Geometrische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Sa 05.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3^{n}} [/mm] |
Hallo,
ich möchte den Grenzwert obiger Reihe berechnen habe aber probleme dabei.
und zwar weiß ich zwar, dass obige reihe eine geometrische ist und ich weiß auch, dass sie konvergiert. außerdem weiß ich das [mm] q=\bruch{1}{3} [/mm] ist
wenn ich aber q in die formel einsetze steht bei mir da:
[mm] S_{\infty} [/mm] = [mm] \bruch{1-\bruch{1}{3}^{\infty}}{1-\bruch{1}{3}}=1,5 [/mm] und das ist scheinbar falsch.
aber wie komme ich auf den richtigen grenzwert?
danke schonmal.
grüße
ali
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Sa 05.01.2013 | | Autor: | abakus |
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3^{n}}[/mm]
> Hallo,
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> ich möchte den Grenzwert obiger Reihe berechnen habe aber
> probleme dabei.
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> und zwar weiß ich zwar, dass obige reihe eine geometrische
> ist und ich weiß auch, dass sie konvergiert. außerdem
> weiß ich das [mm]q=\bruch{1}{3}[/mm] ist
>
> wenn ich aber q in die formel einsetze steht bei mir da:
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> [mm]S_{\infty}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-\bruch{1}{3}^{\infty}}{1-\bruch{1}{3}}=1,5[/mm] und das
> ist scheinbar falsch.
>
> aber wie komme ich auf den richtigen grenzwert?
Hallo,
die von dir zitierte Summenformel funktioniert so nur, wenn die Addition mit n=0 beginnt. Da sie hier konkret erst bei n=1 beginnt, musst du den nicht vorhandenen Summand [mm] $(\frac13)^0=1$ [/mm] von deinem Ergebnis 1,5 subtrahieren.
Gruß Abakus
>
> danke schonmal.
>
> grüße
> ali
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Sa 05.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
ohhh... ok :-D
danke.
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Hallo,
abakus hat es ja bereits richtig gesagt, da gibt es nichts auszusetzen.
So geht es aber auch:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}\summe_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\frac{1}{2}
[/mm]
Bei der letzten Summe wurde dann die geometrische Reihe ausgenutzt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3^{n}}[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte den Grenzwert obiger Reihe berechnen habe aber
> probleme dabei.
>
> und zwar weiß ich zwar, dass obige reihe eine geometrische
> ist und ich weiß auch, dass sie konvergiert. außerdem
> weiß ich das [mm]q=\bruch{1}{3}[/mm] ist
>
> wenn ich aber q in die formel einsetze steht bei mir da:
>
> [mm]S_{\infty}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-\bruch{1}{3}^{\infty}}{1-\bruch{1}{3}}=1,5[/mm] und das
> ist scheinbar falsch.
noch eine Sache: Formal kannst Du das zwar schon eigentlich auch so
schreiben - jedenfalls wenn Du anstatt [mm] $\tfrac{1}{3}^\infty$ [/mm] wenigstens
[mm] $\red{(}\tfrac{1}{3}\red{)}^\infty$ [/mm] schreibst (ich würde es jedenfalls dann so durchgehen lassen) - aber
eigentlich solltest Du sowas nicht so schreiben:
Anstatt [mm] $(1/3)^\infty\;\;\;(=0)$ [/mm] z.b. gehört da eher [mm] $\lim_{N \to \infty} (1/3)^N\;\;\;(=0)$ [/mm] hin etc. pp. .
(Schreibe also auch lieber [mm] $\lim_{n \to \infty} (1/n)=0\,,$ [/mm] anstatt, wie Du
es vielleicht schreiben würdest [mm] $1/\infty=0\,.$ [/mm] Auch, wenn man durchaus,
etwa in der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie, durchaus auch sowas wie
[mm] $\tfrac{r}{\infty}:=0$ [/mm] für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] vereinbart und das dann auch so schreibt.)
Und nun mal das bisher gesagt nochmal zusammengefasst, minimal
allgemeiner:
Ist $q [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|q| < [mm] 1\,,$ [/mm] und ist [mm] $n_0 \in \IN_0\,,$ [/mm] so kann man sich für [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty q^n$ [/mm] auf zwei Wegen eine
Formel herleiten:
1. Weg:
[mm] $$\sum_{k=n_0}^\infty q^n=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=n_0}^N q^n=\lim_{N \to \infty} \Big(q^{n_0}*\sum_{n=0}^N q^n\Big)=q^{n_0}*\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^N q^n=q^{n_0}*\sum_{n=0}^\infty q^n=q^{n_0}*\frac{1}{1-q}=\frac{q^{n_0}}{1-q}\,.$$
[/mm]
2. Weg:
[mm] $$\sum_{k=n_0}^\infty q^n=\lim_{N \to \infty} \left(\Big(\sum_{n=0}^{n_0-1}q^n+\sum_{n=n_0}^N q^n\Big)\right)-\underbrace{\sum_{n=0}^{n_0-1} q^n}_{=\lim\limits_{\red{N}\to \infty}\sum\limits_{n=0}^{n_0-1} q^n}=\sum_{n=0}^\infty q^n-\frac{1-q^{n_0}}{1-q}=\frac{1}{1-q}-\frac{1-q^{n_0}}{1-q}=\frac{q^{n_0}}{1-q}\,.$$
[/mm]
Beim 1.Weg braucht man prinzipiell eigentlich (neben sonstigen
"Rechenregeln" für konvergente Folgen/Reihen) "nur" die Formel für den Grenzwert [mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n\,,$
[/mm]
beim 2. Weg auch die für das [mm] $n_0$-te [/mm] Folgenglied der Reihe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty} q^n:$
[/mm]
[mm] $$\sum_{n=0}^{n_0-1}q^n=\frac{1-q^{(n_0-1)+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n_0}}{1-q}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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