Geometrie Dreiecke < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie:
1. Rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis der Katheten übereinstimmen.
2. Gleichschenklige Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Winkel an der Spitze übereinstimmen. |
zu 1.
gemeint ist der S:W:S-Satz
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen.
Der Winkel ist der rechte Winkel in der Mitte und die anliegenden Seiten sind also die katheten.
aber wie beweise ich das jetzt?
kann ich einfach durch eine ähnlichkeits abbildung zeigen, dass die beiden dreiecke ineinander übergeführt werden können?
zu 2.
bei 2 würde ich das ganze dann auch einfach nur zeichnerisch darstellen, aber gilt das denn nicht eher als ein beispiel?
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Geh erst Eure Definition von Ähnlichkeit durch.
Die erste Aufgabe stimmt dann, wenn außer Drehung, Vergrößerung, Verkleinerung und Verschiebung auch eine Achsenspiegelung erlaubt ist.
Die zweite stimmt auch ohne die Einbeziehung von Spiegelungen.
Für den Nachweis musst Du zeigen, dass die jeweils zwei gegebenen Informationen (in 1: rechtwinklig und Kathetenverhältnis; in 2: gleichschenklig und Spitzenwinkel) genügen, um ein Dreieck zu konstruieren, das bis auf die erlaubten Veränderungen eindeutig bestimmt ist.
Eine Zeichnung, in der man nur "sieht", genügt nicht - es sei denn, die Zeichnung enthält Konstruktionslinien, anhand derer die erlaubten Veränderungen abzulesen sind. Das ist möglich, aber nicht ganz einfach.
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