Genau Diagonalisierbar WENN... < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Sei A= [mm] (a_{ij}) \in [/mm] M(4,K) eine obere Dreiecksmatrix mit [mm] a_{11} [/mm] = [mm] a_{22} \not= a_{33} [/mm] = [mm] a_{44} [/mm] .
Zeigen Sie: A ist genau dann diagonalisierbar, wenn [mm] a_{12} [/mm] = [mm] a_{34} [/mm] = 0. |
Ich habe mir solch eine Matrix zur verdeutlichung aufgestellt:
[mm] A=\pmat{ \green{ a_{11}} & 0 &a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & \green{a_{22}} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & \blue{a_{33}} & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & \blue{a_{44}} }
[/mm]
green [mm] \not= [/mm] blue
Meine Überlegung ist, dass alle Vektoren L.u. sein müssen
wenn wir die dargestellte Matrix haben, bewirken die beiden Einträge "0" dass die ersten beiden vektoren mit den grünen einträgen lu sind und die beiden blauen ebenfalls.
nun bleibt mir die frage offen, ob der vektor der ersten spalte lu zum Vektor der 3ten spalte ist....
ist mein Ansatz richtig?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei A= [mm](a_{ij}) \in[/mm] M(4,K) eine obere Dreiecksmatrix mit
> [mm]a_{11}[/mm] = [mm]a_{22} \not= a_{33}[/mm] = [mm]a_{44}[/mm] .
> Zeigen Sie: A ist genau dann diagonalisierbar, wenn [mm]a_{12}[/mm]
> = [mm]a_{34}[/mm] = 0.
> Ich habe mir solch eine Matrix zur verdeutlichung
> aufgestellt:
>
>
> A= [mm]\pmat{ [green]a_{11}[/green] & 0 &a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & [green]a_{22}[/green] & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & [blue]a_{33}[/blue] & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & [blue]a_{44}[/blue] }[/mm]
>
> green [mm]\not=[/mm] blue
>
>
> Meine Überlegung ist, dass alle Vektoren L.u. sein
> müssen
> wenn wir die dargestellte Matrix haben, bewirken die
> beiden Einträge "0" dass die ersten beiden vektoren mit
> den grünen einträgen lu
Und was machst Du, wenn diese beiden Spalten jeweils aus Nullen bestehen ?
FRED
> sind und die beiden blauen
> ebenfalls.
> nun bleibt mir die frage offen, ob der vektor der ersten
> spalte lu zum Vektor der 3ten spalte ist....
>
> ist mein Ansatz richtig?
> danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
dann wäre doch [mm] a_{11} [/mm] = [mm] a_{33} [/mm] und das ist laut voraussetzung nicht möglich! oder doch?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> dann wäre doch [mm]a_{11}[/mm] = [mm]a_{33}[/mm]
Wie kommst Du darauf ? Ich sprach von Spalte 1 und Spalte 2
FRED
> und das ist laut
> voraussetzung nicht möglich! oder doch?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
richtig
und für mich wäre dann
[mm] \vektor{[green]0[/green] \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ [blue]0[/blue] \\ 0}
[/mm]
für mich wäre dann 0 = 0
für dich nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> richtig
> und für mich wäre dann
> [mm]\vektor{[green]0[/green] \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ [blue]0[/blue] \\ 0}[/mm]
>
> für mich wäre dann 0 = 0
> für dich nicht?
Nicht so vorlaut ! [mm] a_{33} [/mm] steht in der 3. Spalte !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
ich glaube wir reden aneinander vorbei!
wenn die erste und die 3te spalte aus NULLEN besteht, dann sind die einträge die ungleich sein sollen, ebenfalls null! somit wäre das doch falsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> ich glaube wir reden aneinander vorbei!
> wenn die erste und die 3te spalte aus NULLEN besteht
Ich habe aber von der ersten und der zweiten Spalte gesprochen !!!!!
Und das auch nur, weil Du diese Spalten ins Spiel gebracht hast.
Wenn also diese beiden Spalten nur aus Nullen bestehen, können sie nicht l.u. sein , wie Du zuerst gehofft hast.
FRED
> , dann
> sind die einträge die ungleich sein sollen, ebenfalls
> null! somit wäre das doch falsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
> > dann wäre doch [mm]a_{11}[/mm] = [mm]a_{33}[/mm]
>
>
> Wie kommst Du darauf ? Ich sprach von Spalte 1 und Spalte
> 3
>
> FRED
>
> > und das ist laut
> > voraussetzung nicht möglich! oder doch?!
>
ich sehe hier eher die rede von spalte 1 & 3
naja, auch die meister machen mal fehler ;)
wenn du die spalten 1 & 2 meinst, dann verstehe ich es.
was kann ich nun machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > dann wäre doch [mm]a_{11}[/mm] = [mm]a_{33}[/mm]
> >
> >
> > Wie kommst Du darauf ? Ich sprach von Spalte 1 und Spalte
> > 3
> >
> > FRED
> >
> > > und das ist laut
> > > voraussetzung nicht möglich! oder doch?!
> >
>
>
> ich sehe hier eher die rede von spalte 1 & 3
> naja, auch die meister machen mal fehler ;)
Pardon ich hab mich verschrieben
FRED
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> wenn du die spalten 1 & 2 meinst, dann verstehe ich es.
>
>
> was kann ich nun machen?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:42 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
dachte ich mir doch :) aber kein problem!
also wäre mein ansatz falsch...
kannst du mir hier weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei A= [mm](a_{ij}) \in[/mm] M(4,K) eine obere Dreiecksmatrix mit
> [mm]a_{11}[/mm] = [mm]a_{22} \not= a_{33}[/mm] = [mm]a_{44}[/mm] .
> Zeigen Sie: A ist genau dann diagonalisierbar, wenn [mm]a_{12}[/mm]
> = [mm]a_{34}[/mm] = 0.
>
> Ich habe mir solch eine Matrix zur verdeutlichung
> aufgestellt:
>
>
> [mm]A=\pmat{ \green{ a_{11}} & 0 &a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & \green{a_{22}} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & \blue{a_{33}} & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & \blue{a_{44}} }[/mm]
>
> green [mm]\not=[/mm] blue
>
>
> Meine Überlegung ist, dass alle Vektoren L.u. sein
> müssen
> wenn wir die dargestellte Matrix haben, bewirken die
> beiden Einträge "0" dass die ersten beiden vektoren mit
> den grünen einträgen lu sind und die beiden blauen
> ebenfalls.
> nun bleibt mir die frage offen, ob der vektor der ersten
> spalte lu zum Vektor der 3ten spalte ist....
>
> ist mein Ansatz richtig?
> danke
A ist eine obere Dreiecksmatrix mit $ [mm] a_{11} [/mm] $ = $ [mm] a_{22} \not= a_{33} [/mm] $ = $ [mm] a_{44} [/mm] $
Mach Dir damit klar, dass A den doppelten Eigenwert [mm] a_{11} [/mm] und den doppelten Eigenwert [mm] a_{33} [/mm] hat.
Sei $ [mm] a_{12} [/mm] $ = $ [mm] a_{34} [/mm] $ = 0.
Für [mm] \lambda=a_{11} [/mm] schreibe Dir das LGS
(A- [mm] \lambda [/mm] E)*x=0
hin. Dann wirst Du sehen, dass die ersten beiden Einheitsvektoren des [mm] \IR^4 [/mm] eine Basis des zugeh. Eigenraumes sind.
Für [mm] \lambda=a_{33} [/mm] verfahre genauso.
Dann wirst Du sehen: es gibt eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] aus Eigenvektoren von A.
FRED
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