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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Di 04.08.2009 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | | Bestimmen sie den geometrischen Mittelpunkt einer Achtelkugeloberfläche F um 0 mit Radius [mm] R: F= [mm] \{ (x,y,z) \left | x^2 + y^2 + z^2 = \mathrm R^2 ; x,y,z \ge 0 \} [/mm] |
Hallo,
Wollte hier den geometrischen Mittelpunkt ganz locker flockig mit [mm] \vex x_{\text{Geo}} = \bruch{1}{\color{red} L} \color{black} \int_C \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} ds [/mm] berechnen.
Aber dann hab ich gestutzt, das ist ja hier ne Oberfläche und nicht eine Linie/Kurve/Bogenlänge.
Wie rechne ich denn von einer Oberfläche den geometrischen Mittelpunkt aus?
Rechne ich zuerst die Oberfläche über [mm] O= \iint \sqrt{1+f_x^2 +f_y^2 } * d(x,y) [/mm] aus? und teile dann nicht durch [mm] \bruch{1}{\color{red} L} [/mm] (vor dem Integral) sondern durch [mm] \bruch{1}{\color{red} O} [/mm] ?
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Di 04.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich kenne nur den Begriff "Flaechenmittelpunkt", der dann auch ausserhalb der Flache liegen kann,
der ist definiert als
[mm] \vec{x_M}=1/A*\integral_{A}{\vec{x}*d\vec{A}}
[/mm]
Oberflaeche der Kugel darf man wohl dabei wissen und damit A nicht erst ausrechnen.
zur Kontrolle: hier muss er auf der Raumdiagonalen des 1.ten Quadranten liegen. und ich wuerde in Kugelkoordinaten rechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Di 04.08.2009 | | Autor: | Nickles |
ok, und [mm] d \vec A = ds = \sqrt{1+f_x^2 + f_y^2} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Di 04.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein. 1. dA ist ein Vektor, der senkrecht auf der Flaeche steht. in polarkoordinaten ist sein Betrag: [mm] r^2*sin(\theta) d\phi d\theta
[/mm]
und sicher nicht ds, ds ist ein linienteil, dA ein Flaechenteil
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Di 04.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Wenn ich jetzt die Formel für den Flächenmittelpunkt nutze und [mm] d \vec A = \mathrm R^2 * \sin \vartheta * d \vartheta , \varphi [/mm] sowie [mm] \bruch{1}{8} A_O = \bruch{\pi r^2}{2} [/mm] sollte ich ja den Mittelpunkt ausrechnen können oder?
Wobei ich wohl aus [mm] \begin{pmatrix} x_m \\ y_m \\ z_m \end {pmatrix} = \bruch{1}{A} \int_A \vec x * d \vec A \rightarrow \bruch{1}{\bruch{1}{8} A} \color{red} \iint_A \color{black} \vec x * \mathrm r^2 * \sin \vartheta * d \vartheta, \varphi [/mm] ein Doppelintegral machen muss oder? da ich ja nach [mm] \vartheta [/mm] sowie nach [mm] \varphi [/mm] integriere oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Di 04.08.2009 | | Autor: | elmer |
Hi!
Das es ein Doppelintegral wird stimmt zwar, aber ich glaube dir fehlen ein paar wichtige dinge. Du mußt am besten leduarts Tipp befolgen, hierzu musst Du Kugelkoordinaten kennen und kannst dann dein integral mit hilfe der Transformationsformel für Gebietsintegrale auf Kugelkoordinaten transformieren. Auch fehlen dir noch die Grenzen der Integrale, hierüber mußt Du dir auch noch Gedanken machen. Also, sieh dir die Transformationsformel und Kugelkoordinaten an.
Bis denne
elmer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Di 04.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Kugelkoordinaten sind mir schon klar, hatte da nur noch ein x drinstehen, [mm] \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r* \sin \vartheta * \cos \varphi \\ r* \sin \vartheta * \sin \varphi \\ r * \cos \vartheta \end{pmatrix} [/mm]
Meinst du mit Transformation auf Gebietsintegrale die Einführung von neuen "krummlinigen" Koordinaten (u,v) ?
mit [mm] x_1 = x_1(u,v) [/mm] sowie [mm] x_2 = x_2(u,v) [/mm] ? Hab das was gelesen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Di 04.08.2009 | | Autor: | elmer |
Ja, genau. Du bist auf dem richtigen Weg! Weiter da.
lg
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:25 Di 04.08.2009 | | Autor: | Nickles |
also [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r* \sin u * \cos v \\ r* \sin u * \sin v \\ r* \cos u \end{pmatrix} [/mm] ?
Aber in welcher Form hilft mir das weiter? Dieses dann einfach in die Flächenmittelpunktformel einsetzen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 04.08.2009 | | Autor: | Nickles |
So habe noch weiter versucht irgendwas hier zu durchblicken und habe nun folgende Vermutung:
Kann es sein, das man bei $ [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} r\cdot{} \sin u \cdot{} \cos v \\ r\cdot{} \sin u \cdot{} \sin v \\ r\cdot{} \cos u \end{pmatrix} [/mm] $ für jedes einzelne $ [mm] x_1 [/mm] $ , $ [mm] x_2 [/mm] $ , $ [mm] x_3 [/mm] $ einzeln die Berechnung durchführen muss ?
Also dann für $ [mm] x_3 \rightarrow \bruch{2}{\pi r^2} \iint_A [/mm] r * [mm] \cos [/mm] u [mm] \cdot{} \mathrm r^2 \cdot{} \sin [/mm] v [mm] \cdot{} [/mm] d v, u $
Und für $ [mm] x_2 \rightarrow \bruch{2}{\pi r^2} \iint_A [/mm] r * [mm] \sin [/mm] u * [mm] \sin [/mm] v [mm] \cdot{} \mathrm r^2 \cdot{} \sin [/mm] v [mm] \cdot{} [/mm] d v, u $ ?
Oder liege ich hier nun komplett verkehrt?
Die Grenzen..mhm naja kann ich leider auch nicht einschätzen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Di 04.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Ja, quasi drei rechnungen... Die Ansätze sehen richtig aus, hab da aber nur flüchtig drübergeguggt. Um Platz zu sparen schreibt man das imho normalerweise als vektorwertiges integral hin, also einfach alle 3 rechnungen in einer spalte. Von diesem "geometrischen Mittelpunkt" sollte man imho lieber als von einem Masseschwerpunkt denken, das erscheint mir irgendwie anschaulicher. Denn da weiß man, wie man den schwerpunkt für 2 Punkte berechnet. Und wenn man das weiß, kann man auch sofort alle Formeln für Kurven und Flächen und Zig-dimensionale Kartoffeln hinschreiben.
> Die Grenzen..mhm naja kann ich leider auch nicht einschätzen
Wie hast du denn dann die "Gesamtmasse" [mm] $\frac{\pi r^2}{2}$ [/mm] berechnet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Di 04.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Einfach nachgeschaut was die Oberfläche der Kugel ist und durch 8 geteilt :D
Also dann so $ [mm] \vec x_M [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi r^2} \iint_A [/mm] (r* [mm] \sin [/mm] u * [mm] \cos [/mm] v,r * [mm] \sin [/mm] u * [mm] \sin [/mm] v , [mm] \cos [/mm] u ) [mm] r^2 \cdot{} \sin [/mm] u [mm] \cdot{} [/mm] d u, v $
Und dann eins nach dem anderen Integrieren oder wie mach ich das dann?
Über die Grenzen bin ich immer noch nicht gestolpert...sollte wohl was mit $ [mm] \pi [/mm] $ sein von 0 bis $ [mm] \pi [/mm] $ aber welcher Faktor vor dem pi steht weiß ich nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Di 04.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> Einfach nachgeschaut was die Oberfläche der Kugel ist und
> durch 8 geteilt :D
Nun ja... Wenn man die Lösungen für die einfachen Probleme nachschlägt, an was will man dann für die schwierigen Probleme üben? Ich würde dir dringend empfehlen, dir nochmal die Skizze zur oben genannten parametrisierung genau anzuschauen, und nachzurechnen was der Flächeninhalt einerSphäre bzw Volumen einer Kugel ist. Wenn man das nie gerechnet hat, sollte man imho mit schwerpunkten von Kugelschalensegmenten erstmal nicht anfangen. Obwohl du ja eigentlich alles richtig hingeschrieben hast, bis auf die integrationsgrenzen. Aber die kriegst du auch schnell, wenn die geometrische Anschauung da ist, denn diese ist dringend nötig, um überhaupt erstmal zu formulieren, was eine "Achtel-Kugelschale" überhaupt ist... Mit schönen Worten alleine kann man leider nicht rechnen, die muss man erstmal in was handfesteres übersetzen.
> Über die Grenzen bin ich immer noch nicht
> gestolpert...sollte wohl was mit [mm]\pi[/mm] sein von 0 bis [mm]\pi[/mm]
> aber welcher Faktor vor dem pi steht weiß ich nicht.
wie gesagt: wenn du verstanden hast, wie diese parametrisierung funktioniert, kriegst du das in 20 sekunden hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 05.08.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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