matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Topologie und Geometrie > Geodätische -minimale Energie
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Topologie und Geometrie" - Geodätische -minimale Energie
Geodätische -minimale Energie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Geodätische -minimale Energie: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:38 Di 03.07.2012
Autor: speedy05

Ich soll den Beweis zu folgendem Korollars in einem Vortrag am morgigen Tag skizzieren. Ursprünglich wollte ich den Beweis ganz weglassen und hatte ihn mir bislang nicht genau angesehen und nun läuft mir die Zeit davon. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen.

Korollar: Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Seien p,q \in S,. Ist c:[a,b] \to S eine Verbindungskurve von p nach q mit minimaler Energie, so gilt
\frac{\nabla}{dt} \dot{c}_0(t)=0 für alle t \in [a,b].

Beweis:
Aus Stetigkeitsgründen genügt es, die Behauptung für alle t \in (a,b) zu zeigen. Angenommen, für ein t_0 \in (a,b) wäre \frac{\nabla}{dt} \dot{c}_0(t_0) \neq 0.
Wir wählen eine lokale Parametrisierung (U,F,V), so dass c(t_0) \in V. Ferner wählen wir ein \delta >0 mit
\bullet \quad [t_0 - \delta, t_o + \delta] \subset (a,b) \\ \bullet \quad c(t) \in V für alle t \in [t_0 - \delta, t_0 + \delta].
Wir definieren \[ u: [t_0 -\delta, t_0 + \delta] \to U, \quad u(t):=F^{-1}(c(t)), \] sowie
\[X: [t_0 -\delta, t_0 + \delta] \to R^{2}, \] \[X(t):=(D_{u(t)}F)^{-1} \bigg( \frac{\nabla}{dt} \dot{c}_0(t)\bigg).\]
Es gilt also \[\frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t) = D_{u(t)} F(X(t)). \]
Wir wählen eine glatte Funktion \varphi: [t_0 -\delta, t_0 + \delta] \to \R mit
\bullet \quad \varphi \geq 0 \bullet \quad \varphi(t_0) > 0 \bullet \quad supp(\varphi) \subset [t_0 -\delta, t_0 + \delta].

Für hinreichend kleines \varepsilon > 0 gilt für alle t \in [t_0 -\delta, t_0 + \delta] und alle s \in (-\varepsilon, \varepsilon), dass u(t) + s \cdot \varphi(t) \cdot X(t) \subset U. Wir können also definieren \[c_s(t):=F\bigg(u(t)+s \cdot \varphi(t) \cdot X(t)\bigg) \subset V \subset S\]
für alle t \in [t_0 -\delta, t_0 + \delta] und alle s \in (-\varepsilon, \varepsilon). Für s \in (-\varepsilon,\varepsilon) und t \in [a-b] - [t_0 -\delta, t_0 + \delta] setzen wir \[c_s(t):=c(t).\]
Dann ist c_s(t) glatt in (s,t) \in (-\varepsilon, \varepsilon) \times [a,b]. Wir berechnen das Variationsfeld. Für t \in [a,b] - [t_0 -\delta, t_0 + \delta] gilt offensichtlich
\[V(t)= \frac{\partial}{\partial s}\bigg|_{s=0} c_s(t)=0,\]
während für t \in [t_0 -\delta, t_0 + \delta] gilt
V(t) & = \frac{\partial}{\partial s}\bigg|_{s=0} c_s(t) =\frac{\partial}{\partial s}\bigg|_{s=0} F(u(t)+s\cdot\varphi(t) \cdot X(t)) =D_{u(t)}F(\varphi(t) \cdot X(t)) =\varphi(t) \frac{\nabla}{dt}\dot{c}(t).


Wir setzen dies in die Variationsformel für die Energie ein und erhalten
\frac{d}{ds} E[c_s]\bigg|_{s=0} &= - \int_a^{b} g_{c(t)} \bigg(V(t), \frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t) \bigg) dt \\ &= - \int_{t_{0}-\delta} ^{t_0 + \delta} g_{c(t)} \bigg( \varphi(t) \cdot \frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t), \frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t) \bigg)dt\\ &= - \int_{t_{0}-\delta} ^{t_0 + \delta} \varphi(t) g_{c(t)} \bigg( \frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t), \frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t) \bigg)dt \\ &<0
Wegen der Energieminimalität der Kurve c=c_0 muss aber \[\frac{d}{ds} E[c_s]\bigg|_{s=0} =0\] gelten, ein Widerspruch.

Das ist der Beweis, wie er im Buche steht (Bär, Korollar 4.5.6). Nun ist meiner Meinung nach am Anfang ein Tippfehler und es müsste im Korollar schon \frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t)=0, also ohne Index 0 heißen. Stimmt ihr mir zu?

Nun soll ich alles, bis auf die letzte Rechnung, wo man zeigt, dass die Energie negativ wäre, mit einer Grafik veranschaulichen. Das find ich aber alles andere als einfach.
So wie ich das bisher verstanden habe, sorgt mein X(t) dafür, dass die Kurve verzogen wird. Aber mir ist nicht klar, wie ich das ganze per Grafik erklären soll, was da passiert.
Würde euch sogar dafür entlohnen, wenn ihr mir noch schnell helfen könntet ;)

Ich hatte mir gestern noch ein paar Zeichnungen gemacht, aber richtig erklären kann ich das ganze damit nicht. Stimmen die Zeichnungen wenigstens so? [Dateianhang nicht öffentlich]

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=170415&start=0&lps=1256839#naechster6
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Geodätische -minimale Energie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:17 Di 03.07.2012
Autor: speedy05

Ich hab hier mal ein paar Gedanken zu Papier gebracht, aber leider kann ich das ganze nicht erklären. Stimmen die Zeichnungen? Bin gerade etwas überfordert :(
[a][Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Ich hoffe das Bild wird hier gleich zu sehen sein, ansonsten schaut im oben genannten anderen Forum. Danke
Bezug
        
Bezug
Geodätische -minimale Energie: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Do 05.07.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]