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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Di 20.01.2015 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Lösen sie die folgenden Anfangswertprobleme durch Separation:
$a)$ [mm] $y'=\frac{y}{x}ln(y), [/mm] $ $y(2)=16$
$b)$ [mm] $y'=(y-x)^2 [/mm] , $ $y(0)=2.$
Hinweis:Substituieren Sie in Teil $(b)$ $z=y-x$ |
Hallo liebe Leute:)
wir machen momentan Anfangswertprobleme und es hakt mit meinem Verständnis. Ich weiß einfach nicht,wie ich an solche Aufgaben ran gehen muss. Könntet ihr mir vielleicht Starthilfe leisten?
lieben gruß
LGS
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Di 20.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Löse zunächst die DGL mit Separation (Trennung der Veränderlichen).
In der allgemeinen Lösung kommt eine Konstante vor, diese passe der Anfangsbedingung an.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 20.01.2015 | | Autor: | LGS |
Hallo Fred,
danke für deine Antwort.
$a)$ $ [mm] y'=\frac{y}{x}ln(y), [/mm] $ $ y(2)=16 $
Lsg$ .:$
$ [mm] y'=\frac{y}{x}ln(y) \gdw \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}ln(y)$ [/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] dy= [mm] (\frac{y}{x}ln(y))*dx [/mm] $
$ [mm] \gdw \frac{1}{y}*\frac{1}{ln(y)}*dy= \frac{1}{x}*dx [/mm] $
nun
$ [mm] \gdw \integral \frac{1}{y}*\frac{1}{ln(y)}*dy= \integral \frac{1}{x}*dx [/mm] $
deshalb [mm] $\integral \frac{1}{x}*dx [/mm] = [ln(x)+c]$
$ [mm] \Rightarrow [/mm] y(x)=ln(x)+c $ . nun $ y(2)=16$
$ [mm] \Rightarrow [/mm] y(2)=ln(2)+15,31= 16 [mm] \Rightarrow [/mm] c = 15,31$
b)
$ b) $ $ [mm] y'=(y-x)^2 [/mm] , $ $ y(0)=2. $
$ [mm] \frac{dy}{dx}= (y-x)^2 [/mm] = [mm] (z)^2= \frac{dy}{dz}$ [/mm]
[mm] $(z)^2= \frac{dy}{dz}$
[/mm]
[mm] $\gdw (z)^2*dz= [/mm] 1*dy$
jetzt komm ich irgendwie nicht weiter...:/
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Hallo LGS,
> Hallo Fred,
>
> danke für deine Antwort.
>
>
> [mm]a)[/mm] [mm]y'=\frac{y}{x}ln(y),[/mm] [mm]y(2)=16[/mm]
>
>
> Lsg[mm] .:[/mm]
>
> [mm]y'=\frac{y}{x}ln(y) \gdw \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}ln(y)[/mm]
>
> [mm]\gdw dy= (\frac{y}{x}ln(y))*dx[/mm]
> [mm]\gdw \frac{1}{y}*\frac{1}{ln(y)}*dy= \frac{1}{x}*dx[/mm]
>
> nun
>
> [mm]\gdw \integral \frac{1}{y}*\frac{1}{ln(y)}*dy= \integral \frac{1}{x}*dx[/mm]
>
> deshalb [mm]\integral \frac{1}{x}*dx = [ln(x)+c][/mm]
>
Hier steht doch zunächst:
[mm] \integral \frac{1}{y}*\frac{1}{ln(y)}*dy= \ln\left(x\right)+c[/mm]
> [mm]\Rightarrow y(x)=ln(x)+c[/mm] . nun [mm]y(2)=16[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y(2)=ln(2)+15,31= 16 \Rightarrow c = 15,31[/mm]
>
>
> b)
>
>
>
> [mm]b)[/mm] [mm]y'=(y-x)^2 ,[/mm] [mm]y(0)=2.[/mm]
>
> [mm]\frac{dy}{dx}= (y-x)^2 = (z)^2= \frac{dy}{dz}[/mm]
>
>
Da y=z+x ist y'=z'+1.
Damit ergibt sich:
[mm]z'=z^{2}-1[/mm]
> [mm](z)^2= \frac{dy}{dz}[/mm]
>
> [mm]\gdw (z)^2*dz= 1*dy[/mm]
>
>
> jetzt komm ich irgendwie nicht weiter...:/
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Do 22.01.2015 | | Autor: | LGS |
hi:)
danke für deine Antwort
> Hallo LGS,
>
> > Hallo Fred,
> >
> > danke für deine Antwort.
> >
> >
> > [mm]a)[/mm] [mm]y'=\frac{y}{x}ln(y),[/mm] [mm]y(2)=16[/mm]
> >
> >
> > Lsg[mm] .:[/mm]
> >
> > [mm]y'=\frac{y}{x}ln(y) \gdw \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}ln(y)[/mm]
> >
> > [mm]\gdw dy= (\frac{y}{x}ln(y))*dx[/mm]
> > [mm]\gdw \frac{1}{y}*\frac{1}{ln(y)}*dy= \frac{1}{x}*dx[/mm]
> >
> > nun
> >
> > [mm]\gdw \integral \frac{1}{y}*\frac{1}{ln(y)}*dy= \integral \frac{1}{x}*dx[/mm]
> >
> > deshalb [mm]\integral \frac{1}{x}*dx = [ln(x)+c][/mm]
> >
>
>
> Hier steht doch zunächst:
>
> [mm]\integral \frac{1}{y}*\frac{1}{ln(y)}*dy= \ln\left(x\right)+c[/mm]
ich hab doch schon [mm] $\ln\left(x\right)+c$ [/mm] wieso muss ich denn da nochmal die linke seite integrieren? :O
>
>
>
> > [mm]\Rightarrow y(x)=ln(x)+c[/mm] . nun [mm]y(2)=16[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow y(2)=ln(2)+15,31= 16 \Rightarrow c = 15,31[/mm]
> >
> >
> > b)
> >
> >
> >
> > [mm]b)[/mm] [mm]y'=(y-x)^2 ,[/mm] [mm]y(0)=2.[/mm]
> >
> > [mm]\frac{dy}{dx}= (y-x)^2 = (z)^2= \frac{dy}{dz}[/mm]
> >
> >
>
>
> Da y=z+x ist y'=z'+1.
>
> Damit ergibt sich:
>
> [mm]z'=z^{2}-1[/mm]
>
>
> > [mm](z)^2= \frac{dy}{dz}[/mm]
> >
> > [mm]\gdw (z)^2*dz= 1*dy[/mm]
> >
> >
> > jetzt komm ich irgendwie nicht weiter...:/
> >
>
>
und bei der b weiss ich nicht was du mir sagen willst damit ...:/
sorry..:/
> Gruss
> MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Fr 23.01.2015 | | Autor: | chrisno |
>.......
> Hier steht doch zunächst:
> >
> > [mm]\integral \frac{1}{y}*\frac{1}{ln(y)}*dy= \ln\left(x\right)+c[/mm]
>
>
>
> ich hab doch schon [mm]\ln\left(x\right)+c[/mm] wieso muss ich denn
> da nochmal die linke seite integrieren? :O
Weil da nicht y steht. Du kannst nicht einfach so tun, als wäre das Integral = y. Du musst erst integrieren und dann nach y auflösen.
> > > .....
> > >
> > > [mm]b)[/mm] [mm]y'=(y-x)^2 ,[/mm] [mm]y(0)=2.[/mm]
> > >
> > > [mm]\frac{dy}{dx}= (y-x)^2 = (z)^2= \frac{dy}{dz}[/mm]
> > ......
> > Da y=z+x ist y'=z'+1.
> >
> > Damit ergibt sich:
> >
> > [mm]z'=z^{2}-1[/mm]
> >
> > ....
> und bei der b weiss ich nicht was du mir sagen willst damit
Er will sagen: "Du bist auf einem Irrweg. Mach es so, wie ich es Dir geschrieben habe." Da steht nun eine neue Differentialgleichung, die gelöst werden soll.
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