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Hallo liebe Mathe-Freunde,
ich habe ja schon sehr lange nichts mehr von mir hören lassen. Leider war ich sehr mit meiner Diplomarbeit beschäftigt und arbeite nebenbei noch an meiner alternativen Karriere als internationaler Rockstar.
Aber als kleine Entschädigung hab ich eine noch viel kleinere Aufgabe für euch...
In jedem Dreieck gilt der Cosinus-Satz, der besagt, dass z.B.
[mm] c^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] - [mm]2\cdot a\cdot b\cos(\gamma)[/mm]
Meine Aufgabe lautet:
Formuliere einen Cosinus-Satz im allgemeinen Viereck, z.B. in der Form:
[mm] d^2 [/mm] = ... (wobei d die Länge der Strecke CD darstellt)
Hugo
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Hallo Hugo
Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe, aber dein Wunsch nach einem Cosinussatz für Vierecke glaube ich kann nicht so leicht erfüllt werden.
Zum einen muss durch die einzusetzenden Variablen in eine derartige Formel das Viereck eindeutig festgelegt sein. Allerdings gibt es für Vierecke keine so schönen Kongruenzsätze wie für Dreiecke. Damit ein Viereck eindeutig festgelegt ist, braucht man, wenn man alle 4 Seiten kennt noch mindestens einen Winkel angegeben. Das bedeutet, dass in deiner Formel für die Berechnung von einer Seite mindestens 2 Winkel als gegeben zu betrachten sein müssen (sonst könnte man ja durch Umstellen der Formel einen Winkel aus 4 Seiten errechnen!!!!).
Das einzige was man meiner Meinung nach machen könnte wäre:
[mm] $a^2+b^2-2ab \,cos(\alpha)=e^2=d^2+c^2-2dc \,cos(\gamma)$
[/mm]
Den zweimaligen Kosinussatz zu Grunde legen, und jetzt hat man eine Formel mit 4 Seitenlängen und 2 Winkeln....... (könnte man nach d umformen)
Es fällt zwar auf, dass es Augenscheinlich 2 Lösungen bei obiger Gleichung gibt, allerdings vermute ich, dass eine davon stehts komplex ist.
Ich hoffe mal, dass ich jetzt nicht zu großen Schwachsinn geschreiben habe. Falls doch einfach ignorieren 
Gruß Samuel
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Hallo Samuel,
deine Antwort ist richtig im Sinne der Fragestellung. Es besteht durch die zweimalige Anwendung des Cosinus-Satzes im Dreieck eine Beziehung zwischen den gegenüberliegenden Winkeln.
Aber es gibt auch einen Zusammenhang zwischen benachbarten Winkeln.
Wie könnte ein Zusammenhang zwischen a,b,c,d und den Winkeln [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] lauten?
Hugo
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Hallo Rätselfreunde,
um vor allem Stefan zu neuen Geometrie-Kenntnissen zu verhelfen hier die Lösung, die ich im Sinn hatte.
Man betrachtet die Seiten eines Vierecks als geschlossene Vektorkette, so dass sich die Gleichung
[mm] \vec{d}=-\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}
[/mm]
ergibt, aus der man durch das Skalarprodukt [mm] <\vec{v},\vec{w}> [/mm] die Beziehung
[mm] d^2 [/mm] = [mm] <\vec{d},\vec{d}> [/mm] = [mm] <\vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}>
[/mm]
gewinnt. Ausmultipliziert kommt man zu
[mm] d^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] +2ab [mm] \cos(W(\vec{a},\vec{b})) [/mm] + 2bc [mm] \cos(W(\vec{b},\vec{c})) [/mm] + 2ac [mm] \cos(W(\vec{a},\vec{c}))
[/mm]
wobei [mm] W(\vec{a},\vec{b}) [/mm] der Winkel zwischen den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ist.
Dieser Winkel ist jedoch nicht [mm] \alpha [/mm] sondern der dazugehörige Außenwinkel [mm] 180°-\alpha [/mm] . Analoges gilt für [mm] \beta.
[/mm]
Zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] befindet sich der Winkel [mm] 360°-\alpha-\beta.
[/mm]
Insgesamt kommt man auf die Gleichung:
0 = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] - [mm] d^2 [/mm] - 2ab [mm] \cos(\alpha) [/mm] - 2bc [mm] \cos(\beta) [/mm] + 2ac [mm] \cos(\alpha+\beta)
[/mm]
die sich mit dem schon sichtbaren +,-,+,- Schema auf Polygone mit beliebig viele Ecken erweitern läßt. Insbesondere gilt diese Gleichung auch in überschlagenen Polygonen, wenn man die dann nicht mehr unbedingt innen liegenden Innen-Winkel richtig definiert.
Hugo
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