Gedämpfte Schwingung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Kreisfrequenz und die Phase aus der Abbildung. |
Eine Abbildung einer gedämpften Schwingung ist gegeben.
Etwa folgendermaßen ( http://www.mu-sig.de/Theorie/Akustik/grafik/4-1.gif )
Ja wie bestimme ich nun , nur aus der abbildung die beiden werte ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo VanDamme90,
die Kreisfrequenz ist proportional zum Kehrwert der Periodendauer. Diese kannst Du ausmessen, indem Du die Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima bestimmst, das ist die Periodendauer. Die Kreisfrequenz ergibt sich dann zu
[mm] \omega = \bruch{2 \pi}{T} [/mm]
Für den Phasenwinkel benutzt Du am einfachsten den Ansatz für eine gedämpfte Sinusschwingung, mit einer ungedämpften geht es genauso, und setzt dort den Zeitpunkt t = 0 ein.
Für eine gedämpfte Schwingung hast Du folgenden Ansatz
[mm] y(t) = A \sin ( \omega t + \varphi) \cdot e^{- \bruch{t}{\tau}} [/mm]
Für t = 0 vereinfacht sich das zu
[mm] y(0) = A\sin(\varphi) [/mm] bzw.
[mm]\varphi = \arcsin (\bruch{y(0)}{A}) [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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In meinem Fall beträgt eine Periode 1,5 s.
und daraus folgt [mm] \omega [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] * 1/1,5 s
- hierzu nochmal eine Frage: wie würde dieser wert jetzt umgerechnet in Hertz aussehen ? Hierbei gilt ja [mm] T^{-1} [/mm]
- Wären das dann einfach 4,188 Hertz ?
Zur Phase:
Hierbei sollte ich noch anmerken dass die gleichung [mm] y(t)=A*cos(\omega*t+\phi)*e^{-\delta*t} [/mm] für die gedämpfte eigenschwingung gegeben war.
- für t = 0 eingesetzt folgt also; y(0)= [mm] A*cos(\phi]
[/mm]
Könnte sie mir hier vllt. nochmal erklären warum man den Ansatz wählt für t=0 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
der vermittelnde Faktor zwischen Kreisfrequenz und Frequenz ist gerade der Faktor [mm] 2 \pi [/mm] also [mm] \omega = 2 \pi f = \bruch{2 \pi}{T} [/mm]
Hieraus ergibt sich [mm] f = \bruch{1}{T} [/mm] bei Dir also 2/3 Hertz.
Für den Phasenwinkel nach Deinem Ansatz kommt gerade das raus, was Du schon hingeschrieben hast. Du kannst jeden beliebigen Zeitpunkt wählen, und diesen in die Gleichung einsetzen, aber bei t =0 wird es einfacher zu rechnen sein als bei einem anderen Zeitpunkt.
Viele Grüße,
Infinit
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| Aufgabe | | b) Tragen sie die Logarithmen der absolutbeträge der minima und maxima gegen die zeit auf und bestimmen sie daraus [mm] \delta [/mm] ( dämpfungskonstante ) |
Danke schonmal für die Hilfe zur vorigen Aufgabe :)
- Ich vermute mal beim auftragen der werte sollte sich eine Gerade ergeben.
- Ich bräuchte mal einen ansatz für die absolutbeträge.
ich weiß nicht genau wie ich hier vorgehen soll...
soll hier die gleichung logarithmiert werden und anschließend differenziert ?
y(t)= [mm] A*cos(\omega*t)*e^{-\delta*t}
[/mm]
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[mm] \bruch{y(t)}{y(t+T)} [/mm] = [mm] e^{d*T}
[/mm]
Den natürlichen logarithmus des quotienten bezeichnet man als logarithmisches dekrement.
[mm] \wedge [/mm] = [mm] ln\bruch{y(t)}{y(t+T)} [/mm] = ln [mm] (e^{\delta*T}) [/mm] = [mm] \delta*T
[/mm]
Für die gewählte schwingungsfunktion ist [mm] \wedge [/mm] gleich dem produkt aus dämpfungskoeffizient und periodendauer. durch die bildung der verhältnisse von z.b. aufeinanderfolgenden macima einer gemessenen auslenkungsfunktion lässt sich mit hilfe der periodendauer T ( in unserem fall 1,5s) der dämpfungskoeffizient berechnen.
- so weit so gut; jetzt fehlt mir der letzte schritt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 So 06.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo VanDamme90,
das Verhältnis der Momentanamplituden im Abstand von einer Periode hast Du ja bereits richtig bestimmt. Messe also die Minima und Maxima der Schwingung, bilde den Betrag davon und logarithmiere ihn und nutze entweder die Minima- oder die Maxima-Messreihe zur Bestimmung des Deltawertes. Mein weiterer Vorschlag ist folgender: Nimm entweder die Minimum- oder die Maximumreihe für die Bestimmung der Dämpfung. Ich argumentiere jetzt hier mal weiter mit den Maxima, mit den Mimima geht es genauso.
Da zwei aufeinanderfolgende Maxima gerade um eine Schwingungsdauer auseinanderliegen, liefert Dir der Cosinus der beiden Messwerte genau den gleichen Wert. Die Werte von y(t) und y(t+T) kannst du ablesen, den Logarithmus des Verhältnisses bilden und dann weisst Du, dass diese Größe gerade [mm] - \delta T [/mm] entspricht, wie Du fast richtig ausgerechnet hast.
Da die Amplituden im Laufe der Zeit kleiner werden, ist der Quotient y(t) / y(t+T) größer als 1 und mit dem Ansatz
[mm] \bruch{y(t)}{y(t+T)} = \bruch{A \cos (\omega t) e^{\delta t}}{A \cos (\omega (t+T)e^{\delta(t+T)}} [/mm] bekommst Du
[mm] \bruch{y(t)}{y(t+T)} = e^{-\delta T} [/mm]
Das Logarithmieren bringt Dir dann den Lambda-Ausdruck
[mm] \lambda = - \delta T [/mm]
Lambda kannst Du aus der Zeichnung bestimmen, T kennst Du, also lässt sich auch die Dämpfung bestimmen.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 So 06.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, das Logarithmieren der e-Funktion führt zu einem linearen Verhalten. Der Dämpfungskoeffizient ist konstant. Das kannst Du sowohl ausmessen, falls eine Zeichnung gegeben ist, und auch mit Hilfe der Gleichung bestimmen, die Du bereits mal angegeben hast. Es geht ja um die Bestimmung der Größe Delta hier. Weiteres als Anhang zu Deiner weiteren Frage.
Viele Grüße,
Infinit
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