Geometrische Summenformel < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 04.09.2014 | | Autor: | Sykora |
[mm] s_n [/mm] = [mm] a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm] = [mm] a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm]
Die Frage dazu lautet, wie kommt es dazu, dass man die [mm] a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] einfach in [mm] a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm] umstellen kann?
Also es geht um die 1, die einfach als -1 am ende hinzugefügt wird..
Gibt es dafür ein Rechenschritt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]s_n[/mm] = [mm]a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] =
> [mm]a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
>
> Die Frage dazu lautet, wie kommt es dazu, dass man die
> [mm]a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] einfach in
> [mm]a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] umstellen kann?
>
> Also es geht um die 1, die einfach als -1 am ende
> hinzugefügt wird..
> Gibt es dafür ein Rechenschritt?
>
Ganz einfach: Zähler und Nenner werden mit (-1) multipliziert. Fragt sich hier, wozu das notwendig ist, denn die erste Form ist eigentlich die gängige, aber das nur am Rande.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Do 04.09.2014 | | Autor: | Sykora |
So einfach also..
Dann bedanke ich mich mal rechtherzlich für die schnelle und verständliche Antwort :)
Einen schönen abend noch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Do 04.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> So einfach also..
So einfach kann Mathematik sein. 
>
> Dann bedanke ich mich mal rechtherzlich für die schnelle
> und verständliche Antwort :)
Gern geschehen!
>
> Einen schönen abend noch.
Ebenso!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Do 04.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo und
>
>
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> > [mm]s_n[/mm] = [mm]a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] =
> > [mm]a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
> >
> >
> > Die Frage dazu lautet, wie kommt es dazu, dass man die
> > [mm]a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] einfach in
> > [mm]a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] umstellen kann?
> >
> > Also es geht um die 1, die einfach als -1 am ende
> > hinzugefügt wird..
> > Gibt es dafür ein Rechenschritt?
> >
>
> Ganz einfach: Zähler und Nenner werden mit (-1)
> multipliziert. Fragt sich hier, wozu das notwendig ist,
notwendig ist das sicher nicht.
> denn die erste Form ist eigentlich die gängige, aber das
> nur am Rande.
Wieso? Für mich ist die Darstellung
[mm] $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
die gängige, das wäre die zweite. Sie ist für mich "deswegen" gängiger,
weil
[mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$ [/mm] (es sieht halt als [mm] $=-\;\frac{1}{q-1}$ [/mm] *unschöner* aus),
was ja für $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] gilt, für reelle [mm] $q\,$ [/mm] einfach bzgl. des Vorzeichens schnell zu
durchschauen ist.
Vielleicht ist oben
[mm] $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$
[/mm]
nur deswegen geschrieben worden, weil der "Vorzeichenüberblick" mal in
der einen, mal in der anderen Form *leichter* ist. Für $q > [mm] 1\,$ [/mm] sieht man an der
Bruchdarstellung rechterhand halt direkt, dass sowohl Zähler als auch
Nenner (echt) positiv sind.
Aber *nötig* oder *notwendig* ist sowas sicher nicht...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Fr 05.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Ganz einfach: Zähler und Nenner werden mit (-1) multipliziert.
Das ist zwar richtig, aber ich bin nicht damit einverstanden. Als
Schüler hätte mich der Grund interessiert. Natürlich: Es geht um
das neutrale Element der Multiplikation, welches wir mit
[mm] 1=\frac{-1}{-1}
[/mm]
geschickt benutzen. Das sieht für mich ein wenig "getrickst" aus.
Meine Antwort wäre: Im Zähler und im Nenner [mm] $(-1)\$ [/mm] ausklammern.
Versteht ihr meinen Gedankengang? Natürlich ist es ausgeschrieben
genau das Gleiche, aber hier geht mir nur um das "Verständnis".
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Fr 05.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
>
> > Ganz einfach: Zähler und Nenner werden mit (-1)
> multipliziert.
>
> Das ist zwar richtig, aber ich bin nicht damit
> einverstanden. Als
> Schüler hätte mich der Grund interessiert. Natürlich:
> Es geht um
> das neutrale Element der Multiplikation, welches wir mit
>
> [mm]1=\frac{-1}{-1}[/mm]
>
> geschickt benutzen. Das sieht für mich ein wenig
> "getrickst" aus.
> Meine Antwort wäre: Im Zähler und im Nenner [mm](-1)\[/mm]
> ausklammern.
> Versteht ihr meinen Gedankengang? Natürlich ist es
> ausgeschrieben
> genau das Gleiche, aber hier geht mir nur um das
> "Verständnis".
klar, dass Dein Argument vielleicht *verständlicher* erscheint. Ich würde
das aber dennoch keineswegs dem Argument von Diophant vorziehen,
sondern es höchstens als Ergänzung erwähnen. Ansonsten wird man
ständig an gewissen Stellen stolpern, etwa bei der quadratischen
Ergänzung
[mm] $x^2+px+q=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $(x+\tfrac{p}{2})^2-\frac{p^2}{4}+q=0\,.$
[/mm]
Dort ist auch nur eine *additive Null* geschickt addiert worden. Natürlich
kann man hier auch anders vorgehen und sagen:
Ich vergleiche
[mm] $x^2+px+q=0$
[/mm]
mal mit
[mm] $(x+\tfrac{p}{2})^2=x^2+px+\frac{p^2}{4}\,.$
[/mm]
Dann
[mm] $x^2+px+q=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $x^2+px+q+\frac{p^2}{4}=\frac{p^2}{4}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $x^2+px+\frac{p^2}{4}=\frac{p^2}{4}-q$
[/mm]
[mm] $\iff$ $(x+\tfrac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}-q\,.$
[/mm]
Aber im Endeffekt ist das nur eine andere Methode, um *die additive Null*
geschickt ins Spiel zu bringen. Am Besten ist es also, dass man beide Wege,
sowohl Dein Argument als auch das von Diophant, versteht. Denn beides
wird immer wieder angewendet werden. Was man lieber mag, ist eher eine
Frage des persönlichen Geschmacks oder *welche Technik man sich halt
lieber angewöhnt*.
Nebenbei: In der Differentialrechnung oder auch schon bei konvergenten
Folgen sieht man ja bei den Beweisen zu gewissen Sätzen *derartige
Methoden* auch permanent!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Do 04.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]s_n[/mm] = [mm]a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] =
> [mm]a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
>
> Die Frage dazu lautet, wie kommt es dazu, dass man die
> [mm]a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] einfach in
> [mm]a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] umstellen kann?
>
> Also es geht um die 1, die einfach als -1 am ende
> hinzugefügt wird..
> Gibt es dafür ein Rechenschritt?
das wurde ja schon geklärt. Was ich gerne noch ergänzen würde, ist:
Wenn Du eine Gleichheit
[mm] $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
[/mm]
siehst, die Dir nicht klar ist, so kannst Du aber dennoch versuchen,
herauszufinden, ob diese Umformung okay ist. Du musst nur
$a*d$
mit [mm] $b*c\,$ [/mm] vergleichen - wenn das Gleiche rauskommt, ist alles in Butter.
Bei Dir oben:
[mm] $a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
ist (für [mm] $a_0 \not=0$) [/mm] gleichwertig zu
[mm] $\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\,.$
[/mm]
Man kann sich also auch mal davon überzeugen, dass in
[mm] $(q^{n+1}-1)*(1-q)$ $\red{\textbf{=}}$ $(1-q^{n+1})*(q-1)$
[/mm]
das rote Gleichheitszeichen gerechtfertigt ist.
Gruß,
Marcel
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