Genauigkeit Simpson-Methode < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:27 Sa 14.02.2009 | | Autor: | jvf |
Hallo zusammen :)
Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen. Es geht bei meiner Aufgabe darum, die Bogenlänge einer Ellipse mit Hilfe der Simpsonmethode auf 0,001 zu approximieren.
Wie die Simsponmethode funktioniert und dass das Polynom mit einer Geschwindigkeit von [mm] O(1/n^4) [/mm] konvergiert, ist mir klar. Das liefert aber keine Aussage über den exakten Wert des Fehlers. Es gibt ja diese Formel, der Fehler ist kleiner als die [mm] (b-a)^5/ (180*n^4)*max f^{(4)} [/mm] auf diesem Intervall.
Nun habe ich aber [mm] f(x)=\wurzel(1+3*sin^2(x)), [/mm] was zwar differenzierbar ist, aber die 4. Ableitung ist dann ein riseiger Term, dem man überhaupt nicht ansieht, wie groß der Wert maximal wird.
Ich habe in einem Buch eine ähnliche Aufgabe gefunden, bei der y = [mm] \wurzel(1-0.5sin^2(x)) [/mm] mit Hilfe der Simpsonmethode integriert werden soll. Die vierte Ableitung wird dort nach oben durch 12 abgeschätzt und folgendermaßen begründet:
"Offenbar ist y [mm] =f(x)\ge 1/\wurzel(2); [/mm] differenzieren wir die Identität [mm] y^2=1-0.5sin^2x, [/mm] so erhalten wir leicht nacheinander obere Schranken für die Absolutbeträge der Ableitungen [mm] y^{'}, y^{''}, y^{'''}, y^{(4)} [/mm] "
Mit dieser Begründung kann ich leider überhaupt nichts anfangen...also vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben, wie genau der Autor auf diese Abschätzung kommt, oder wie man das sonst abschätzen könnte.
Wäre sehr dankbar :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen :)
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> Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen. Es geht bei
> meiner Aufgabe darum, die Bogenlänge einer Ellipse mit
> Hilfe der Simpsonmethode auf 0,001 zu approximieren.
> Wie die Simsponmethode funktioniert und dass das Polynom
> mit einer Geschwindigkeit von [mm]O(1/n^4)[/mm] konvergiert, ist mir
> klar. Das liefert aber keine Aussage über den exakten Wert
> des Fehlers. Es gibt ja diese Formel, der Fehler ist
> kleiner als die [mm](b-a)^5/ (180*n^4)*max f^{(4)}[/mm] auf diesem
> Intervall.
> Nun habe ich aber [mm]f(x)=\wurzel(1+3*sin^2(x)),[/mm] was zwar
> differenzierbar ist, aber die 4. Ableitung ist dann ein
> riesiger Term, dem man überhaupt nicht ansieht, wie groß
> der Wert maximal wird.
> Ich habe in einem Buch eine ähnliche Aufgabe gefunden, bei
> der y = [mm]\wurzel(1-0.5sin^2(x))[/mm] mit Hilfe der Simpsonmethode
> integriert werden soll. Die vierte Ableitung wird dort nach
> oben durch 12 abgeschätzt und folgendermaßen begründet:
> "Offenbar ist y [mm]=f(x)\ge 1/\wurzel(2);[/mm] differenzieren wir
> die Identität [mm]y^2=1-0.5sin^2x,[/mm] so erhalten wir leicht
> nacheinander obere Schranken für die Absolutbeträge der
> Ableitungen [mm]y^{'}, y^{''}, y^{'''}, y^{(4)}[/mm] "
> Mit dieser Begründung kann ich leider überhaupt nichts
> anfangen...also vielleicht kann mir jemand einen Tipp
> geben, wie genau der Autor auf diese Abschätzung kommt,
> oder wie man das sonst abschätzen könnte.
Hallo jvf,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Diese vierte Ableitung ist wahrhaftig ein Ungetüm.
Dass [mm] \wurzel(1-0.5sin^2(x))\ge 1/\wurzel{2}, [/mm] ist leicht einzusehen, weil
[mm] 0\le sin^2(x)\le [/mm] 1. Für deine Funktion gilt aus demselben
Grund [mm] 1\le f(x)\le [/mm] 2.
Wenn wir nun dem Ratschlag des Autors folgen
wollen, gilt es also, die Gleichung
$\ [mm] y^2=1+3*sin^2(x)$
[/mm]
wiederholt abzuleiten. Erster Schritt:
$\ 2*y*y'=6*sin(x)*cos(x)=3*sin(2x)$
Daraus ergibt sich [mm] y'=\bruch{3*sin(2x)}{2y} [/mm]
Wegen [mm] |sin(2x)|\le [/mm] 1 und [mm] |y|\ge [/mm] 1 folgt daraus [mm] |y'|\le \bruch{3}{2}
[/mm]
Leiten wir die letzte Gleichung in der Form
$\ [mm] y*y'=\bruch{3}{2}*sin(2x)$
[/mm]
ein weiteres Mal ab, haben wir:
$\ [mm] (y')^2+y*y''=3*cos(2x)$
[/mm]
Nach y'' aufgelöst:
$\ [mm] y''=\bruch{3*cos(2x)-(y')^2}{y}$
[/mm]
Nun kann man den Betrag von y'' mit Hilfe der
bisherigen Ergebnisse nach oben abschätzen.
Ich habe [mm] |y''|\le \bruch{21}{4} [/mm] erhalten. In dieser Weise sind
nun zwei weitere Schritte zu machen, die doch
wesentlich angenehmer sind als der Kampf mit
den überhand nehmenden Wurzeln, den man
beim "normalen" Ableiten der Funktion hätte.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 15.02.2009 | | Autor: | jvf |
Hallo Al-Chwarizmi!
ein riesengroßes Dankeschön für deine schnelle Antwort. Du hast mir sehr geholfen, habe nämlich stundenlang über diese Abschätzung gerätselt. Jetzt habe ich es endlich raus :). Danke!
Viele Grüße,
jvf
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> Hallo Al-Chwarizmi!
>
> ein riesengroßes Dankeschön für deine schnelle Antwort. Du
> hast mir sehr geholfen, habe nämlich stundenlang über diese
> Abschätzung gerätselt. Jetzt habe ich es endlich raus :).
> Danke!
>
> Viele Grüße,
> jvf
Hallo jvf,
ich habe das Ganze auch durchgerechnet. Deshalb
würde mich noch ein Vergleich der Ergebnisse
interessieren. Ich habe z.B. erhalten:
[mm] $\left|f^{(4)}(x)\right|<273$
[/mm]
Ausserdem habe ich mich gefragt, ob die resultie-
rende Lösung für n (ich habe n>6, also eigentlich
[mm] n_{min}=8 [/mm] erhalten) wirklich der Realität ent-
spricht. Du hattest sicher die Ellipse mit den
Halbachsen a=2 und b=1. Soll nun der ganze
Umfang auf absolut ±0.001 berechnet werden,
oder ist mit 0.001 ein relativer Fehler gemeint ?
Ich vermute nämlich, dass womöglich n=6 auch
schon genügen würde.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Mo 16.02.2009 | | Autor: | jvf |
Hallo Al-Chwarizmi!
also die Aufgabe lautete genau: "Berechen Sie die Bogenlänge der Ellipse [mm] \bruch{x^2}{4} [/mm] + [mm] y^2=1 [/mm] zwischen den Punkten x=-2 und x=2 bis auf 0,001 genau."
Nun zu meiner Rechnung:
dritte Ableitung:
Differenziere [mm] (y^{'})^2+y*y^{''}
[/mm]
und bekomme
[mm] 2*y^{'}*y^{''}+y^{'}*y^{''}+y*y^{'''}=-6sin(2x)
[/mm]
also [mm] y^{'''}=\bruch{-6sin(2x)-3*y^{'}*y^{''}}{g}
[/mm]
[mm] |y^{'''}|\le \bruch{237}{8}
[/mm]
vierte Ableitung:
[mm] 3*(y^{''})^2+4*y^{'}*y^{'''}+y*y^{(4)}=-12cos(2x)
[/mm]
somit [mm] g^{(4)}=\bruch{-12cos(2x)-3(g^{''})^2-4g^{'}*g^{'''}}{g}
[/mm]
und [mm] |y^{(4)}|\le\bruch{4359}{16}
[/mm]
Dann bekomme ich für den Fehler:
[mm] |\integral_{0}^{\pi}{\wurzel{1+3sin^2(t)}dt}-I_s|<\bruch{4359*\pi^5}{180*16*16*n^4}
[/mm]
also [mm] n^4>\bruch{1000*4359*\pi^5}{180*16*16}
[/mm]
n>13,044
Deswegen wähle ich also n=14 um auf dem Intervall 0 bis [mm] \pi [/mm] die gewünschte Genauigkeit zu erreichen.
In Wirklichkeit ist die Näherung aber viel besser. Für einen Fehler kleiner 0,001 reicht auch schon n=11 (hab das mal ausgerechnet und komme damit auf ca. 4,8442).
Da hätte ich übrigens doch noch eine Frage: Du schreibst n=8 oder n=6. Muss n denn zwangsläufig gerade sein? Ich unterteile doch einfach mein Intervall in n Teilintervalle. Spielt es da eine Rolle, ob es eine gerade oder ungerade Anzahl an Intervallen ist?
LG,
jvf
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> Hallo Al-Chwarizmi!
>
> also die Aufgabe lautete genau: "Berechen Sie die
> Bogenlänge der Ellipse [mm]\bruch{x^2}{4}[/mm] + [mm]y^2=1[/mm] zwischen den
> Punkten x=-2 und x=2 bis auf 0,001 genau."
Also nur den halben Ellipsenumfang ...
> Nun zu meiner Rechnung:
> dritte Ableitung:
> Differenziere [mm](y^{'})^2+y*y^{''}[/mm]
> und bekomme
> [mm]2*y^{'}*y^{''}+y^{'}*y^{''}+y*y^{'''}=-6sin(2x)[/mm]
> also [mm]y^{'''}=\bruch{-6sin(2x)-3*y^{'}*y^{''}}{g}[/mm]
> [mm]|y^{'''}|\le \bruch{237}{8}[/mm]
> vierte Ableitung:
> [mm]3*(y^{''})^2+4*y^{'}*y^{'''}+y*y^{(4)}=-12cos(2x)[/mm]
> somit
> [mm]g^{(4)}=\bruch{-12cos(2x)-3(g^{''})^2-4g^{'}*g^{'''}}{g}[/mm]
> und [mm]|y^{(4)}|\le\bruch{4359}{16}[/mm]
Genau. Das hatte ich auch.
> Da hätte ich übrigens doch noch eine Frage: Du schreibst
> n=8 oder n=6. Muss n denn zwangsläufig gerade sein? Ich
> unterteile doch einfach mein Intervall in n Teilintervalle.
> Spielt es da eine Rolle, ob es eine gerade oder ungerade
> Anzahl an Intervallen ist?
Beim Simpsonschen Verfahren in dieser Form braucht man
eine gerade Anzahl von Intervallen, sonst geht es mit der
Faktorenfolge 1,4,2,4,2,4,.....,4,2,4,1 nicht auf. Ich rätsle,
warum es bei dir mit n=11 funktioniert. Ich erhalte mit
n=11 einen Phantasiewert, der um 0.3 daneben liegt.
Ich habe wegen der Symmetrie nur von 0 bis [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
integriert (sonst verwendet man die gleichen Werte zweimal).
Um für den halben Ellipsenumfang den Fehler unter
0.001 zu halten, müsste ich ihn für die Viertelellipse unter
0.0005 halten. Dann bekomme ich ebenfalls deinen Wert
n>13.044, also [mm] n\ge [/mm] 14. Effektiv genügt aber schon n=10,
um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen:
In[75]:= [mm] f[x]:=Sqrt[1+3*Sin[x]^2]
[/mm]
In[92]:= n:=10;a:=0;b:=Pi;h:=(b-a)/n
x[j_]:=a+j*h
T:=h/3*(f[x[0]]+2*Sum[f[x[2*j]],{j,n/2-1}]+4*Sum[f[x[2*j-1]],{j,n/2}]+f[x[n]])
N[T,7]
Out[95]= 4.844561
In[96]:= N[Integrate[f[x],{x,0,Pi}],7]
Out[96]= 4.844224
In[97]:= N[T,7]-N[Integrate[f[x],{x,0,Pi}],7]
Out[97]= 0.000337
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Mo 16.02.2009 | | Autor: | jvf |
ich poste mal meine Rechnung mit n=11:
Zerlegungspunkte:
[mm] x_0=0 [/mm]
[mm] x_1=\pi/11 [/mm]
[mm] x_2=2\pi/11 [/mm]
[mm] x_k=k\pi/11
[/mm]
[mm] x_{11}=\pi
[/mm]
Stützstellen:
[mm] \xi_0=\pi/22 [/mm]
[mm] \xi_1=3\pi/22 [/mm]
[mm] \xi_k=(2k+1)\pi/22 [/mm]
[mm] \xi_{10}=21\pi/22
[/mm]
Funktionswerte:
[mm] f(x_0)=f(x_{11})=1
[/mm]
[mm] f(x_1)=f(x_{10}) \approx1,1127
[/mm]
[mm] f(x_2)=f(x_9) \approx1,3670
[/mm]
[mm] f(x_3)=f(x_8)\approx1,6473
[/mm]
[mm] f(x_4)=f(x_9)\approx1,8661
[/mm]
[mm] f(x_5)\approx1,9848
[/mm]
[mm] f(\xi_0)=f(\xi_{10}) \approx1,030
[/mm]
[mm] f(\xi_1)=f(\xi_9)\approx1,2320
[/mm]
[mm] f(\xi_2)=f(\xi_8)\approx1,5811
[/mm]
[mm] f(\xi_3)=f(\xi_7)\approx1,7672
[/mm]
[mm] f(\xi_4)=f(\xi_6)\approx1,9396
[/mm]
[mm] f(\xi_5)=2
[/mm]
Summe berechnen:
[mm] \integral_{0}^{\pi} \wurzel{1+3sin^2(t)}dt \approx \bruch{\pi}{66}*(f(0)+f(\pi)+2*(f(x_1)+...+f(x_{10}))+4*(f(\xi_0)+...+f(\xi_{10})))\approx [/mm] 4,8442
Naja, werde es noch mit n=14 ausrechnen, dann sollte es definitiv stimmen :)
Also vielen Dank nochmal, Du hast mir sehr geholfen.
Gruß,
jvf
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Ich sehe, dass wir offenbar doch nicht mit der genau
gleichen Formel arbeiten. Du hast nebst den x-Werten
noch [mm] \xi- [/mm] Werte; ich habe nur die x-Werte [mm] x_0,x_1, [/mm] ..... [mm] ,x_n [/mm] .
Einerlei: es zeigt sich, dass die Bestimmung des
nötigen n-Wertes mit der Fehlerformel recht
konservativ ist - in der Realität genügt ein
deutlich kleineres n auch schon.
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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