Gedächtnislosigkeit der Expv- < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (a) Weisen Sie nach, dass für eine Expv ZVgröße gilt:
P(X> s+t| X>s)= P(X>t) für alle s,t [mm] \geq [/mm] 0
(b) Es sei X eine pos. reellwertige Zvgröße, die der Gleichung in (a) genügt. Zeigen Sie, dass die Funktion h(t) := P(X>t) folgender Gleichung genügt:
h(t+s) = h(t) h(s).
(c) Zeigen Sie dass die einzige rechttstetige Fkt. h die der Gleichung in (b) genügt die Exponentialfunktion ist.
(d) Zeigen Sie mittels a-c folgende Aussage:
Eine pos. reellwertige ZVröße ist genau dann expverteilt, falls sie der Gleichung in (a) genügt. |
Hallo nochmal,
ich hab Teilaufgabe (a) und (b) gezeigt, komme mit (c) aber nicht weiter. Wie kann ich zeigen, dass die Expfunktion die einzige rechtsstetige Fkt ist für die das gilt????
Wär super, wenn ihr mir helfen könntet.
Mfg [mm] M^2
[/mm]
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> (a) Weisen Sie nach, dass für eine Expv ZVgröße gilt:
> P(X> s+t| X>s)= P(X>t) für alle s,t [mm]\geq[/mm] 0
>
> (b) Es sei X eine pos. reellwertige Zvgröße, die der
> Gleichung in (a) genügt. Zeigen Sie, dass die Funktion h(t)
> := P(X>t) folgender Gleichung genügt:
> h(t+s) = h(t) h(s).
>
> (c) Zeigen Sie dass die einzige rechttstetige Fkt. h die
> der Gleichung in (b) genügt die Exponentialfunktion ist.
>
> (d) Zeigen Sie mittels a-c folgende Aussage:
> Eine pos. reellwertige ZVröße ist genau dann expverteilt,
> falls sie der Gleichung in (a) genügt.
> Hallo nochmal,
>
> ich hab Teilaufgabe (a) und (b) gezeigt, komme mit (c) aber
> nicht weiter. Wie kann ich zeigen, dass die Expfunktion die
> einzige rechtsstetige Fkt ist für die das gilt????
Sei [mm] $h_0 [/mm] := h(0)$. Zeige zuerst, dass aus der Gleichung folgt, dass [mm] $h(t)=h_0^t$, [/mm] für alle [mm] $t\in \IN$. [/mm] Zeige dann, dass [mm] $h(t)=h_0^t$, [/mm] für alle [mm] $t\in \IZ$. [/mm] Zeige zudem, dass [mm] $h(t)=h_0^t$, [/mm] für alle [mm] $t\in \IQ$. [/mm] Zeige schliesslich, dass aus der rechtseitigen Stetigkeit von $h$ folgt, dass [mm] $h(t)=h_0^t$, [/mm] für alle [mm] $t\in \IR$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Somebody,
danke für die Hilfestellung. Ich versteh aber noch nicht, wenn ich das alles gezeigt habe, wie kannich dann auf die e-funktion schließen?
`
Viele Grüße,
[mm] M^2
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Hallo Somebody,
> danke für die Hilfestellung. Ich versteh aber noch nicht,
> wenn ich das alles gezeigt habe, wie kannich dann auf die
> e-funktion schließen?
Alleine aufgrund der Gleichung [mm] $h(t+s)=h(t)\cdot [/mm] h(s)$ kann man dies natürlich nicht schliessen. Denn jede Funktion [mm] $h:t\mapsto h_0^t$ [/mm] (mit [mm] $h_0>0$), [/mm] erfüllt diese Gleichung und ist stetig. Man kann allenfalls den Aufgabentext etwas liberaler interpretieren: dass zu zeigen sei, dass $h$ (nicht die, sondern) eine Exponentialfunktion ist.
|
|
|
| |
|
Hi Somebody,
okay, danke für deine Erklärungen!
Viele Grüße,
[mm] M^2
[/mm]
|
|
|
|
