Gegenseitige Lage von Ebenen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | 1) Schneiden sich die beidenen Ebenen E1 und E2? Bestimmen Sie gegebenfalls die Schnittgerade.
[mm] E1:\vektor{2 \\ 5 \\ 3 }+r*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 }+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] E2:\vektor{4 \\ 0 \\ 0 }+k*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }+m*\vektor{1 \\ 3 \\ 1 } [/mm] |
| Aufgabe 2 | 2) Schneiden sich die beidenen Ebenen E1 und E2? Bestimmen Sie gegebenfalls die Schnittgerade.
[mm] E1:\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 }+r*\vektor{1 \\ 3 \\ 1 }+s*\vektor{0 \\ 2 \\ 1 }
[/mm]
[mm] E2:\vektor{1 \\ 4 \\ 1 }+k*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 }+m*\vektor{2 \\ 8 \\ 3 } [/mm] |
| Aufgabe 3 | Bestimmen sie a,b,c so, dass die Ebene E1 und E2
(1) sich schneiden
(2)zueinander parallel sind und keine gemeinsamen Punkte haben
(3) identisch sind
E1:2x1+3x2+2x3=7
E2: ax1+bx2-x3=c |
Hallo, ich bereite mich gerade auf eine matheklausur vor und habe gleich drei Aufgaben in denen ich hängen bleibe:
- zu der ersten und der zweiten habe ein LGS aufgestellt und es aufgelöst
- bekomme als Ergebnis hingegen bei 1 eine leere Lösungsmenge heraus (Die Ebenen schneiden sich), da in der letzten Zeile rauskommt 0r+0s+0k+0m=1 (habe es einmal mit dem Taschenrechner und einmal per hand ausgerechnet)
- wie berechne ich jetzt ob die Ebenen identisch oder verschieden sind? Ich weiß das bei identisch die Bedingung sind linear unabhängig gelten muss jedoch wie tue ich das?
3)
(1) es muss eine unendliche Lösungsmenge heraus kommen
(2) LGS hat keine Lösung Vektoren sind linear unabhängig
(3) LGS hat keine Lösung Vektoren sind linear anhängig
kann ich die variabeln belibig wählen oder was muss ich machen
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 1) Schneiden sich die beidenen Ebenen E1 und E2? Bestimmen
> Sie gegebenfalls die Schnittgerade.
> [mm]E1:\vektor{2 \\ 5 \\ 3 }+r*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 }+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]E2:\vektor{4 \\ 0 \\ 0 }+k*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }+m*\vektor{1 \\ 3 \\ 1 }[/mm]
>
> 2) Schneiden sich die beidenen Ebenen E1 und E2? Bestimmen
> Sie gegebenfalls die Schnittgerade.
> [mm]E1:\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 }+r*\vektor{1 \\ 3 \\ 1 }+s*\vektor{0 \\ 2 \\ 1 }[/mm]
>
> [mm]E2:\vektor{1 \\ 4 \\ 1 }+k*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 }+m*\vektor{2 \\ 8 \\ 3 }[/mm]
>
> Bestimmen sie a,b,c so, dass die Ebene E1 und E2
> (1) sich schneiden
> (2)zueinander parallel sind und keine gemeinsamen Punkte
> haben
> (3) identisch sind
>
> E1:2x1+3x2+2x3=7
> E2: ax1+bx2-x3=c
> Hallo, ich bereite mich gerade auf eine matheklausur vor
> und habe gleich drei Aufgaben in denen ich hängen bleibe:
>
> - zu der ersten und der zweiten habe ein LGS aufgestellt
> und es aufgelöst
> - bekomme als Ergebnis hingegen bei 1 eine leere
> Lösungsmenge heraus (Die Ebenen schneiden sich), ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> da in der
> letzten Zeile rauskommt 0r+0s+0k+0m=1 (habe es einmal mit
> dem Taschenrechner und einmal per hand ausgerechnet)
> - wie berechne ich jetzt ob die Ebenen identisch oder
> verschieden sind? Ich weiß das bei identisch die Bedingung
> sind linear unabhängig gelten muss jedoch wie tue ich das?
Ich nehme einmal an, dass du richtig gerechnet hast
und auf die angegebene sicher unlösbare Gleichung
gekommen bist. Dann heisst dies aber nicht, dass sich
die Ebenen schneiden, sondern das genaue Gegenteil:
sie haben keinen gemeinsamen punkt, d.h. sie sind
zueinander parallel, und sie sind nicht identisch.
> 3)
> (1) es muss eine unendliche Lösungsmenge heraus kommen
> (2) LGS hat keine Lösung Vektoren sind linear unabhängig
> (3) LGS hat keine Lösung Vektoren sind linear anhängig
>
> kann ich die variabeln belibig wählen oder was muss ich
> machen
Ich würde hier gerade hinten anfangen, also bei
(3) Wenn E1 und E2 identisch sein sein sollen, müssen
ihre Gleichungen gleichbedeutend sein, d.h. die eine
muss ein Vielfaches (mit Faktor ≠0) der anderen sein.
Aus den Faktoren bei [mm] x_3 [/mm] kannst du leicht den Umrech-
nungsfaktor bestimmen und dann a,b,c berechnen.
(2) Eine zu E1 parallele, aber nicht identische Ebene
bekommst du, wenn du die linke Seite der Gleichung
so belässt wie sie ist, aber rechts eine andere Zahl
(also hier irgend etwas anderes als 7) setzt.
(1) Hier hat man fast unbegrenzte Möglichkeiten.
Fast jede zufällig hingeschriebene Ebenengleichung
würde eine Ebene ergeben, die nicht parallel zu E1
ist.
Nur ein Beispiel: Wenn du a=b=c=0 setzt - welche
Ebene hast du dann ? Warum ist sie nicht parallel zu E1 ?
LG
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Ich habe eine Beispielrechnung zwei Seiten vor der Aufgabe im Buch und hierbei wurden dann bei den beiden Ebenen verschiedene Parameter verwendet (r,s,k,m) hingegen haben wir in der Schule und, wenn wir die Gleichung in Koordinatenform hatten die selben Parameter verewendet x1, x2, x3 und dann ein LGS aufgestellt. War das falsch und muss ich vier verschiedene Parameter wählen oder liegt es daran, dass in Aufgabe eins die Parameterform vorliegt und sonst immer die Koordinatenform. Bin ein wenig verwirrt.
Und sind die Ebenen, wenn die Lösungsmenge leer ist auch Zwangsläufig nicht identisch zueinander, was würde ich denn herausbekommen wenn sie identisch wären?
Ich weiß das sind sehr viele Fragen, bin zur Zeit leider ein bisschen verwirrt ;(
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> Ich habe eine Beispielrechnung zwei Seiten vor der Aufgabe
> im Buch und hierbei wurden dann bei den beiden Ebenen
> verschiedene Parameter verwendet (r,s,k,m) hingegen haben
> wir in der Schule und, wenn wir die Gleichung in
> Koordinatenform hatten die selben Parameter verwendet x1,
> x2, x3 und dann ein LGS aufgestellt. War das falsch und
> muss ich vier verschiedene Parameter wählen oder liegt es
> daran, dass in Aufgabe eins die Parameterform vorliegt und
> sonst immer die Koordinatenform.
In dem Zusammenhang ist es wohl schon wichtig,
dass man die beiden verschiedenen Formen der
Ebenengleichungen beherrscht: Parameterform
und Koordinatenform. Eine Parametergleichung
kann man durch Elimination der beiden Parameter
(z.B. r und s) in eine Koordinatengleichung umformen.
Normalerweise ist der Umgang mit Ebenengleichungen
in Koordinatenform einfacher.
In deiner Aufgabe 3 arbeitet man am besten nur mit
Koordinatenformen.
> Und sind die Ebenen, wenn die Lösungsmenge leer ist auch
> Zwangsläufig nicht identisch zueinander,
Ja. (wenn die Lösungsmenge des Gleichungs-
systems für den Schnitt der Ebenen leer ist, haben
die zwei Ebenen ja keinen einzigen gemeinsamen Punkt.
Wären sie identisch, müssten sie alle Punkte
gemeinsam haben)
was würde ich denn
> herausbekommen wenn sie identisch wären?
Zum Beispiel eine Gleichung wie 0r+0s+0k+0m=0
Oder wenn du zuerst jede Ebenengleichung separat
auf Koordinatenform gebracht hast (was ich empfehlen
würde !), zwei zueinander proportionale Gleichungen,
also etwa:
E1: 2x-y+3.5z=6
E2: 4x-2y+7z=12
LG
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Ich habe jetzt die ersten beiden Aufgaben jeweils mit der Koordinatengleichung gerechnet. Das Problem ist aber, dass ich bei allen beiden jetzt eine Schnittgleichung herausbekommen. Dieses dürfte aber doch nicht der Fall seine, da Aufgabe 1) parallel ist aber nicht identisch und bei und 2) identisch und somit schneiden die Ebenen sich doch nicht oder? Da sie sich bei eins ja eigentlich nicht berühren dürften sie haben keine gemeinsamen Punkte und bei 2) liegen sie aufeinander und haben somit die selben Punkte. Oder habe ich das falsch verstanden? Und wenn nein woran liegt das oder kann das liegen?
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hallo kleene...
Gib doch einmal bitte die Koordinatengleichungen der
Ebenen an. Ich habe z.B. in
Aufgabe 1: E1: x-z=-1
E2: x-z=-4
Diese Ebenen sind zueinander parallel, aber nicht identisch.
Die Schnittmenge [mm] E1\cap{E2} [/mm] ist leer.
> Ich habe jetzt die ersten beiden Aufgaben jeweils mit der
> Koordinatengleichung gerechnet. Das Problem ist aber, dass
> ich bei allen beiden jetzt eine Schnittgleichung
> herausbekommen.
Was meinst du damit ???
Gib genau an, was für eine Gleichung du damit meinst !
Eine Schnitt-Gleichung gibt es immer; entscheidend
ist, was für eine Lösungsmenge sie hat.
In Aufgabe 1 ist dies die leere Menge; in Aufgabe 2
entspricht sie der gesamten Ebene E1(=E2).
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Danke für deine Antworten und deine Geduld.
Ich habe die Parameterform über die Normalform in eine Koordinatenform umgeformt (mit Hilfe des Kreuzproduktes und skalarproduktes)
zu 1:
Normalform:
E1: [mm] (\vektor{ x1\\ x2 \\ x3}-\vektor{2 \\ 3\\ 5})*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
E2: [mm] (\vektor{ x1\\ x2 \\ x3}-\vektor{4 \\ 0 \\ 0})*\vektor{-2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Koordinatenform:
E1: 2x1-5x2-3x3=1
E2: 4x1=-8
Daraus habe ich dann ein LGS aufgestellt (eine Matrix?) und habe die dann mit Hilfe des Taschenrechner ausgerechnet. Dann jeweils nach x1, x2 aufgelöst für x3 den Parameter t gewählt
x1=-3
x2=-1-(3/5)x3
x3=t
LL={-2/-1-(3/5t)/t)}
[mm] x=\pmat{ -2 & -1 & 0 \\ 0t & -(3/5)t & t }
[/mm]
und kam dann zu der Schnittpunktgleichung:
[mm] x=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}+t*\vektor{ 0\\ -3/5 \\ 1}
[/mm]
Sagt die mir jetzt, dass die Ebenen parallel zueinander sind? ;(
und so habe ich das auch bei 2 gerechnet ist das falsch?
Wie kommst du auf deine Gleichungen? :(
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Konnte noch nicht einschlafen, deshalb hier noch
eine Nachricht:
> Ich habe die Parameterform über die Normalform in eine
> Koordinatenform umgeformt (mit Hilfe des Kreuzproduktes und
> skalarproduktes)
>
> zu 1:
>
> Normalform:
> E1: [mm](\vektor{ x1\\ x2 \\ x3}-\vektor{2 \\ 3\\ 5})*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
hier hast du beim Stützvektor zwei Komponenten
vertauscht
und: es ist keine Gleichung ! es fehlt: ..... = 0
> E2: [mm](\vektor{ x1\\ x2 \\ x3}-\vektor{4 \\ 0 \\ 0})*\vektor{-2 \\ 0 \\ 2}[/mm]
auch hier: das Ganze gleich null setzen, erst dann
haben wir eine Gleichung der Ebene
>
> Koordinatenform:
> E1: 2x1-5x2-3x3=1
> E2: 4x1=-8
diese Gleichungen hast du nicht richtig aufgestellt !
Mal ganz schrittweise für die erste Ebene (mit dem
richtigen Stützvektor):
E1: [mm](\vektor{ x1\\ x2 \\ x3}-\vektor{2 \\ 5\\ 3})*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}=0[/mm]
[mm]\vektor{ x1-2\\ x2-5 \\ x3-3}*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}=0[/mm]
ausmultipliziert:
-1*(x1-2)+0*(x2-5)+1*(x3-3)=0
-x1+2+x3-3=0
zusammengefasst:
-x1+x3=1
oder ohne führendes Minuszeichen:
x1-x3=-1
(oder x-z=-1, wenn man das Alphabet statt Nümmerchen benützt)
Gute Nacht !
Al-Chwarizmi
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