Geburtstagsproblem < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:21 Do 28.05.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Die Geburtstage von 730 Personen seien gleichmäßig über das Jahr verteilt.
1. Bestimmen Sie die wahrscheinlichste Anzahl der Personen, die am 11.11. geboren sind.
2.Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit [mm] p_1, [/mm] dass mindestens 3 Personen an dem gleichen Tag Geburtstag haben. Weiter zeigen Sie, dass [mm] -log(1-p_1)=472,8 [/mm] |
hallo!
bei 2. dachte ich mir: [mm] P(X\ge3)= [/mm] 1- Wahrscheinlichkeit, dass 0,1 oder 2 Personen am gleichen Tag Geb. haben. Da das Jahr nur 365 Tage hat, müssen ja an jedem Tag genau 2 Personen Geburtstag haben. Ich rechne also [mm] P(X\ge3)=1- [/mm] P(X=2)= 1- [mm] \vektor{730\\2}(1/365)^2(364/365)^{728}=0,72896
[/mm]
den teil mit dem log verstehe ich leider nicht, komme da beim einsetzen auch auf ein anderes Ergebnis--habe ich oben also ganz falsch gerechnet?
und 1.??? wie stelle ich hier die Verteilung für alle möglichen Anzahlen auf?
vielen dank für jede hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Do 28.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Die Geburtstage von 730 Personen seien gleichmäßig über das
> Jahr verteilt.
> 1. Bestimmen Sie die wahrscheinlichste Anzahl der
> Personen, die am 11.11. geboren sind.
> 2.Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit [mm]p_1,[/mm] dass
> mindestens 3 Personen an dem gleichen Tag Geburtstag haben.
> Weiter zeigen Sie, dass [mm]-log(1-p_1)=472,8[/mm]
> hallo!
> bei 2. dachte ich mir: [mm]P(X\ge3)=[/mm] 1- Wahrscheinlichkeit,
> dass 0,1 oder 2 Personen am gleichen Tag Geb. haben. Da das
> Jahr nur 365 Tage hat, müssen ja an jedem Tag genau 2
> Personen Geburtstag haben.
Das ist falsch, es müssen nicht GENAU, sondern DURCHSCHNITTLICH 2 Persone pro Tag Geburtstag haben (schließlich ist das ein Zufallsversuch).
> Ich rechne also [mm]P(X\ge3)=1-[/mm]
> P(X=2)= 1- [mm]\vektor{730\\2}(1/365)^2(364/365)^{728}=0,72896[/mm]
Das Gegenereignis von "mindestest 3" ist NICHT "genau 2", sondern "0, 1 oder 2".
> den teil mit dem log verstehe ich leider nicht, komme da
> beim einsetzen auch auf ein anderes Ergebnis--habe ich oben
> also ganz falsch gerechnet?
> und 1.??? wie stelle ich hier die Verteilung für alle
> möglichen Anzahlen auf?
Hallo, es handelt sich um eine Binomialverteilung mit n=730 und p=1/365.
Theoretich müsstest du jetzt alle 731 Wahrscheinlichkeiten P(X=0), P(X=1), P(X=2) ... bis P(X=730) berechnen und davon den gößten Wert aussuchen.
Man kann allerdings aufhören, wenn nach zunächst ansteigenden Wahrscheinlichkeiten (ich vermute bis X=2) die Werte wieder abnehmen.
Gruß Abakus
>
> vielen dank für jede hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Do 28.05.2009 | | Autor: | gigi |
also irgendwie find ich den Gedanken immer noch komisch, dass "durchschnittlich 2" pro tag Geburtstag haben. wie schon gesagt, wenn wir nur 365 Tage haben und aber 730 Personen, dann fällt doch die möglichkeit, dass nur 1 oder 0 an einem Tag Geburtstag haben raus, weil dann zwangsläufig an einem anderen Tag wieder 3 haben müssten...aber ich habe es trotzdem einfach mal so gerechnet wie du meintest und ich komme auf 0.323--stimmt das so?
nun weiß ich nicht, was ich mit bedingter und totaler wahrscheinlichkeit machen soll, um den ausdruck mit dem log zu erhalten?!
und bei 1. reicht es wirklich, wenn ich die verteilung zB bis 5 aufschreibe und damit zeige, dass die Wahrscheinlichkeiten dann immer weiter abnehmen?
gruß und dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Do 28.05.2009 | | Autor: | abakus |
> also irgendwie find ich den Gedanken immer noch komisch,
> dass "durchschnittlich 2" pro tag Geburtstag haben. wie
> schon gesagt, wenn wir nur 365 Tage haben und aber 730
> Personen, dann fällt doch die möglichkeit, dass nur 1 oder
> 0 an einem Tag Geburtstag haben raus, weil dann
> zwangsläufig an einem anderen Tag wieder 3 haben
> müssten...
Na und? Nimm dir 3650 Menschen, von denen je 10 an einem der 365 Tage Geburtstag haben.
Damit ist die Wahrscheinlichkeit eines beliebig herausgegriffenen Menschen für alle 365 Tage gleich, also hast du eine Gleichverteilung. Jetzt greifst du dir aus den 3650 Menschen 730 Menschen heraus. Trotz der gleichen Wahrcheinlichkeit jedes Tages ist es äüßerst unwahrscheinlich, dass du die Leute dabei so erwischst, dass jeder Tag wirklich genau zweimal vertreten ist.
(Nimm mal an, du hättest schon 729 Personen ausgewählt, und nur einer fehlt noch. Jeder Geburtstag ist zweimal verteten, nur der 24.12. bisher nur einmal. Es ist wenig wahrscheinlich dass du von den vielen zur Verfügung stehenden Personen ausgerechnet noch eine wählst, die ebenfalls gerade am 24.12. Geburtstag hat).
> aber ich habe es trotzdem einfach mal so
> gerechnet wie du meintest und ich komme auf 0.323--stimmt
> das so?
> nun weiß ich nicht, was ich mit bedingter und totaler
> wahrscheinlichkeit machen soll, um den ausdruck mit dem log
> zu erhalten?!
> und bei 1. reicht es wirklich, wenn ich die verteilung zB
> bis 5 aufschreibe und damit zeige, dass die
> Wahrscheinlichkeiten dann immer weiter abnehmen?
>
> gruß und dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Do 28.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
zu 2)
> den teil mit dem log verstehe ich leider nicht, komme da
> beim einsetzen auch auf ein anderes Ergebnis--habe ich oben
> also ganz falsch gerechnet?
Ja.
Ich zeige zunaechst mal eine falsche Loesung. Die Wsk., dass zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben ist
[mm] $\binom{730}{2}\left(\dfrac{1}{365}\right)^2\left(1-\dfrac{1}{365}\right)^{728}=0.27104$.
[/mm]
Die Wsk dafuer, dass an *jedem* der 365 Tage zwei Personen Geburtstag haben ist somit [mm] $1-p_1=0.27104^{365}=1.4074\times10^{-207}$ [/mm] und folglich [mm] $-\log(1-p_1)=476.5$, [/mm] was schon fast mit der Vorgabe uebereinstimmt.
Leider hat diese Vorgehensweise den Schoenheitsfehler, dass
Unabhaengigkeit unterstellt wird. Versuche mal eine Loesung mit dem
![[]](/images/popup.gif) Satz der Totalen Wahrscheinlichkeit ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Fr 29.05.2009 | | Autor: | gigi |
hallo, ich weiß ehrlich gesagt schon nicht, warum und wie du in dem falschen Bsp gerechnet hast! mein Taschenrechner kapituliert doch bei solchen kleinen/großen Potenzen, wie gehst du da vor? und wieso kannst du [mm] 1-p_1= [/mm] 0,271^365 setzen? Dass an jedem Tag genau 2 Geburtstag haben ist doch nicht das Gegenereignis zu "mind 3", da fehlen ja noch die ereignisse, dass 1 oder 0 am gleichen Tag haben, oder???
gruß und dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Fr 29.05.2009 | | Autor: | luis52 |
> hallo, ich weiß ehrlich gesagt schon nicht, warum und wie
> du in dem falschen Bsp gerechnet hast! mein Taschenrechner
> kapituliert doch bei solchen kleinen/großen Potenzen, wie
> gehst du da vor? und wieso kannst du [mm]1-p_1=[/mm] 0,271^365
> setzen? Dass an jedem Tag genau 2 Geburtstag haben ist doch
> nicht das Gegenereignis zu "mind 3", da fehlen ja noch die
> ereignisse, dass 1 oder 0 am gleichen Tag haben, oder???
>
Doch! Wenn es einen Tag gibt, wo keine oder nur eine Person Geburtstag hat und an den restlichen 364 Tagen genau zwei Personen Geburtstag haben, dann muss es sich um [mm] $364\cdot [/mm] 2+0=728$ oder [mm] $364\cdot [/mm] 2+1=729$ Personen handeln.
Du schreibst doch selber in deinem ersten Posting ueber das
Gegenereignis:
Da das Jahr nur 365 Tage hat, müssen ja an jedem Tag genau 2 Personen Geburtstag haben.
Bezeichne [mm] $p_1$ [/mm] die Wsk dieses Gegenereignisses. Gesucht ist also im falschen Ansatz $ [mm] 1-p_1=0.27104^{365}$ [/mm] oder [mm] $-\log(1-p_1)=-365\log0.27104=476.50$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Fr 29.05.2009 | | Autor: | gigi |
> Doch! Wenn es einen Tag gibt, wo keine oder nur eine Person
> Geburtstag hat und an den restlichen 364 Tagen genau zwei
> Personen Geburtstag haben, dann muss es sich um [mm]364\cdot 2+0=728[/mm]
> oder [mm]364\cdot 2+1=729[/mm] Personen handeln.
>
> Du schreibst doch selber in deinem ersten Posting ueber
> das
> Gegenereignis:
>
> Da das Jahr nur 365 Tage hat, müssen ja an jedem Tag genau
> 2 Personen Geburtstag haben.
aber abakus hat mir doch erklärt, dass dieser gedanke falsch ist!!??
>
> Bezeichne [mm]p_1[/mm] die Wsk dieses Gegenereignisses. Gesucht ist
> also im falschen Ansatz [mm]1-p_1=0.27104^{365}[/mm] oder
> [mm]-\log(1-p_1)=-365\log0.27104=476.50[/mm].
>
> vg Luis
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Fr 29.05.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> aber abakus hat mir doch erklärt, dass dieser gedanke
> falsch ist!!??
>
Das habe ich ueberlesen. Aber ich widerspreche abakus hier.
Findest du denn mein Argument nicht einleuchtend?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Fr 29.05.2009 | | Autor: | gigi |
sicher war und bin ich sehr überzeugt von meiner Idee, doch wenn mir ein "Schlauerer" was anderes sagt, dann vertrau ich ihm und versuche, es zu verstehen...nun gut, dann änder ich alles wieder um.
jedoch habe ich noch immer das Problem: Gebe ich -365*log(0.27104) in meinen Rechner, so erhalte ich 206.9428131. Ich weiß beim besten Willen nicht, wo mein Fehler liegt! Und was für eine Abhängigkeit soll ich hier bedenken? Bei der Berechnung von [mm] p_1 [/mm] gibt es doch auch keine, oder?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Fr 29.05.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> jedoch habe ich noch immer das Problem: Gebe ich
> -365*log(0.27104) in meinen Rechner, so erhalte ich
> 206.9428131. Ich weiß beim besten Willen nicht, wo mein
> Fehler liegt! Und was für eine Abhängigkeit soll ich hier
> bedenken? Bei der Berechnung von [mm]p_1[/mm] gibt es doch auch
> keine, oder?
I.A. ist mit [mm] \log [/mm] der natuerliche Logarithmus, also [mm] \ln [/mm] gemeint. Du rechnest mit dem dekadischen Logarithmus, also [mm] $\log_{10}$ [/mm] ...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Fr 29.05.2009 | | Autor: | abakus |
> >
> > aber abakus hat mir doch erklärt, dass dieser gedanke
> > falsch ist!!??
> >
>
> Das habe ich ueberlesen. Aber ich widerspreche abakus
> hier.
Hallo Luis,
auch das Zufallsexperiment "Augenzahl beim Wurf eines idealen Würfels" besitzt eine Gleichverteilung.
Du willst doch aber nicht ernsthaft behaupten, dass beim 12-maligen zufälligen Werfen dann jede mögliche Augenzahl von 1 bis 6 zwingend genau zweimal vorkommt?
Gruß Abakus
> Findest du denn mein Argument nicht einleuchtend?
>
> vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Fr 29.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin abakus,
*das* Argument verstehe ich nicht. Du beschreibst hier ein Zufallsexperiment, das als Ziehen mit Zuruecklegen angesehen werden kann. Bei dem von gigi geschilderten Problem handelt es sich aber um Ziehen ohne Zuruecklegen.
Sie/er ging der Frage nach, wie man das Ereignis $A=_$ Mindestens 3 der 730 Personen haben am gleichen Tag Geburtstag beschreiben kann. Sie/er argumentierte, dass An jedem der 365 Tage haben genau zwei der 730 Personen Geburtstag das Gegenereignis [mm] $\overline{A}$ [/mm] ist. Und das ist korrekt, denn wenn es einen Tag gibt, an dem keine oder nur eine einzige Person Geburtstag hat, so gibt es zwangslaeufig einen Tag, an dem mindestens drei der 730 (gegebenen) Personen gemeinsam Geburtstag haben (Ziehen ohne Zuruecklegen).
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Fr 29.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Moin abakus,
>
> *das* Argument verstehe ich nicht. Du beschreibst hier ein
> Zufallsexperiment, das als Ziehen mit Zuruecklegen
> angesehen werden kann. Bei dem von gigi geschilderten
> Problem handelt es sich aber um Ziehen ohne Zuruecklegen.
>
> Sie/er ging der Frage nach, wie man das Ereignis [mm]A=_[/mm]
> Mindestens 3 der 730 Personen haben am gleichen Tag
> Geburtstag beschreiben kann. Sie/er argumentierte, dass An
> jedem der 365 Tage haben genau zwei der 730 Personen
> Geburtstag das Gegenereignis [mm]\overline{A}[/mm] ist. Und das ist
> korrekt, denn wenn es einen Tag gibt, an dem keine oder nur
> eine einzige Person Geburtstag hat, so gibt es
> zwangslaeufig einen Tag, an dem mindestens drei der 730
> (gegebenen) Personen gemeinsam Geburtstag haben (Ziehen
> ohne Zuruecklegen).
Hallo,
Gigi hat behauptet, dass bei der geschilderten Situation (Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeit) an jedem der 365 Tage genau zwei Personen Geburtstag haben müssen.
Dem habe ich energisch widersprochen und dies begründet.
Du hast darauf reagiert, dass du mit meiner Ansicht nicht einverstanden bist.
Dabei hast du den Widerspruch offensichtlich anders gemeint als er bei mir angekommen ist.
Gruß Abakus
>
> vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 30.05.2009 | | Autor: | gigi |
langsam bin ich ganz verwirrt! stimmt nun mein ergebnis p1= [mm] P(X\ge3)=1-P(X=2)= [/mm] 0,72896 (wenn ich mich dem verständnis von luis anschließe)
aber welche abhängigkeit meinst du? wie soll ich das bei der log-berechnung einbauen?
danke und gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Sa 30.05.2009 | | Autor: | luis52 |
> langsam bin ich ganz verwirrt! stimmt nun mein ergebnis p1=
> [mm]P(X\ge3)=1-P(X=2)=[/mm] 0,72896
Nein, dieses Ergebnis ist ganz daneben. Wie bereits oben erklaert geht es
um das Ereignis An jedem der 365 Tage haben genau zwei der 730
Personen Geburtstag. Dessen Wsk sei [mm] $1-p_1$. [/mm] Laut Vorgabe ist
[mm] $-\ln(1-p_1)=472.8$. $B_i$ [/mm] sei das Ereignis Genau zwei Personen haben
an Tag i Geburtstag, [mm] $i=1,\dots,365$. [/mm] Es ist also
[mm] $1-p_1=P\left(\bigcap_{i=1}^{365}B_i\right)$
[/mm]
zu bestimmen. Mein (falsche) Rechnung kommt der Vorgabe schon ziemlich nahe,
obwohl man nicht annehmen kann, dass die Ereignisse [mm] $B_1,\dots,B_{365}$
[/mm]
unabhaengig sind. In einem frueheren Posting habe ich dir eine
Moeglichkeit genannt, wie man das "sauber" berechnen kann.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Sa 30.05.2009 | | Autor: | gigi |
aber laut aufgabenstellung ist [mm] p_1 [/mm] doch die wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, "dein" [mm] p_1 [/mm] wäre dann also [mm] 1-p_1, [/mm] oder?
und wie meinst du "sauber", mit totaler Wahrscheinlichkeit, oder was?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 So 31.05.2009 | | Autor: | luis52 |
> aber laut aufgabenstellung ist [mm]p_1[/mm] doch die
> wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Personen am gleichen
> Tag Geburtstag haben, "dein" [mm]p_1[/mm] wäre dann also [mm]1-p_1,[/mm]
> oder?
Stimmt. Werd's korrigieren.
> und wie meinst du "sauber", mit totaler
> Wahrscheinlichkeit, oder was?
Ja.
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 So 31.05.2009 | | Autor: | gigi |
mir fällt aber wirklich nicht ein, was bei dieser totalen Wahrscheinlichkeit die Bedingung sein soll, oder wie ich sie berechnen soll. Mir kommt nur in den Sinn, so zu [mm] rechnen:\cap B_k= \vektor{730\\ 2} (\bruch{1}{365})^2(\bruch{364}{365})^{728}+\vektor{728\\ 2} (\bruch{1}{364})^2(\bruch{363}{364})^{726}+\vektor{726\\ 2} (\bruch{1}{363})^2(\bruch{362}{363})^{724}+................+\vektor{730-2k\\ 2} (\bruch{1}{365-k})^2(\bruch{364-k}{365-k})^{728-2k}; [/mm] k=0,1,...,364
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 So 31.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
fast richtig. Der Satz von der Totalen Wahrscheinlichkeit besagt hier
[mm] $1-p_1=P\left(\bigcap_{i=1}^{365}B_i\right)=P(B_1)P(B_2\mid B_1)P(B_3\mid B_1\cap B_2)\cdots$
[/mm]
so dass du die Wahrscheinlichkeiten *multiplizieren* musst.
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 So 31.05.2009 | | Autor: | gigi |
ja, sorry, war nen Tippfehler! allerdings hab ich keinen Plan, wie ich das ausrechnen soll, man soll doch nicht tatsächlich alle Faktoren in den TR hämmern, oder?? wie macht man das am elegantesten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 So 31.05.2009 | | Autor: | luis52 |
> ja, sorry, war nen Tippfehler! allerdings hab ich keinen
> Plan, wie ich das ausrechnen soll, man soll doch nicht
> tatsächlich alle Faktoren in den TR hämmern, oder??
Vermutlich nicht.
> wie
> macht man das am elegantesten?
Z.B. mit der (kommerziellen) Software Mathematica oder
mit dem frei verfuegbaren R.
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:11 Mo 01.06.2009 | | Autor: | gigi |
mh, kann ich jetzt leider nicht herunterladen! Muss ich das Ergebnis wohl leider offen lassen, es sei denn, jemand anders hat die Möglichkeit, das Produkt mal schnell wo einzugeben??
viele grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Mo 01.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Es ist
[mm] \begin{matrix}
-\log(1-p_1)
&=& \log\prod\limits_{i=1}^{363}\dbinom{730-2i}{2}\left(\dfrac{1}{365-i}\right)^2 \left(1-\dfrac{1}{365-i}\right)^{730-2i-2}\\[2ex]
&=&\sum\limits_{i=1}^{363}\log\dbinom{730-2i}{2}+2\log\left(\dfrac{1}{365-i}\right) +(730-2i-2)\log\left(1-\dfrac{1}{365-i}\right)
\end{matrix}
[/mm]
zu berechnen. Hier die Eingabe in R:
| 1: |
| | 2: | > i <- 0:363
| | 3: | > -sum(lchoose(730-2*i,2)+2*log(1/(365-i))+(730-2*i-2)*log(1-1/(365-i)))
| | 4: | [1] 472.7857
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Du kannst das selber ausprobieren unter http://bayes.math.montana.edu/Rweb/Rweb.general.html
vg Luis
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| Aufgabe | Die Geburtstage von 730 Personen seien gleichmäßig über das
Jahr verteilt.
1. Bestimmen Sie die wahrscheinlichste Anzahl der
Personen, die am 11.11. geboren sind.
2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit [mm]p_1,[/mm] dass
mindestens 3 Personen an dem gleichen Tag Geburtstag
haben.
etc. |
Guten Tag an alle Beteiligten !
ich habe die Beiträge in dieser Diskussion mit Interesse
gelesen und möchte nur noch eine kleine Bemerkung
hinzufügen, nämlich die, dass in der obigen Aufgaben-
stellung schon irgendwie der Wurm drin steckt ! Nimmt
man nämlich den ersten Satz "Die Geburtstage von 730
Personen seien gleichmäßig über das Jahr verteilt" wirklich
ernst, so müsste dies doch eigentlich tatsächlich bedeuten,
dass an jedem Tag des Jahres genau zwei dieser Personen
Geburtstag haben müssten - mal abgesehen davon, dass
ein Jahr ja gar nicht exakt 365 Tage hat.
Unter dieser Voraussetzung werden dann allerdings die
Antworten auf die gestellten Fragen trivial, und dies lag
denn wohl doch nicht in der Absicht des Autors der Aufgabe.
Ich könnte mir aber zum Beispiel folgendes Szenario
vorstellen: Diese Aufgabe wird als Abituraufgabe gestellt.
Ein Kandidat nimmt die Aufgabe im Wortsinn ernst, wie
oben erläutert, und löst die verkorkste Aufgabe unter der
Annahme der simplen Gleichverteilung (an jedem Tag
haben genau 2 Personen Geburtstag) korrekt. Da er dafür
kaum Punkte erhält und die übrigen Umstände auch
gerade so und so liegen, reicht es gerade knapp nicht zum
Bestehen des Abis. Darauf reicht er Rekurs ein und legt
die Gründe dar, weshalb eigentlich er (und nicht alle die
vielen anderen Mitkandidaten, die die Aufgabe scheinbar
"richtig" gelöst haben) die Aufgabe korrekt interpretiert
hat.
Nun stell' dir vor, Du sitzt in der Behörde, welche den
Rekurs behandeln muss. Wie würdest du den Fall be-
urteilen ?
LG, schönen Pfingstmontag und einen schönen Juni !
Al-Chwarizmi
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