Gemeinsame Dichte herausfinden < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 So 04.07.2010 | | Autor: | Manu87 |
| Aufgabe | Gegeben sei das Dreieck [mm] \Delta [/mm] := {(x, y) : x [mm] \ge [/mm] 0; y [mm] \ge [/mm] 0; x + y [mm] \le [/mm] 2}. Der Zufallsvektor (X, Y) sei gleichverteilt auf [mm] \Delta [/mm] und beschreibe das zufällige Auswählen eines Punktes aus [mm] \Delta.
[/mm]
Berechnen Sie P(Y > 1 | X = x).
Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die gemeinsame Dichte von X und Y und dann die Randverteilung von X. |
1. Wenn ich die Dichtefunktion hätte, könnte ich die Randdichtefunktion f(x) mit dem Integral über y von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] herausfinden. f(y) analog.
2. Die Randverteilung ist dann die Stammfunktion der Randdichte. (stimmt das? - Die Formel im ![[]](/images/popup.gif) Wiki verstehe ich nicht) Und was mir die Randverteilung hier bringt verstehe ich auch nicht.
3. P(Y > 1 | X = x) errechne ich mir mit dem Integral der bedingten Dichtefunktion [mm] f_{(Y|X)}(y|x) [/mm] (f(y) wenn X und Y unabhängig) über y von 1 bis [mm] \infty.
[/mm]
Wär nett wenn mir jemand sagen könnte ob das Richtig ist, gegen Ende des Semesters kann ich mir keine Fehler leisten. Mein eigentliches Problem ist allerdings, dass ich nicht weiß wie ich auf die gemeinsame Dichtefunktion komme.
Gruß Manu
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Manu87 |
Kann mir denn keiner helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mo 05.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Gegeben sei das Dreieck [mm]\Delta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {(x, y) : x [mm]\ge[/mm] 0; y [mm]\ge[/mm]
> 0; x + y [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2}. Der Zufallsvektor (X, Y) sei
> gleichverteilt auf [mm]\Delta[/mm] und beschreibe das zufällige
> Auswählen eines Punktes aus [mm]\Delta.[/mm]
> Berechnen Sie P(Y > 1 | X = x).
> Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die gemeinsame Dichte von
> X und Y und dann die Randverteilung von X.
> 1. Wenn ich die Dichtefunktion hätte, könnte ich die
> Randdichtefunktion f(x) mit dem Integral über y von
> [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm] herausfinden. f(y) analog.
> 2. Die Randverteilung ist dann die Stammfunktion der
> Randdichte. (stimmt das? - Die Formel im
> Wiki
> verstehe ich nicht) Und was mir die Randverteilung hier
> bringt verstehe ich auch nicht.
> 3. P(Y > 1 | X = x) errechne ich mir mit dem Integral der
> bedingten Dichtefunktion [mm]f_{(Y|X)}(y|x)[/mm] (f(y) wenn X und Y
> unabhängig) über y von 1 bis [mm]\infty.[/mm]
>
>
> Wär nett wenn mir jemand sagen könnte ob das Richtig ist,
> gegen Ende des Semesters kann ich mir keine Fehler leisten.
> Mein eigentliches Problem ist allerdings, dass ich nicht
> weiß wie ich auf die gemeinsame Dichtefunktion komme.
Ich würd mal sagen:
Wenn [mm] \Delta [/mm] eine meßbare Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] mit [mm] 0
[mm] x\in\IR^n\mapsto f(x):=1/V(\Delta)*1_\Delta(x)
[/mm]
wobei V(B) der maßtheoretische Inhalt von [mm] \Delta [/mm] sein soll und [mm] 1_\Delta [/mm] die Indikatorfunktion bezüglich [mm] \Delta [/mm] bezeichnet.
Das ist dann eine gemeinsame Verteilung von n ZVn [mm] X_1,...,X_n, [/mm] deren Zufallsvektor eben gleichverteilt auf [mm] \Delta [/mm] ist.
Die spezielle Gestalt von [mm] \Delta [/mm] entscheidet dann, wie einfach oder schwer die weitere Behandlung der dann auftretenden mehrfachen Integrale ist, wenn es um konkrete Berechnungen geht.
In Deinem Fall ist z.B [mm] 1_\Delta(x,y)=1_C(x)*1_{E(x)}(y) [/mm] und C:=[0,2] und E(x):=[0,2-x]
LG
gfm
LG
gfm
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Manu87 |
Also laut
[mm] x\in\IR^n\mapsto f(x):=1/V(\Delta)\cdot 1_\Delta(x) [/mm]
falls du mit [mm] V(\Delta) [/mm] die Fläche des 3eck meinst erhalte ich für f(x,y)= 0,5.
Somit ist die Randdichte:
f(x) = [mm] \integral_{0}^{2-x}{f(x,y) dy}
[/mm]
f(x) = [mm] \integral_{0}^{2-x}{0,5\ dy}
[/mm]
f(x) = [mm] 0,5|^{2-x}_0
[/mm]
f(x) = [mm] 1-\bruch{x}{2}
[/mm]
Mit der kann ich die bedingte Dichtefunktion errechnen:
[mm] f_{Y|X}(y|x)=\bruch{f_{XY}(x,y)}{f(x)}
[/mm]
[mm] f_{Y|X}(y|x)=\bruch{0,5}{1-\bruch{x}{2}}
[/mm]
[mm] f_{Y|X}(y|x)=\bruch{1}{2-x}
[/mm]
Und damit die Wahrscheinlichkeit für das auftreten im genannten Intervall wenn X gegeben ist:
P(Y>1|X=x)= [mm] \integral_{1}^{\infty}{f_{Y|X}(y|x)dy}
[/mm]
P(Y>1|X=x)= [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{1}{2-x}dy}
[/mm]
P(Y>1|X=x)= [mm] [\bruch{y}{2-x}]^{2}_{1}
[/mm]
P(Y>1|X=x)= [mm] \bruch{2}{2-x}-\bruch{1}{2-x}
[/mm]
P(Y>1|X=x)= [mm] \bruch{1}{2-x}
[/mm]
Ich hab irgendwie im Gefühl dass das nicht stimmt wär nett wenn du was zu sagst gfm. Vielen dank schon Mal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mo 05.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Also laut
>
> [mm]x\in\IR^n\mapsto f(x):=1/V(\Delta)\cdot 1_\Delta(x)[/mm]
>
> falls du mit [mm]V(\Delta)[/mm] die Fläche des 3eck meinst erhalte
> ich für f(x,y)= 0,5.
>
> Somit ist die Randdichte:
>
> f(x) = [mm]\integral_{0}^{2-x}{f(x,y) dy}[/mm]
> f(x) =
> [mm]\integral_{0}^{2-x}{0,5\ dy}[/mm]
> f(x) = [mm]0,5|^{2-x}_0[/mm]
> f(x) = [mm]1-\bruch{x}{2}[/mm]
>
> Mit der kann ich die bedingte Dichtefunktion errechnen:
>
> [mm]f_{Y|X}(y|x)=\bruch{f_{XY}(x,y)}{f(x)}[/mm]
> [mm]f_{Y|X}(y|x)=\bruch{0,5}{1-\bruch{x}{2}}[/mm]
> [mm]f_{Y|X}(y|x)=\bruch{1}{2-x}[/mm]
>
> Und damit die Wahrscheinlichkeit für das auftreten im
> genannten Intervall wenn X gegeben ist:
>
> P(Y>1|X=x)= [mm]\integral_{1}^{\infty}{f_{Y|X}(y|x)dy}[/mm]
> P(Y>1|X=x)= [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{2-x}dy}[/mm]
> P(Y>1|X=x)= [mm][\bruch{y}{2-x}]^{2}_{1}[/mm]
> P(Y>1|X=x)= [mm]\bruch{2}{2-x}-\bruch{1}{2-x}[/mm]
> P(Y>1|X=x)= [mm]\bruch{1}{2-x}[/mm]
>
> Ich hab irgendwie im Gefühl dass das nicht stimmt wär
> nett wenn du was zu sagst gfm. Vielen dank schon Mal.
>
Der Zustandsraum ist [mm] \Delta=\{(x,y):0\le x,y\le2; x+y\le2\} [/mm] also das Dreieck mit den Abschnitten [0,2] auf den Achsen und der Strecke mit den Endpunkten (0,2) und (2,0) als Seiten.
Die gemeinsame Dichte ist muss wegen der geforderten Gleichverteilung eine Konstante auf [mm] \Delta [/mm] sein, welche mit dem zweidimensionalen Lebesgue-Maß 1/2 von [mm] \Delta [/mm] normiert ist. Und außerhalb von [mm] \Delta [/mm] muss die Dichte verschwinden:
[mm] f_{(X,Y)}(x,y)=1/2*1_{[0,2]}(x)*1_{[0,2-x]}(y). [/mm]
Die Dichte von X ergibt sich dann durch eine Integration über y:
[mm] f_X(x)=1/2*(2-x)*1_{[0,2]}(x). [/mm]
Die bedingte Dichte [mm] f_{Y|X}(y|x) [/mm] ist dann
[mm] f_{Y|X}(y|x)=\frac{1/2*1_{[0,2]}(x)*1_{[0,2-x]}(y)}{1/2*(2-x)*1_{[0,2]}(x)}=\frac{1}{2-x}1_{[0,2-x]}(y)
[/mm]
Das macht auch Sinn, denn wenn x auf einen Wert festgelegt ist, muss die Dichte bezüglich y dann eine Gleichverteilung im Intervall [0,2-x] sein, deswegen auch der Normierungfaktor 1/(2-x). Man muss ja in diesem Fall die W-Masse 1 auf einem immer kleineren y-Abschnitt "unterbringen" je näher sich x dem Wert 2 nähert.
P(Y>1|X=x) ergibt sich dann als Integral über y mit dem zusätzlichen Faktor [mm] 1_{[1,2]}(y): [/mm]
[mm] \integral \frac{1}{2-x}1_{[0,2-x]}(y)1_{[1,2]}(y)dy=\frac{1}{2-x}*\lambda^1([0,2-x]\cap[1,2])=\frac{1-x}{2-x}1_{[0,1]}(x) [/mm]
Das macht wiederum Sinn, denn wenn x>1 ist kann y nur noch unterhalb von eins variieren. Und wenn z.B. x=0 ist, kann y von 0 bis 2 variieren und Y>1 bekommt dann 1/2 als W-Masse.
LG
gfm
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:42 So 17.07.2011 | | Autor: | hilado |
> Der Zustandsraum ist [mm]\Delta=\{(x,y):0\le x,y\le2; x+y\le2\}[/mm]
> also das Dreieck mit den Abschnitten [0,2] auf den Achsen
> und der Strecke mit den Endpunkten (0,2) und (2,0) als
> Seiten.
>
> Die gemeinsame Dichte ist muss wegen der geforderten
> Gleichverteilung eine Konstante auf [mm]\Delta[/mm] sein, welche mit
> dem zweidimensionalen Lebesgue-Maß 1/2 von [mm]\Delta[/mm] normiert
> ist. Und außerhalb von [mm]\Delta[/mm] muss die Dichte
> verschwinden:
>
> [mm]f_{(X,Y)}(x,y)=1/2*1_{[0,2]}(x)*1_{[0,2-x]}(y).[/mm]
>
Da ich dieselbe Aufgabe gerade lösen muss, frage ich einfach mal hier.
Woher weißt du, wie das normiert ist?
Wird das berechnet? Wie?
Wann benutze ich das Lebesque-Maß ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 20.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
