Gegenseitige Lage von Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Sa 27.08.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo,
wir sollen folgendes machen:
Untersuche die gegenseitige Lage von Geraden g,h,i. Die Punkte P, Q, R, S sind Mittelpunkte von Kanten.
Bild - siehe bitte Anhang.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Was genau muss ich jetzt hier machen? Ich habe noch keinen Durchblick.
Muss ich jetzt hier B-A, C-B und A-C rechnen?
Und dann weiter?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Gerade h:
P1 (2 / 0 / 0)
P2 (2 / 4 /1)
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + t [mm] \vektor{2 - 2 \\ 4 - 0\\ 1 - 0} [/mm]
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + t [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 1 }
[/mm]
Gerade g:
P1 (0 / 0 / 2)
P2 (2 / 2 / 0)
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2 } [/mm] + t [mm] \vektor{2 - 0 \\ 2 - 0 \\ 0 - 2 } [/mm]
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2 } [/mm] + t [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -2 }
[/mm]
Gerade i:
P1 (0 / 2 /2)
P2 (0/ 4 / 1)
i: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 2 } [/mm] + t [mm] \vektor{0 - 0 \\ 4 - 2 \\ 1 - 2} [/mm]
i: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 2 } [/mm] + t [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Weißt du denn wie die Lagebeziehung von Geraden grundsätzlich berechnet wird? Weil jetzt kannst du das ja machen, wo du die Parameterfrom der entsprechenen Geraden hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Sa 27.08.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Wie kommst du an die Punkte P1 und P2?
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gehen wir nur einmal von Gerade g aus. Wie du siehst, ist ein Punkt der Gerade eingezeichnet (weißer Punkt). Der Punkt liegt auf der x3 Achse, wie du ebenfalls erkennen kannst. Deswegen sind die x1 und x2 Koordinaten schon mal 0. Die Frage ist nun, wie hoch der Punkt auf der x3 - Achse liegt. Er liegt auf der gleichen Höhe wie Punkt C (kann durch hinschauen erkannt werden). Wie hoch Punkt C liegt, ist gegeben, da die Koordinaten von Punkt C bekannt sind. Da Punkt C also seine x3 - Koordinate bei 2 hat gilt, für den einen Punkt auf der Gerade g : P1(0/0/2).
Des Weiteren ist der zweite Punkt gesucht, der auf Gerade g liegt. (hier wäre das Punkt P). Auf der x1 - Achse liegt dieser Punkt in der gleichen "Höhe" wie Punkt A. Also: x1 = 2.
Die x2- Koordinate des Punktes erhältst du ebenfalls über Punkt A. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass Punkt P sich nur halb soviel auf der x2- Achse bewegt wie Punkt A. Die x2- Koordinate ist also x2 = 2. Da es auf der x3 - Achse keine Bewegung gibt, gilt: x3 = 0. Für P2 (bzw. nur P ich hab die Bezeichnung zugegeben nicht vernünftig gewählt) gelten die Koordinaten: (2/ 2/ 0).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Sa 27.08.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Ok, ich habe jetzt also die Formeln für g, h und i.
Muss ich die jetzt gleichsetzen? Also g=h; h=i und i=g ?
Wenn ja, bin ich dann anschließend fertig oder muss ich da noch was weiter machen?
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Ja, so kannst (!) du vorgehen.
Wenn das Gleichungssystem 1 Lösung hat, schneiden sich die Geraden in einem Schnittpunkt. Diesen erhältst du, wenn du einen Parameter in die zugehörige Gleichung der Geraden einsetzt.
Die Geraden sind identisch, wenn das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat (sollte in deinem Fall aber nicht vorkommen).
Bei keiner Lösung sind sie entweder windschief oder parallel. Was vorliegt erhältst du, wenn du die Richtungsvektoren überprüfst. Existiert ein k sodass gilt: k * [mm] \vec{r1} [/mm] = [mm] \vec{r2} [/mm] sind sie parallel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Sa 27.08.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Ok, erstmal Danke, sollte ich noch Fragen haben, melde ich mich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Sa 27.08.2005 | | Autor: | svenchen |
melde dich auch mit deinen Ergebnissen !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Sa 27.08.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Ich habe jetzt leider ein Problem:
Ich habe jetzt g mit h gleichgesetzt (siehe Anhang), und habe jetzt s=2/5 raus. Wenn ich jetzt r in die obere Reihe einsetze, dann bekomme ich r=1 raus, setze ich es jedoch in die Mitte ein, erhalte ich r=4/5.
Da stimmt doch was nicht! Kann leider den Fehler nicht finden.
Edit: Habe nun auch h=i und g=i gesetzt, da habe ich das gleiche Problem. Woran kann das liegen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Disap |
Hey.
> Ich habe jetzt leider ein Problem:
> Ich habe jetzt g mit h gleichgesetzt (siehe Anhang), und
> habe jetzt s=2/5 raus. Wenn ich jetzt r in die obere Reihe
> einsetze, dann bekomme ich r=1 raus, setze ich es jedoch in
> die Mitte ein, erhalte ich r=4/5.
>
> Da stimmt doch was nicht! Kann leider den Fehler nicht
> finden.
Das muss nicht zwingend heissen, dass du dich verrechnet hast, sondern es kann auch heissen, dass die Geraden g und h windschief sind. Was in der Tat so ist.
Dass du einmal r=1 und einmal r= [mm] \bruch{4}{5} [/mm] heraus hast, ist ein Widerspruch, dass sich die Geraden schneiden => keine eindeutige Lösung, also sind die Geraden windschief, da keine lineare Abhängigkeit der Richtungsvektoren vorhanden ist.
>
> Edit: Habe nun auch h=i und g=i gesetzt, da habe ich das
> gleiche Problem. Woran kann das liegen?
Entweder daran, dass sie auch windschief sind, oder dass du dich verrechnet hast. Im Endeffekt hast du aber Recht, dass auch diese Geraden sich nicht schneiden.
Grüße Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Sa 27.08.2005 | | Autor: | svenchen |
... windschief oder parallel. Das muss noch überprüft werden ! Es sagt lediglich aus, dass sie keinen gemeinsamen Punkte haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Disap |
> ... windschief oder parallel. Das muss noch überprüft
> werden ! Es sagt lediglich aus, dass sie keinen gemeinsamen
> Punkte haben.
Ein bisschen rhytmisch gucken schließt aus, dass die Geraden parallel sind...
Ich setze mal voraus, dass man es durch die Zeichnung, oder wie man es auch nennen möchte, schon vorher aufgeschlossen hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Sa 27.08.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Ok, dann sind wohl offensichtlich alle 3 Geraden windschief. Dann bin ich wohl fertig. :)
Danke euch beiden.
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