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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mi 25.10.2006 | | Autor: | MonaMoe |
| Aufgabe | [mm] f_{t}(x)= \bruch{3}{8t}*(x^{3}-6x^{2}+16t)
[/mm]
a)Berechne die gemeinsamen Punkte aller Kurvenscharen.
b)Untersuche, ob sich alle Kurven der Schar in ihren gemeinsamen Punkten berühren.
c) Zeige,dass sich die Wendetangenten aller Scharkurven in einem Punkt schneiden!
Welche Beziehung muss zwischen [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] bestehen, damit sich die zu [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] gehörenden Tangenten senkrecht schneiden? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also ich hab diese Aufgabe gerechnet, doch das Ergebnis sieht komisch aus! Bisher ist noch nicht so ein Bruchergebnis heraus gekommen und an allen Aufgaben die ich alleine versucht habe, bin ich immer gescheitert!Ich hab halt immer irgendwo Fehler gemacht!
Also meine gemeinsamen Punkte sind einmal: [mm] P_{1,2}(0/6) [/mm] und [mm] P_{3}(-\bruch{3}{4}/+\bruch{87}{64})
[/mm]
[mm] P_{1,2} [/mm] sehen ja ganz o.k aus, doch bei [mm] P_{3} [/mm] bin ich mir nicht sicher.
Kann mir jemand sagen, ob das richtig ist?
Ich muss ja auch mit den Punkten weiter rechnen bei Aufgabe b). Da hab ich beschlossen, dass nur [mm] P_{1,2}(0/6) [/mm] der Punkt ist, den alle Kurvenscharen berühren.
Wenn ich nähmlich [mm] P_{3}(-\bruch{3}{4}/+\bruch{87}{64}) [/mm] in die erste Ableitung setzte, ist das Ergebnis nicht t-frei. Das heißt doch, dass sich die Schar nicht in diesem Punkt berühren, oder? Denk ich mir mal so!
Und die Aufgabe c) hat unser Lehrer gar nicht mit uns besprochen.
Also meine Idee:
Ich setzte die [mm] Punkte_{1,2,3} [/mm] je in die 1.Ableitung und löse nach x auf.
Die x-Werte setz ich in [mm] f_{t}(x) [/mm] ein und erhalte so meine Berührpunkte?
Diese würde ich dann in die 1.Ableitung setzen um die Tangentengleichung zu bekommen, die ich widerum in die Punkt-Steigungsform eisetzte?
Und so bekomme ich erst die Tangentengleichungen?
Also ich glaub ich hab mir da einen Salat zusammnengesetzt, der vorne und hinten nicht stimmt, oder?
Und die Frage,welche Beziehung da bestehen muss, haut mich ganz um! Ich hab keine Ahnung wie ich das machen soll!
Bitte helft mir!!!
MfG
Mona
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Mi 25.10.2006 | | Autor: | MonaMoe |
Das ist eine große Aufgabe, ich weiß, aber es muss doch einen Schlauen geben, der weiß wie man das macht 
Bitte helft mir!
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Hallo MonaMoe!
> [mm]f_{t}(x)= \bruch{3}{8t}*(x^{3}-6x^{2}+16t)[/mm]
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> a)Berechne die gemeinsamen Punkte aller Kurvenscharen.
>
> b)Untersuche, ob sich alle Kurven der Schar in ihren
> gemeinsamen Punkten berühren.
>
> c) Zeige,dass sich die Wendetangenten aller Scharkurven in
> einem Punkt schneiden!
> Welche Beziehung muss zwischen [mm]t_{1}[/mm] und [mm]t_{2}[/mm] bestehen,
> damit sich die zu [mm]t_{1}[/mm] und [mm]t_{2}[/mm] gehörenden Tangenten
> senkrecht schneiden?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> also ich hab diese Aufgabe gerechnet, doch das Ergebnis
> sieht komisch aus! Bisher ist noch nicht so ein
> Bruchergebnis heraus gekommen und an allen Aufgaben die ich
> alleine versucht habe, bin ich immer gescheitert!Ich hab
> halt immer irgendwo Fehler gemacht!
> Also meine gemeinsamen Punkte sind einmal: [mm]P_{1,2}(0/6)[/mm] und
> [mm]P_{3}(-\bruch{3}{4}/+\bruch{87}{64})[/mm]
> [mm]P_{1,2}[/mm] sehen ja ganz o.k aus, doch bei [mm]P_{3}[/mm] bin ich mir
> nicht sicher.
> Kann mir jemand sagen, ob das richtig ist?
Bei [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] stimme ich mit dir überein. Es ergibt sich als Lösung:
[mm]P_{1}(0;0) P_{2}(0;0)[/mm]
Für [mm] P_3 [/mm] erhalte ich allerdings eine andere Lösung nämlich [mm]P_{3}(6;6)[/mm].
Zum Vergleich hier mein Ansatz:
Es gebe 2 verschiedene Funtkionen [mm] f_{t_1}=\bruch{3}{8t_1}(x^3-6x^2+16t_1) [/mm] und [mm] f_{t_2}=\bruch{3}{8t_2}(x^3-6x^2+16t_2) [/mm] mit [mm] t_{1}\not=t_{2} [/mm] und [mm] t_{1},t_{2}\not=0
[/mm]
Ermittelt man von diesen Funktionen die Schnittpunkt durch gleichsetzen der Funktionsterme so ergibt sich nach diversen Umformungen später folgender Term:
[mm] 0=x^2(t_{2}x-t_{1}x-6t_{2}+6t_{1})
[/mm]
Hierbei liefert [mm] x^2 [/mm] die besagte Doppellösung der Schnittpunkte bei [mm]x=0[/mm]. Der Term in der Klammer liefert als Lösung den Wert [mm]x=6[/mm], welcher in [mm] f_{t}(x) [/mm] eingesetzt den Funktionswert [mm] f_{t}(6)=6 [/mm] liefert.
> Ich muss ja auch mit den Punkten weiter rechnen bei Aufgabe
> b). Da hab ich beschlossen, dass nur [mm]P_{1,2}(0/6)[/mm] der Punkt
> ist, den alle Kurvenscharen berühren.
> Wenn ich nähmlich [mm]P_{3}(-\bruch{3}{4}/+\bruch{87}{64})[/mm] in
> die erste Ableitung setzte, ist das Ergebnis nicht t-frei.
> Das heißt doch, dass sich die Schar nicht in diesem Punkt
> berühren, oder? Denk ich mir mal so!
Mh, irgendwie sind alle wesentliche Argumente in deiner Schlussfolgerung enthalten, nur irgendwie in falscher Reihenfolge. 
Aufgabe b) empfinde ich als ein wenig überflüssig. Man könnte aber bei der Beantwortung der Frage wie folgt vorgehen:
Da bei der Schnittpunktermittlung der Kurven der Funktionsschar für [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] eine Doppellösung ermittelt wurde, liegt in diesem Fall kein Schnittpunkt sondern ein Berührungspunkt vor.
Analog könnte man auch den von dir erwähnten Weg über die erste Ableitung gehen. Dabei musst du nachweisen, daß die Tangenten der Funktionen in den Schnitt- bzw. Berührungspunkten den gleichen Ansteig haben. Dazu setzt du die ermittelten x-Werte der Schnittpunkte in f'_{t}(x) ein. [Zum Vergleich: [mm] f'_{t}(x)=\bruch{3}{8t}(3x^2-12x)]
[/mm]
Setzt man x=0 in [mm]f'_{t}(x)[/mm] ein so wird folgender Term erzeugt:
[mm] m=\bruch{3}{8t}(3*0^2-12*0)=\bruch{3}{8t}*0=0
[/mm]
Man sieht also, daß an der Stelle x=0 für alle Funktionen der Schar ein Tangentenanstieg von m=0 entsteht, unabhängig von t. Nachweis erbracht.
(Analog dazu erfolgt die Überprüfung für x=6. Dort sollte allerdings ein Term entstehen, welcher Abhängig von t ist)
> Und die Aufgabe c) hat unser Lehrer gar nicht mit uns
> besprochen.
Lehrer sind böse Menschen
> Also meine Idee:
> Ich setzte die [mm]Punkte_{1,2,3}[/mm] je in die 1.Ableitung und
> löse nach x auf.
Damit würdest du die Tangentenanstiege in den gemeinsamen Punkten der Funktionen der Schar ermitteln. Danach ist hier jedoch nicht gefragt. Es ist hier die Rede von Wendetangenten, also von Tangenten in den Wendepunkten (sofern es welche gibt) der Funktionen. Das heisst für dich: auf zu einer kleinen Kurvendiskussion.Im Klartext: Bilde [mm]f''_{t}(x)[/mm] und setze diese Ableitung zu Null und ermittle die allgemeinen Wendepunkte der Funktionschar.
> Die x-Werte setz ich in [mm]f_{t}(x)[/mm] ein und erhalte so meine
> Berührpunkte allgemeinen Wendepunkte?
> Diese würde ich dann in die 1.Ableitung setzen um die
> Tangentengleichung zu bekommen, die ich widerum in die
> Punkt-Steigungsform eisetzte?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Und so bekomme ich erst die Tangentengleichungen?
Jo. Sehr umständlich, aber die einzige - mir bekannte - Möglichkeit.
> Also ich glaub ich hab mir da einen Salat zusammnengesetzt,
> der vorne und hinten nicht stimmt, oder?
Ich erhalte auch eine Menge Salat. Für den gemeinsamen Schnittpunkt der Wendetangenten erhalte ich eine Lösung, die so ausseht: [mm] x=\bruch{4}{3t_{1}t_{2}}+2
[/mm]
Diese Lösung besagt jedoch, daß die Wendetangenten keinen einheitlichen Schnittpunkt haben, da die Parameter [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] in der Lösung noch vorhanden sind. (Ich hab mich wohl irgendwo vertan.)
Zum Vergleich: Für die allgemeinen Wendetangenten [mm] y_{W} [/mm] erhielt ich folgendes:
[mm] y_{W}=-\bruch{9}{2}t*x+\bruch{6}{t}(t-1)+9t
[/mm]
> Und die Frage,welche Beziehung da bestehen muss, haut mich
> ganz um! Ich hab keine Ahnung wie ich das machen soll!
Kurioser Weise ist diese Aufgabe dann relativ einfach. Damit zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen muss zwischen deren Anstiegen [mm] m_{1} [/mm] und [mm] m_{2} [/mm] folgende Bedingung erfüllt sein: [mm] m_{1}*m_{2}=-1
[/mm]
Für die Anstiege der Wendetangenten erhält man [mm] m_{1}=-\bruch{9}{2}t_{1} [/mm] und [mm] m_{2}=-\bruch{9}{2}t_{2} [/mm] . Setzt man dies nun in die eben erwähnte Bedingung ein so erhält man durch Umstellen folgenden Term:
[mm] t_{1}*t_{2}=-\bruch{4}{81}
[/mm]
Das bedeutet: Damit die Wendetangenten senkrecht aufeinander stehen muss das Produkt ihrer Anstiege [mm] -\bruch{4}{81} [/mm] ergeben.
> Bitte helft mir!!!
>
> MfG
> Mona
Gruß,
Tommy
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