Gaußscher Integralsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:35 Di 11.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{S^{2}}^{}{(x^{2}+y+z)dS(x,y,z)} [/mm] über die Einheitssphäre [mm] S^{2}={ (x,y,z)\in\IR^{3}:||(x,y,z)||=1 } [/mm] mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes. Dabei dürfen Sie benutzen, dass das Volumen der Einheitskugel im [mm] \IR^{3} [/mm] gerade [mm] (4/3)\pi [/mm] beträgt. |
Guten Morgen liebe Matheraum- Community,
ich bräuchte von euch mal einen kleinen Tipp, wie man das hier zu berechnende Integral aufstellt. Der äußere Normalvektor auf der Einheitssphäre müsste doch der Vektor
[mm] \vektor{x \\ y\\z} [/mm]
sein, oder sehe ich das falsch? Über einen kleinen Hinweis bezüglich der Aufstellung des Integranden wäre ich sehr dankbar. Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Di 11.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel!
> Berechnen Sie [mm]\integral_{S^{2}}^{}{(x^{2}+y+z)dS(x,y,z)}[/mm]
> über die Einheitssphäre [mm]S^{2}={ (x,y,z)\in\IR^{3}:||(x,y,z)||=1 }[/mm]
> mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes. Dabei dürfen Sie
> benutzen, dass das Volumen der Einheitskugel im [mm]\IR^{3}[/mm]
> gerade [mm](4/3)\pi[/mm] beträgt.
> Guten Morgen liebe Matheraum- Community,
>
> ich bräuchte von euch mal einen kleinen Tipp, wie man das
> hier zu berechnende Integral aufstellt. Der äußere
> Normalvektor auf der Einheitssphäre müsste doch der Vektor
>
> [mm]\vektor{x \\ y\\z}[/mm]
>
> sein, oder sehe ich das falsch? Über einen kleinen Hinweis
> bezüglich der Aufstellung des Integranden wäre ich sehr
> dankbar.
Das ist der äußere Normalenvektor, aber kein Einheitsvektor. Du musst also diesen Vektor normieren und dann das Vektorfeld so bestimmen, dass Vektorfeld mal Normaleneinheitsvektor leich dem gegebenen Integranden [mm] $x^2+y+z$ [/mm] sind.
EDIT: Sorry, heute Abend stehe ich auf der Leitung: da es sich um die Einheitsspähre handelt, ist der Vektor schon auf 1 normiert.
Tipp: Setze [mm] $x^2+y+z= \vec{F} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y\\z}$ [/mm] !
Damit wird die Divergenz von F ganz einfach.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Ich danke dir.
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