade h gibt, die durch den Punkt P (6|2|8) geht und der Geraden 1 u. 2 schneidet. |
Hier brauche ich mal wieder ganz doll eure Hilfe,
denn ich komme überhaupt nicht weiter :-(
Naja,
erstmal ganz ruhig ;)
a.)
Wenn gilt :
(P1-P2) [mm] \* \bruch{\vec{v}}{|\vec{v}|} [/mm] ist ungleich 0, dann müssen die Geraden Windschief sein (oder einen Schnittpunkt haben).
Leider weiß ich nicht genau, wie ich das unterscheiden kann?
Gibts da einen einfach Trick?
[mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
Dies ergibt sich, durch Kreuzprodukt Multiplikation der beiden Richtungsvektoren.
Also ergibt sich:
[mm] \bruch{8}{3}, [/mm] da dies ungleich 0 ist, sind die Geraden Windschief zueinander.
b.)
Hier habe ich mehr Probleme.
Zuerst einmal weiß ich nicht was damit gemeint ist :
"Die Ebene E enthält die Gerade g1 und verlaufen parallel zu g2"
Ich weiß nicht, wie ich daraus eine Ebenengleichung bekommen soll? Einfach die Gerade übernehmen + weiteren Richtungsvektor?
Oder wie?
Für Parralelität muss gelten :
[mm] \vec{a} \* \vec{n} [/mm] = 0
Wie ich dann Abstände berechne ist mir klar, nur verstehe ich nicht wie ich an die Ebenengleichung rankommen soll :-(
c.)
Auch hier gibt es wieder Probleme:
Der 1. Teil ist in Ordnung.
Abstand der beiden Geraden.
Also ich rechne das so :
Zuerst nehme ich mir den Ortsvektor der 1. Gerade.
Die ist der Punkt, mit dem ich den Abstand zur Gerade 2 dann berechne.
P = [mm] \vektor{0\\ 1 \\ 0}
[/mm]
Formel lautet:
[mm] \vec{v} \* ((P_g_2 [/mm] -P1) + s* [mm] \vec{a_2} [/mm] ) = 0
[mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 2}\* ((\vektor{2 \\ 3 \\ 0}) [/mm] +s* [mm] (\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}) [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] -2 +2s -6 + 2 s = 0
8 = 4s
s = 2
d = | [mm] \vektor{-4 \\ 0\\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{ 0 \\ -1 \\ 0} [/mm] |
= | [mm] \vektor{-4 \\ -1\\ 2} [/mm] |
d = [mm] \wurzel{21}
[/mm]
Wäre das so richtig?
Den 2. Teil der Aufgabe verstehe ich gar nicht.
Weiß überhaupt nicht was und wie ich das machen soll.
Wäre gut wenn irh mir helft.
d.)
Weiß nur aus der Schule das es keine Gerade gibt.
Aber wieso?
Weiß auch hier nicht was ich machen soll...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Sa 01.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
a)
Was ist in deiner Formel das v?
Das kommt nirgendwo vor.
Um zu prüfen ob Geraden windschief sind, suchst du erstmal nach einem Schnittpunkt, also
[mm] P_1+\lambda*a_1=P_2+\mu*a_2
[/mm]
Gibt es solche [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu, [/mm] die diese Gleichung erfüllen, wenn ja, gibt es einen Schnittpunkt, wenn nicht könnten die Geraden trotzdem noch parallel sein, das prüfst du mit [mm] \lambda*a_1=a_2, [/mm] also ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind, wenn nicht, sind die Geraden wirklich windschief.
b)
Die Ebene beinhaltet [mm] g_1, [/mm] also musst du den Aufpunkt der Ebene auf [mm] g_1 [/mm] wählen, da bietet sich ja grad [mm] P_1 [/mm] an. Dann brauchst du 2 Vektoren, die die Ebene aufspannen. Mit [mm] a_1, [/mm] liegt dann [mm] g_1 [/mm] in der Ebene, mit [mm] a_2 [/mm] als 2. Richtungsvektor, liegt die Ebene parallel zu [mm] g_2.
[/mm]
Also [mm] E:x=P_1+\lambda*a_1+\mu*a_2
[/mm]
Jetzt der Abstand, erstelle eine Hilfsgerade durch P und senkrecht zur Ebene. Das geht in etwa so: [mm] h:x=P+\lambda*a_1\times a_2
[/mm]
Mit dem Kreuzprodukt bekommst du ja einen Vektor, der senkrecht auf [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] steht. Diese Gerade schneidest du mit deiner Ebene und berechnest den Schnittpunkt S. Der Abstand P zu S ist jetzt der Kürzeste Abstand zwischen P und Ebene E.
c)
Abstand 2er Geraden. Dazu nimmst die die Ebene E, denn diese beinhaltet [mm] g_1 [/mm] und ist parallel zu [mm] g_2. [/mm] Das heißt jeder Punkt von [mm] g_2 [/mm] hat zu E den selben Abstand und das ist auch der Abstand der 2 Geraden. Also wieder Abstand Punkt, Ebene wie in Aufgabe b. Der Punkt auf [mm] g_2 [/mm] ist beliebig, also kannst du ja [mm] P_2 [/mm] wählen.
Das mit dem Lot weiß ich jetzt auf die Schnelle selber nicht.
d)
Wenn du die Bedingungen mal aufstellst, die deine Gerade erfüllen muss, um [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] zu schneiden, kommst du auf dieses Gleichungssystem:
[mm] h=P+\lambda_1\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=P_1+s*a_1
[/mm]
[mm] h=P+\lambda_2\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=P_2+t*a_2
[/mm]
Jetzt hast du die unbekannten Variablen [mm] v_1, v_2, v_3, \lambda_1, \lambda_2, [/mm] s und t.
7 Stück, aber nur 6 Gleichungen
Versuch das mal aufzulösen, das wirst du bestimmt irgendwie zu der Erkenntniss kommen, das das ganze nicht möglich ist.
Gruß
Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Kristof |
zu b.)
Du sagtest ich soll eine Schnittgerade erstellen, die sich mit der Ebene schneidet.
Dort wäre dann der Abstand vom Schnittpunkt und dem Punkt 1 der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene.
Habe ich gemacht.
Bis auf einen kleinen Teil am Schluss :-(
Schnittgerade :
h: [mm] \vektor{4 \\ 6 \\ 5 } [/mm] + t* [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 2 }
[/mm]
Wenn ich diese jetzt mit der Ebene gleichsetze, die lautet :
E : [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + t* [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1 } [/mm] + k* [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
so erhalte ich für :
s = 10
t = 24
k = 43
Und als Schnittpunkt erhalte ich [mm] \vektor{-20 \\ -42 \\ 53 }!
[/mm]
Nun verstehe ich aber nicht wie du das meinst, der Abstand zwischen Punkt und Schnittpunkt?
Wie errechne ich das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 So 02.12.2007 | | Autor: | Kristof |
Kann mir denn bei dieser Frage keiner helfen?
:-(
Muss irgendwie die Aufgabe noch rechnen, schreib morgen Vorabi...
Wäre lieb.
MfG
Kristof
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 So 02.12.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kristof,
Du hast doch den Punkt P vorgegeben, durch den geht die Gerade durch, die senkrecht auf der Ebene steht. Die Geradengleichung hast Du gerade ausgerechnet (später noch mehr dazu).Wo diese Gerade die Ebene schneidet, hast Du durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen auch bestimmt. Diesen Schnittpunkt, nennen wir ihn S, hast Du auch bestimmt. Der Abstand zwischen zwei Punkten P und S ist einfach der sogenannte euklidische Abstand, der sich durch das Quadrat der Differenzen der Koordinaten der beiden Punkte ergibt.
Mit
$$ P = [mm] \vektor{ P_x \\ P_y \\ P_z} [/mm] $$ und
$$ S = [mm] \vektor{ S_x \\ S_y \\ S_z} [/mm] $$ bekommt Du ale Abstand einfach
$$ d = [mm] \wurzel{(P_x - S_x)^2 + (P_y - S_y)^2 + (P_z - S_z)^2} \, [/mm] . $$
Schaue doch bitte noch mal nach dem Vektorprodukt. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste die dritte Komponente auch -2 und nicht 2 lauten. Das Produkt der beiden Komponenten ist positiv, es steht aber ein Minuszeichen aus der Determinantenberechnung davor.
Damit ändert sich auch natürlich Dein Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 So 02.12.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kristof,
habe meine Antwort an Deine zweite Frage gehängt. Schaue doch noch mal nach dem Vektorprodukt. Bei der dritten Komponente sollte das Vorzeichen gerade ungedreht sein, also auch -2 betragen.
Gruß,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 So 02.12.2007 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof,
> habe meine Antwort an Deine zweite Frage gehängt. Schaue
> doch noch mal nach dem Vektorprodukt. Bei der dritten
> Komponente sollte das Vorzeichen gerade ungedreht sein,
> also auch -2 betragen.
> Gruß,
> Infinit
Ja,
da hast du recht.
Muss mir ein kleiner Fehler unterlaufen sein.
Aber jetzt ergibt sich ein weiteres Problem. Dadurch, dass ich jetzt - 2 habe, lässt sich das Gleichungssystem nicht mehr so ohne weiteres lösen :-(
Das Gleichungssystem wäre nun :
I 4 - 1t = -2s
II 6 - 2t = 1- 1p
III 5 - 2t = 1p + 1s
Das kann man gar nicht lösen :-(
Bzw. kann ich es nicht.
Wäre nett wenn es jemand zeigen könnte, wie man dieses Lösen muss.
MfG
Kristof
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
Was spricht dagegen, dieses Gleichungssystem zu lösen? Bringe mal alle Variablen auf eine Seite und die Absolutglieder auf die andere Seite.
Dann kann man das Gleichungssystem wie gewohnt (z.B. mittels  Gauß-Algorithmus) lösen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
