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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Do 03.04.2008 | | Autor: | MrPotter |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Integral. Bestimmen Sie dazu zuerst die Stammfunktion durch Substitution oder partielle Integration.
[mm] \int_{2}^{3} \br{x^2}{x-1} \, [/mm] dx
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Da ich nun heute schon etliche Lösungsansätze hinter mir habe und nun immer noch nicht zu einem Ergebnis gekommen bin, hoffe ich, dass mir jemand von euch einen Ratschlag zu dieser Aufgabe geben kann.
Mit der partiellen Integration kommt man bei der Aufgabe nicht weiter, da bei mehrmaligem partiellen Integrieren ein [mm]ln(x-1)[/mm] vorkommt und beim weiteren intergrieren nicht einfacher wird.
Bei der Substitution habe ich so eben gedacht, ich würde eine Lösung finden, wenn ich [mm] z = \br {1}{x-1} = (x-1)^{-1}[/mm] substituiere. Funktioniert aber auch nicht, da beim Ableiten von dz nach dx ein Binom herauskommt, welches beim Ausmultiplizieren mit dem verbliebenen [mm] x^2 [/mm] ein Produkt 4. Grades mit z ergeben hat. Klar kann man das vier Mal integrieren, allerdings denke ich nicht, dass ich da großen Erfolg haben werde.
Vielleicht hat ja jemand einen besseren Tipp, wie ich an diese Aufgabe herangehen kann?
Wie macht ihr dass eigentlich, wenn ihr ein Integral vor euch habt, wo nicht gleich auf den ersten Blick zu sehen ist, wie man es löst? Ich schreibe bald eine Klausur und vertrödel beim Üben meist zu viel Zeit beim finden einer passenden Substitution oder anderen Integrationsmethode 
Liebe Grüße und vielen Dank für die Unterstützung
MrPotter
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Hallo MrPotter,
> Berechnen Sie das folgende Integral. Bestimmen Sie dazu
> zuerst die Stammfunktion durch Substitution oder partielle
> Integration.
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> [mm]\int_{2}^{3} \br{x^2}{x-1} \,[/mm] dx
>
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> Da ich nun heute schon etliche Lösungsansätze hinter mir
> habe und nun immer noch nicht zu einem Ergebnis gekommen
> bin, hoffe ich, dass mir jemand von euch einen Ratschlag zu
> dieser Aufgabe geben kann.
>
> Mit der partiellen Integration kommt man bei der Aufgabe
> nicht weiter, da bei mehrmaligem partiellen Integrieren ein
> [mm]ln(x-1)[/mm] vorkommt und beim weiteren intergrieren nicht
> einfacher wird.
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> Bei der Substitution habe ich so eben gedacht, ich würde
> eine Lösung finden, wenn ich [mm]z = \br {1}{x-1} = (x-1)^{-1}[/mm]
> substituiere. Funktioniert aber auch nicht, da beim
> Ableiten von dz nach dx ein Binom herauskommt, welches beim
> Ausmultiplizieren mit dem verbliebenen [mm]x^2[/mm] ein Produkt 4.
> Grades mit z ergeben hat. Klar kann man das vier Mal
> integrieren, allerdings denke ich nicht, dass ich da großen
> Erfolg haben werde.
>
> Vielleicht hat ja jemand einen besseren Tipp, wie ich an
> diese Aufgabe herangehen kann?
>
> Wie macht ihr dass eigentlich, wenn ihr ein Integral vor
> euch habt, wo nicht gleich auf den ersten Blick zu sehen
> ist, wie man es löst? Ich schreibe bald eine Klausur und
> vertrödel beim Üben meist zu viel Zeit beim finden einer
> passenden Substitution oder anderen Integrationsmethode
>
[mm]\bruch{x^{2}}{x-1}[/mm]
Da der Zählergrad größer als der Nennergrad ist, mache zuerst eine Polynomdivison.
Dann wird es einfacher.
>
> Liebe Grüße und vielen Dank für die Unterstützung
> MrPotter
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 03.04.2008 | | Autor: | MrPotter |
Hey MathePower,
danke für den schnellen Tipp! Ich bin allerdings ein wenig verunsichert darüber. Zunächst jedoch mein Lösungsansatz:
[mm]x^2:(x-1) = x + 2[/mm]
[mm]\Rightarrow \integral_{2}^{3}{ (x+2)*(x-1) dx}[/mm]
Wenn ich nun diese Integral löse, dann ist es doch nicht äquivalent zu meinem Ausgangsintegral. Was wiederum bedeutet, dass mein neues Integral eine ganz andere Lösung haben wird, als das der Aufgabenstellung.
Liege ich damit richtig??
Wolltest du zufällig auf eine Partialbruchzerlegung hinaus? Die hatten wir leider noch nicht im Unterricht behandelt :-(
Liebe Grüße
MrPotter
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Hallo!
Worauf MathePower hinaus wollte dass du die funktion vereinfachen sollst indem du Polynomdivision anwendest. Was du ja auch machen wolltest aber dir leider nicht so rcht gelungen ist.
Wir haben:
[mm] x^{2}:(x-1)=x+1+\bruch{1}{x-1}
[/mm]
[mm] -(x^{2}-x)
[/mm]
x
-(x-1)
1
So und nun ist folgendes Integral zu berechnen:
[mm] \integral_{2}^{3}{x+1+\bruch{1}{x-1} dx} [/mm] Und dass solltest du nun integrieren können. Ok?
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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