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| Aufgabe | ÜB11 A2
(Abhängig von Aufgabe 1 daher hier die
Werte:
a) [mm] \bruch{1}{3} [/mm] b) [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] c) [mm] \bruch{1}{10} [/mm] d) [mm] -\bruch{4}{5}
[/mm]
Ergebnisse:
a) [mm] \bruch{3}{2} [/mm] b) [mm] \bruch{3}{4} [/mm] c) [mm] \bruch{10}{9} [/mm] d) [mm] \bruch{5}{9})
[/mm]
Aufgabenstellung:
Von welchem Index n an weicht die Partialsumme [mm] \summe_{k=0}^{n} p^{k} [/mm] der Reihe der vorherigen Aufgabe um weniger als 0,001 von der (unendlichen) Summe ab?
Die Frage ist mir klar:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} p^{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n} p^{k} [/mm] < 0,001
Daraus ergibt sich:
[mm] \vmat{ \bruch{1}{1-k} - \bruch{1-k^n^+^1}{1-k}} [/mm] < 0,001
Soweit sogut! Die oberen Werte können nun für den unendlichen Term eingesetzt werden! Diese Stimmen auch mit den Lösungen Überein! |
So entstehen die folgenden Aufgaben:
a) [mm] \vmat{ \bruch{3}{2} - \bruch{1-\bruch{1}{3}^n^+^1}{1-\bruch{1}{3}} } [/mm] < 0,001
b) [mm] \vmat{ \bruch{3}{4} - \bruch{1-(-\bruch{1}{3})^n^+^1}{1-(-\bruch{1}{3})} } [/mm] < 0,001
c) [mm] \vmat{ \bruch{10}{9} - \bruch{1-\bruch{10}{9}^n^+^1}{1-\bruch{10}{9}} } [/mm] < 0,001
d) [mm] \vmat{ \bruch{5}{9} - \bruch{1-(-\bruch{4}{5})^n^+^1}{1-(-\bruch{4}{5})} } [/mm] < 0,001
a)
[mm] \vmat{ \bruch{3}{2} - \bruch{1-\bruch{1}{3}^n^+^1}{1-\bruch{1}{3}} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{3}{2} - \bruch{1-\bruch{1}{3}^n^+^1}{\bruch{2}{3}} } [/mm] < 0,001
Wenn ich hier so klammere, muß ich im nachinein das Minus beachten oder ? [Habe dies bei a) gemacht, bei b) stimmt es mit dem Ergebniss nicht überein :( wenn ich das Minus beachte - ebenso bei a wenn ich es nicht beachte!]
[mm] \vmat{ \bruch{3}{2} - (1-\bruch{1}{3}^n^+^1) * \bruch{3}{2} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{3}{2} - (\bruch{3}{2} - \bruch{1}{3}^n^+^1 * \bruch{3}{2}) } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{3}{2} - \bruch{3}{2} + \bruch{1}{3}^n^+^1 * \bruch{3}{2} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{1}{3}^n^+^1 * \bruch{3}{2} } [/mm] < 0,001
Müßte ich hier wieder beide ausmultiplizieren?
[mm] \vmat{ \bruch{1}{3}^n+\bruch{1}{3} * \bruch{3}{2} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{1}{3}^n+\bruch{1}{2}} [/mm] < 0,001
[mm] \bruch{1}{3}^n [/mm] < 0,001 - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
n [mm] log(\bruch{1}{3}) [/mm] < log(0,001) - [mm] log(\bruch{1}{2})
[/mm]
n < [mm] \bruch{log(0,001) - log(\bruch{1}{2})}{log(\bruch{1}{3})}
[/mm]
=> n = 6
6 wäre auch die Lösung! Aber bin mir nicht gewiss darüber ob ich das so machen darf!
Habe diese Aufgabe nun etliche mahle gerechnet! zumeist habe ich den Logarithmus weiter oben eingesetzt und kam dabei auf Werte von 0,0... bis über 40!
b)
[mm] \vmat{ \bruch{3}{4} - \bruch{1-(-\bruch{1}{3})^n^+^1}{1-(-\bruch{1}{3})} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{3}{4} - \bruch{1-(-\bruch{1}{3})^n^+^1}{(\bruch{4}{3})} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{3}{4} - (1-(-\bruch{1}{3})^n^+^1)*\bruch{3}{4} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{3}{4} - (\bruch{3}{4} + \bruch{1}{3})^n^+^1*\bruch{3}{4}) } [/mm] < 0,001
Nach einigem rumprobieren ist mir ein Ergebniss aufgefallen, dass wenn ich das Minus mit meinen selbstgesetzten Klammern nicht beachte nahe der Lösung liegt! Ich denke aber ich müßte das Minus beachten oder ?
[mm] \vmat{ \bruch{3}{4} - \bruch{3}{4} + \bruch{1}{3}^n^+^1*\bruch{3}{4} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{3}{4} - \bruch{3}{4} + \bruch{1}{3}^n+\bruch{1}{3}*\bruch{3}{4} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{3}{4} - \bruch{3}{4} + \bruch{1}{3}^n+\bruch{1}{4} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{1}{3}^n+\bruch{1}{4} } [/mm] < 0,001
[mm] \bruch{1}{3}^n [/mm] < 0,001 - [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
n [mm] log(\bruch{1}{3}) [/mm] < log(0,001) - [mm] log(\bruch{1}{4})
[/mm]
n < [mm] \bruch{log(0,001) - log(\bruch{1}{4})}{log(\bruch{1}{3})}
[/mm]
n = 6
c)
[mm] \vmat{ \bruch{10}{9} - \bruch{1-\bruch{10}{9}^n^+^1}{1-\bruch{10}{9}} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{10}{9} - \bruch{1-\bruch{10}{9}^n^+^1}{\bruch{9}{10}} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{10}{9} - (1-\bruch{10}{9}^n^+^1)*\bruch{10}{9} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{10}{9} - 1+\bruch{10}{9}^n^+^1*\bruch{10}{9} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{1}{9} + \bruch{10}{9}^n^+^1*\bruch{10}{9} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{1}{9} + \bruch{10}{9}^n^+^1*\bruch{10}{9} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{1}{9} + \bruch{10}{9}^n*\bruch{10}{9} + \bruch{10}{9} } [/mm] < 0,001
[mm] \vmat{ \bruch{10}{9}^n*\bruch{10}{9} + \bruch{11}{9} } [/mm] < 0,001
[mm] \bruch{10}{9}^n [/mm] < [mm] \bruch{0,001 - \bruch{11}{9}}{\bruch{10}{9}}
[/mm]
n [mm] log(\bruch{10}{9}) [/mm] < [mm] \bruch{log(0,001) - log(\bruch{11}{9})}{log(\bruch{10}{9})}
[/mm]
n < [mm] \bruch{log(0,001) - log(\bruch{11}{9})}{log(\bruch{10}{9}) * log(\bruch{10}{9})}
[/mm]
*Mein Ergebniss ist großer Mist!
Rauskommen soll: 3
Die Aufgabe d) habe ich erst noch ausgelassen... Bin frustriert schlafen gegangen!
Wäre euch Dankbar für eure Hilfe, würde zum einen gerne wissen was ich an den Aufgaben alles für gravierenden Rechen/Regeln Fehler begangen habe! Und zum anderen wie ich dabei besser vorgehen könnte!
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Hallo Kerberos!
> Daraus ergibt sich:
>
> [mm]\vmat{ \bruch{1}{1-k} - \bruch{1-k^n^+^1}{1-k}}[/mm] < 0,001
Du meinst das Richtige. Aber hier muss an Stelle von jedem $k_$ ein [mm] $\red{p}$ [/mm] hin.
> [mm]\vmat{ \bruch{3}{2} - \bruch{1-\bruch{1}{3}^n^+^1}{1-\bruch{1}{3}} }[/mm] < 0,001
>
> [mm]\vmat{ \bruch{3}{2} - \bruch{1-\bruch{1}{3}^n^+^1}{\bruch{2}{3}} }[/mm] < 0,001
>
> Wenn ich hier so klammere, muß ich im nachinein das Minus
> beachten oder ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig.
> [mm]\vmat{ \bruch{3}{2} - (1-\bruch{1}{3}^n^+^1) * \bruch{3}{2} }[/mm] < 0,001
>
> [mm]\vmat{ \bruch{3}{2} - (\bruch{3}{2} - \bruch{1}{3}^n^+^1 * \bruch{3}{2}) }[/mm] < 0,001
>
> [mm]\vmat{ \bruch{3}{2} - \bruch{3}{2} + \bruch{1}{3}^n^+^1 * \bruch{3}{2} }[/mm] < 0,001
>
> [mm]\vmat{ \bruch{1}{3}^n^+^1 * \bruch{3}{2} }[/mm] < 0,001
>
> Müßte ich hier wieder beide ausmultiplizieren?
Nein. Das geht auch nicht.
Du kannst nun die Betragsstriche weglassen, da der Term offensichtlich positiv ist. Multipliziere die Ungleichung dann mit [mm] $\bruch{2}{3}$ [/mm] .
Dann logarithmieren ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Do 22.01.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Kerberos!
Du könntest Dir die Aufgabe hier auch vereinfachen, wenn Du diese Formel ...
[mm] $$\left| \bruch{1}{1-p} - \bruch{1-p^{n+1}}{1-p}\right| [/mm] \ < \ 0.001$$
... erst zusammenfassen oder gar allgemein nach $n \ > \ ...$ umstellen würdest.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Kerberos!
Gravierender Fehler: Du kannst [mm] $-\left(-\bruch{1}{3}\right)^{n+1}$ [/mm] nicht umformen zu [mm] $+\left(\bruch{1}{3}\right)^{n+1}$ [/mm] !
Zudem dreht sich im letzten Schritt bei der Division durch [mm] $\log\left(\bruch{1}{3}\right)$ [/mm] das Ungleichheitszeichen um, da:
[mm] $$\log\left(\bruch{1}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\log(3) [/mm] \ [mm] \red{< \ 0}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Kerberos!
Neben den allgemeinen Anmerkungen von oben setzt Du hier leider die falschen Zahlen ein. Es muss heißen:
[mm] $$\left| \bruch{10}{9} - \bruch{1-\red{\left(\bruch{1}{10}\right)}^{n+1}}{1-\red{\bruch{1}{10}}}\right| [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{1000}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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