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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Do 21.09.2006 | | Autor: | rightway |
| Aufgabe | Geben sie eine gebrochenrationale Funktion an mit
a) Nullstelle 2 und 3, Polstelle mit VZW
b) Nullstelle -1, Polstelle -3 mit VZW und Polstelle 4 ohne VZW. |
Hallo,
kann mir einer helfen? Ich stehe echt auf dem Schlauch! Am besten gleich noch schreiben wie man darauf kommt.
DANKE!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wenn man die gebrochenrationale Funktion in der Form
[mm]f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}[/mm] mit Polynomen [mm]p(x),q(x)[/mm]
angibt, dann sind die Nullstellen von [mm]f[/mm] gerade die Nullstellen des Zählers [mm]p[/mm], die Polstellen von [mm]f[/mm] dagegen die Nullstellen des Nenners [mm]q[/mm] (sofern der Bruch vollständig gekürzt ist).
Und wenn ein Polynom eine Nullstelle [mm]a[/mm] hat, kann man den Linearfaktor [mm]x-a[/mm] abspalten. Die Anzahl der maximal möglichen Abspaltungen des Linearfaktors nennt man die Ordnung der Nullstelle. Das ist also nichts anderes als der Exponent von [mm]x-a[/mm]. Ist die Ordnung ungerade, so liegt bei [mm]x=a[/mm] ein Vorzeichenwechsel vor, ist die Ordnung gerade, so liegt kein Vorzeichenwechsel vor.
Beispiel:
[mm]p(x) = (x+2)^3 \cdot (x-1)^2 \cdot (x-4) \cdot \left( x^2 + 1 \right)[/mm]
Der letzte quadratische Faktor wird nicht 0, die anderen Faktoren legen die Nullstellen fest:
-2 ist Nullstelle der Ordnung 3 (ungerade), Vorzeichenwechsel
1 ist Nullstelle der Ordnung 2 (gerade), kein Vorzeichenwechsel
4 ist Nullstelle der Ordnung 1 (ungerade), Vorzeichenwechsel
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