Geometrische Folgen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Guli |
Hallo an alle im Mahteraum!!
Ich brauche wiedermal eure Hilfe! Es geht um geometrische Folgen:
Und zwar ist es ein kurzes Textbeispiel. Ich habe es versucht, aber ich weiß nicht mal genau was ich machen soll. Also das Beispiel lautet so:
3 Zahlen bilden eine geometrische Folge. Vermindert man das letzte Glied um 4, so erhählt man eine arithmetische Folge. Vergrößert man in DIESER Folge das 1.Glied um 2, so entsteht eine geometrische Folge.
Wie lautet die ursprüngliche geometrische Folge??
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Also ich habe mir mal diese Überlegungen gemacht:
n=3 (weil ja 3 Zahlen eine GF bilden)
ich habe einfach die 3 unbekannten Zahlen < x, y, z > genannt.
das letzte Glied wird um 4 vermindert >> z-4, aber wie entsteht dann auf einmal eine arithmetische Folge.
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also Leute, weiter weiß ich nicht... eighentlich weiß ich gar nichts ;)
Ich hoffe, dass mir eine/r von euch weiterhelfen kann...
Ein großes Dankeschön schon im, voraus..
Mit freundl. Grüßen GÜLI
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Hallo!
Nicht verzweifeln!
Du hast also eine geometrische Folge mit drei Gliedern. Nach Definition muss diese dann folgende Gestalt haben:
[mm] $(a;aq;aq^2)$.
[/mm]
Jetzt ziehst du vom dritten Glied $4$ ab:
[mm] $(a;aq;aq^2-4)$
[/mm]
Diese neue Folge soll eine arithmetische Folge sein. Also muss sie die Form haben: $(b;b+c;b+2c)$
Damit kommst du auf die drei Gleichungen:
(I) $a=b$
(II) $aq=b+c$
(III) [mm] $aq^2-4=b+2c$
[/mm]
Wenn man die erste Gleichung in die zweite und dritte einsetzt (wir eliminieren also $b$), ergibt das:
(II') $aq=a+c$
(III') [mm] $aq^2-4=a+2c$
[/mm]
Jetzt addierst du zum ersten Glied deiner Folge [mm] $(a;aq;aq^2-4)$ [/mm] 2 hinzu. Das soll jetzt wieder eine geometrische Folge ergeben.
Auf diese Weise kommst du zwei einem Gleichungssystem anhand dessen du die einzelnen Parameter (also $a,q,$...) berechnen kannst!
Hast du den Ansatz verstanden?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Guli |
Hi Banachella!!
Vielen Dank für deinen Hinweis, aber ich hab echt keine Ahnung wie ich das machen soll... :(
wenn man hier (a; aq; [mm] aq^2-4) [/mm] 2 addiert kriegt man das heraus? oder stimmt das eh nicht?
(a+2; aq; [mm] aq^2-4)
[/mm]
aber wo ist da jetzt ein Gleichungssystem?? Ich kenne mich einfach nicht aus. Für so etwas bin ich nicht geschaffen :(
gruß Güli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Güli,
wenn $(a+2; aq; [mm] aq^2-4)$ [/mm] wieder eine geometrische Folge ist, hat sie die Form $(b; bp; [mm] bp^2)$. [/mm] Es gilt: $b=a+2$, $bp=aq$ und [mm] $bp^2=aq^2-4$. [/mm] Damit hast du wieder mehr Gleichungen.
Als alternative Lösung kann ich noch sagen, dass für arithmetische Folgen gilt, dass sie linear sind, d.h hintereinanderfolgende Folgenglieder sind differenzengleich. Geometrische Folgen wachsen exponentiell, d.h. hintereinanderfolgende Folgenglieder sind quotientengleich.
Du hast nach den Angaben die geometrischen Folgen $(x; y; z)$ und $(x-2; y; z-4)$ sowie die arithmetische Folge $(x;y; z-4)$.
Damit folgt:
1. [mm] $\frac{y}{x}=\frac{z}{y}$
[/mm]
2. [mm] $\frac{y}{x-2}=\frac{z-4}{y}$
[/mm]
3. $y-(x-2)=(z-4)-y$
Du kannst natürlich auch $x=a$, $y=aq$ und [mm] $z=aq^2$ [/mm] einsetzen um etwas dichter an banachellas Vorschlag zu bleiben.
Max
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