Geometrisch,arithmetisch Folge < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Di 04.11.2008 | | Autor: | lausanne |
| Aufgabe | Eine Schätzung der Öl- und Gasreserven in Norwegen zu Beginn des Jahres 2006 betrug 11 Mrd. Tonnen.Die Förderung im Jahr 2005 lag bei ca. 250 Mio. Tonnen.
a)
Wann werden die Reserven erschöpft sein,wenn die Förderung auf demselben Niveau fortgesetzt wird?
b)
Nehmen sie an,die Förderung wird jedes Jahr um 2,5% reduziert,beginnend im Jahr 2006.Wie lange würden die Reserven in diesem Fall reichen?
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Hallo!
Das ist eine Aufgabe aus dem Kapitel Folgen&Reihen bzw. arithmetische und geometrische Folgen.
Eine Aufgabe vorher habe ich einige Aufgaben zu arithmetischen und geometrischen Folgen und ihre Partialsummen gelöst aber hier tu ich mir schwer dabei.
Ich geh mal davon aus das Aufgabenteil a) eine arithmetische Folge ist und b)eine geomtrische Folge.
Die Formeln dazu kenne ich auch auch die der Partialsummen aber irgendwie komme ich hier nicht weiter.
Ich suche daher einen konkreteren Lösungsansatz oder -weg?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ja, richtig: die erste Teilaufgabe beinhaltet eine arithmetische Folge, die zweite eine geometrische.
Stell doch mal die Formeln hierhin (mit dem praktischen Formeleditor), auch für die Partialsummen. Dann ist viel leichter zu sehen, wo eigentlich Dein Problem liegt. Denn eigentlich müsstest Du dann schon ziemlich fertig sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mi 05.11.2008 | | Autor: | lausanne |
Die Formeln;
zu Aufgabenteil
a)
arithmetische Folge: [mm] a_n=a_1 [/mm] + (n-1) d,
partialsumme: [mm] s_n= [/mm] n [mm] (\bruch{a_1+a_n}{2})
[/mm]
b)
geometrische Folge: [mm] a_n=a_1 q^{n-1}
[/mm]
partialsumme: [mm] s_n= a_1 (\bruch{q^n-1}{q-1})
[/mm]
Ich vermute mal das ich das Ergebnis von a) brauche um b) zu berechnen.
Mein Problem bei a) ist,das ich hier kein "n" vorgegeben habe,daher weiss ich auch nicht was ich für "n" einsetzen soll?
Zu a)
Mein [mm] a_1 [/mm] ist 250Mio. oder?
Wo setze ich die 11Mrd. hin,was mache ich mit denen?
Zu b)
Was ist mein [mm] a_1?
[/mm]
Was ist mein q?
Ist mein "^n" das Ergebnis von a) ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mi 05.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> siehe 1.Post!
>
>
> Die Formeln;
>
> zu Aufgabenteil
> a)
> arithmetische Folge: [mm]a_n=a_1[/mm] + (n-1) d,
>
> partialsumme: [mm]s_n=[/mm] n [mm](\bruch{a_1+a_n}{2})[/mm]
>
> b)
> geometrische Folge: [mm]a_n=a_1 q^{n-1}[/mm]
>
> partialsumme: [mm]s_n= a_1 (\bruch{q^n-1}{q-1})[/mm]
So weit, so gut.
> Ich vermute mal das ich das Ergebnis von a) brauche um b)
> zu berechnen.
Überhaupt nicht.
> Mein Problem bei a) ist,das ich hier kein "n" vorgegeben
> habe,daher weiss ich auch nicht was ich für "n" einsetzen
> soll?
Die Folgenglieder - also die Summanden - sind die Jahresfördermengen. Das d ist die Differenz zwischen ihnen, wie groß ist die hier denn? Und die Summe ist natürlich der Gesamtvorrat, das ist ja alles, was gefördert werden kann. n ist die Anzahl der Jahre, während derer gefördert wird, das sollst du doch gerade ausrechnen.
Die Aufgabe ist babyeierleicht, du kannst sie auch ohne das Formelgedöns lösen: Wenn in einem Topf 10 Euro sind und ich jeden Tag einen Euro herausnehme, wie lange geht das gut?
> Zu a)
> Mein [mm]a_1[/mm] ist 250Mio. oder?
> Wo setze ich die 11Mrd. hin,was mache ich mit denen?
s. o.
> Zu b)
> Was ist mein [mm]a_1?[/mm]
Die Fördermenge im 1. Jahr, also dasselbe wie in a).
> Was ist mein q?
Das ist jetzt allerdings mit etwas Überlegen verbunden. q ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fördermengen. Du mußt hier Prozente in Verhältnisse umrechnen.
> Ist mein "^n" das Ergebnis von a) ?
Kann das sein? Wenn ich immer weniger fördere, hält der Vorrat dann kürzer, genauso lange oder länger?
Gruß aus Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mi 05.11.2008 | | Autor: | lausanne |
Ich hab in meinem letztem Post blöde fragen,nicht zielorientiert gestellt merke ich gerade.
zu a)
Wie finde ich n heraus?(mit der Formel)
zu b)
was ist mein q?250Mio.? (ein post zuvor kam der Ratschlag:"Prozente in Verhältnisse umzusetzen") Was ist damit genau gemeint?
Im Kopf ist a) zu lösen,komme auf das Ergebnis von 44 Jahren aber mit der Formel komm ich nicht drauf??Rechenweg?!
Danke vorab!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mi 05.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie du n bei a0 rauskriegst wurde dir doch mit dem Geldtopf erklaert!
Wenn du nichts ueber arithmetische Reihen wusstest, sondern in der 4. klasse Grundschule waerst, wie wuerdest du dann a loesen?
im ersten jahr werden 250Mio gepumpt, wieviel im folgenden? und im wieder folgenden?
ueberleg dir einfach die ersten 3 Jahre, dann hast dus! um welchen Faktor aendert sich die Foerdermenge pro Jahr, das ist dein q
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mo 10.11.2008 | | Autor: | lausanne |
zu a)
ja wenn meine reserven 11mrd. sind und ich jedes jahr 250mio. fördere dann komme ich mit kopfrechnen schon auf n=44 jahre!!
mein a1 ist natürlich 250mio.!
mein d natürlich die konstante differenz auch 250mio.!
Aber wie mache ich es mit der Formel?Muss ich (kann ich) hier überhaupt die arithmetische formel anwenden? komme ich dann auch auf n=44?
zu b)
zitat:
"q ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fördermengen. Du mußt hier Prozente in Verhältnisse umrechnen."
also die 2,5% von 250mio. sind ja 6.25mio.!
1. Jahr 250Mio. - 6.25Mio. = 243.75Mio.
2. Jahr 243.75Mio. - 6.093.750 = 237.656.250
....
....
Wenn ich immer weniger fördere hält mein Vorrat natürlich länger!
Aber wie rechne ich das aus mit der Formel?
mein a1 ist ja 250mio.
was mein p ist weiss ich immer noch nicht genau..? ist es meine 2,5% die ich in 1/5 umwandeln muss..??
was ist mein n..?
geometrische Folge: $ [mm] a_n=a_1 q^{n-1} [/mm] $
partialsumme: $ [mm] s_n= a_1 (\bruch{q^n-1}{q-1}) [/mm] $
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mo 10.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
man sollte Prozentrechnung fast nie mit addieren machen. also wenn du etwa K um 2,5% erhoehst kannst du rechnen
K+0,025*K das ist nicht guenstig stattdessen
K*(1+0,025)=K*1,025 in Gedanken: K wird auf 102,5% erhoeht!
entsprechend, wenn du um 2,55 verkleinerst mit 1-0,025 multiplizieren also K*0,975
Damit hast du dann auch dein q jedes Jahr wird der Enschlag um den Faktor 0,975 kleiner.
Bei der ersten Aufgabe ne Formel fuer die harmonische Reihe zu verwenden ist ziemlich sinnlos. auser du sagst K-n*d=0 und rechnest dann aus, dass n=K/d ist.
Kannst du jetzt die 2. aufgabe, nachdem du q kennst?
Natuerlich haettest du notfalls q ausrechen koennen indem du das ergebnis von 2 aufeinanderfolgenden jahren dividiert haettest, das ist natuerlich dasselbe , weil K(2)=q*K(1) istalso q=K(2)/K(1)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Di 11.11.2008 | | Autor: | lausanne |
| Aufgabe | Eine Schätzung der Öl- und Gasreserven in Norwegen zu Beginn des Jahres 2006 betrug 11 Mrd. Tonnen.Die Förderung im Jahr 2005 lag bei ca. 250 Mio. Tonnen.
b)
Nehmen sie an,die Förderung wird jedes Jahr um 2,5% reduziert,beginnend im Jahr 2006.Wie lange würden die Reserven in diesem Fall reichen? |
a)
ist erledigt
b)
Ok,soweit alles klar was mein q ist,nämlich 0,975!
ich hab dann auch eine rekursive formel aufgestellt dazu:
[mm] a_1 [/mm] = 250Mio. ; [mm] a_n+1 [/mm] = [mm] a_n [/mm] * 0,975
aber wie komme ich auf ein ergebnis mit diesen nachstehenden Formeln um die Frage b) zu beantworten?
geometrische Folge: $ [mm] a_n=a_1 q^{n-1} [/mm] $
partialsumme: $ [mm] s_n= a_1 (\bruch{q^n-1}{q-1}) [/mm] $
Was ist mein n?
Ich würde jetzt einfach Zahlen von 1 bis [mm] \infty [/mm] einfügen,aber wie komme ich auf ein ergebnis um b) zu beantworten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Di 11.11.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo,
> Eine Schätzung der Öl- und Gasreserven in Norwegen zu
> Beginn des Jahres 2006 betrug 11 Mrd. Tonnen.Die Förderung
> im Jahr 2005 lag bei ca. 250 Mio. Tonnen.
>
> b)
> Nehmen sie an,die Förderung wird jedes Jahr um 2,5%
> reduziert,beginnend im Jahr 2006.Wie lange würden die
> Reserven in diesem Fall reichen?
> a)
> ist erledigt
>
>
> b)
> Ok,soweit alles klar was mein q ist,nämlich 0,975!
>
> ich hab dann auch eine rekursive formel aufgestellt dazu:
>
> [mm]a_1[/mm] = 250Mio. ; [mm]a_n+1[/mm] = [mm]a_n[/mm] * 0,975
>
>
11.000 - (n-1)*250 = 0
n = 45
>
> aber wie komme ich auf ein ergebnis mit diesen
> nachstehenden Formeln um die Frage b) zu beantworten?
>
>
> geometrische Folge: [mm]a_n=a_1 q^{n-1}[/mm]
>
> partialsumme: [mm]s_n= a_1 (\bruch{q^n-1}{q-1})[/mm]
>
> Was ist mein n?
>
> Ich würde jetzt einfach Zahlen von 1 bis [mm]\infty[/mm]
> einfügen,aber wie komme ich auf ein ergebnis um b) zu
> beantworten?
>
>
1100 - 250* [mm] 0,975^{45} [/mm] = 0
nachträgliche Änderung:
falsch ist natürlich n = 45
11.000.000.000 - [mm] 250.000.000*(1-0,025)^n [/mm] = 0
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Di 11.11.2008 | | Autor: | lausanne |
1100 - 250* $ [mm] 0,975^{45} [/mm] $ = 0
Ok,was sagt mir das Ergebnis jetzt..?
Ich schreibe mal was ich als Musterlösung habe auf die ich nicht gekommen wäre:
Lösung b)
die reserven reichen bis in alle ewigkeit denn der verbrauch beträgt insgesamt nur [mm] 9,75*10^9 [/mm] t,ist also kleiner als reserve.
Kann mir jemand erklären wie die auf die antwort gekommen sind?
Das die fördermenge der reserven immer kleiner wird somit die reserven länger halten ist klar,aber wie kommen auf die [mm] 9,75*10^9 [/mm] t..??
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Mi 12.11.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen allerseits!
> Lösung b)
>
> die reserven reichen bis in alle ewigkeit denn der
> verbrauch beträgt insgesamt nur [mm]9,75*10^9[/mm] t,ist also
> kleiner als reserve.
>
> Kann mir jemand erklären wie die auf die antwort gekommen
> sind?
Die 1. Fördermenge ist 250 Mio. Tonnen, und der Quotient 0,975. Dann ergibt die geometrische Summenformel für die Fördermenge in n Jahren
[mm] 250*10^6*\bruch{1 - 0,975^{n}}{1 - 0,975}. [/mm] Wenn n immer größer wird, ergibt das den Grenzwert [mm] 10*10^9.
[/mm]
In deine Musterlösung ist anscheinend die erste Fördermenge nicht eingegangen. Ich habe die mitgezählt, aber im Endeffekt ist es egal, es reicht auf Dauer.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:07 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo Dieter,
vielen Dank für deine Ausführungen.
Ich habe es nicht verstanden, dass von einer Menge, die nur um eine gewisse Anzahl reduziert wird, nie verbraucht wird.
Ist ein Verbrauch noch so klein, so muss die Ausgangsmenge irgendwann mal 0 betragen.
Dies waren meine Überlegungen.
Viele Grüße
Josef
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Josefs Antwort zu b) ist leider falsch.
Hattet Ihr schon Grenzwertbestimmungen, lausanne? Wenn ja, dann schau doch mal, ob die geometrische Reihe, die Du da aufgestellt hast, konvergent ist.
Wenn nein, sag Bescheid. Allerdings verstehe ich dann nicht, wieso jemand erwarten könnte, dass Ihr das lösen könnt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:58 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Josef |
Lieber reverend,
bitte zeige uns doch den richtigen Rechenweg.
Wir kommen nicht darauf.
Viele Grüße
Josef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Die Summe konvergiert gegen eine Zahl, die kleiner als die Ausgangsmenge ist.
[mm] s_n=250*10^6*\bruch{1-0,975^n}{0,025}=10^{10}*(1-0,975^n)
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sn=10^{10}<1,1*10^{10}(=11Milliarden)
[/mm]
Deswegen kann der Vorrat so nie aufgebraucht werden (in der Theorie).
Ohne Grenzwertbetrachtung kommt man darauf, indem man einfach versuch nach n umzustellen und dabei scheitert!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:09 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo Teufel,
auch dir vielen Dank für deine Antwort.
Mathematik kann einem schon zur Verzweiflung bringen.
Viele Grüße
Josef
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:16 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Teufel |
Stimmt schon!
Um so schöner ist es, wenn man es dann doch packt.
Teufel
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