Gebrochene-rationale Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Also wäre echt nett wenn ihr mir vielleicht heute noch den Weg usw erklären könntet weil ich schon morgen die Mathe-Klausur habe! DANKE
Aufgabe: Konstruieren Sie den Funktionsterm [mm] \bruch{p(x)}{q(x)} [/mm] einer gebrochenen-rationalen Funktion f(x) mit folgenden Eigenschaften ( es gibt mehrere Lösungen, finden Sie eine):
* p(x) und q(x) sind Polynome mit möglichst niedrigem Grad
* es gilt f(3)=0 und f(7)=0,
* die Funktion f(x) hat eine gerade Polstelle bei x=5 und
* es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x)= [mm] \infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x)= - [mm] \infty [/mm]
f(x)= ???????????????????????????????????
Die Lösung: [mm] \bruch{(x-3)(x-7)}{(x-5)} [/mm] +C
Wie kommt man auf die Lösung????
MfG
Ersan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 So 23.01.2005 | | Autor: | taura |
> Also wäre echt nett wenn ihr mir vielleicht heute noch den
> Weg usw erklären könntet weil ich schon morgen die
> Mathe-Klausur habe! DANKE
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> Aufgabe: Konstruieren Sie den Funktionsterm
> [mm]\bruch{p(x)}{q(x)}[/mm] einer gebrochenen-rationalen Funktion
> f(x) mit folgenden Eigenschaften ( es gibt mehrere
> Lösungen, finden Sie eine):
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> * p(x) und q(x) sind Polynome mit möglichst niedrigem
> Grad
> * es gilt f(3)=0 und f(7)=0,
> * die Funktion f(x) hat eine gerade Polstelle bei x=5 und
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> * es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x)= [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x)= - [mm]\infty[/mm]
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> f(x)= ???????????????????????????????????
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> Die Lösung: [mm]\bruch{(x-3)(x-7)}{(x-5)}[/mm] +C
Naja, das stimmt nicht ganz, diese Funktion hat zwar ein Polstelle bei x=5, aber eine ungerade. Eine gerade Polstelle erreichst du, indem du den Nenner quadrierst:
[mm]f(x)=\bruch{(x-3)(x-7)}{(x-5)^2}[/mm]
Nun hast du aber das Problem, dass der Grad deiner Polynome oben und unten gleich groß ist, d.h. es gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=1
[/mm]
Um dieses Problem zu beheben und gleichzeitig die Nullstellen bei 3 und 7 beizubehalten, musst du noch einen der beiden oberen Terme quadrieren. (Stattdessen kannst du auch mit [mm](x+c)[/mm] multiplizieren, wobei [mm]c \in \IR\setminus\{-5\}[/mm] beliebig ist.)
[mm]\Rightarrow f(x)=\bruch{x(x-3)(x-7)}{(x-5)^2}[/mm] ist eine Lösung, die alle Bedingungen erfüllt.
Und übrigens: ein Konstante zu addieren, bringt dir garnichts, im Gegenteil, es ist falsch, da es deine Nullstellen verfälscht.
> Wie kommt man auf die Lösung????
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> MfG
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> Ersan
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Hoffe ich konnte dir helfen.
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