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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Sosa |
| Aufgabe | | Stellen sie die komplexe Zahl [mm] zo = \wurzel{2} * \bruch{1-i}{2} [/mm] sowie sämtliche Lösungen der Gleichung [mm] w^2 - zo = 0 [/mm] in der Gauschen Zahlenebene graphisch dar. |
Hallo,
bin mir bei der Aufgabe unsicher ob ich alles richtig gemacht habe. Habe sie nämlich mit hilfe einer Beispielaufgabe gerechnet die so ähnlich war.
Zuerst hab ich Zo ausgerechnet:
[mm] zo = \wurzel{2} * \bruch{1-i}{2} [/mm]
[mm] zo = \wurzel{2} * ( \bruch{1}{2} - \bruch{1}{2}i ) [/mm] ; [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist der Realteil und [mm] \bruch{1}{2}i [/mm] ist der Imaginärteil
Bei den nächsten schritt weiß ich nicht wirklich warum ich das so machen muss (habs gemacht wie bei der Beispielaufgabe)
[mm] |zo| = \wurzel{2} * ( \wurzel{(\bruch{1}{2})^2 - (\bruch{1}{2})^2} ) [/mm]
Warum setze ich Zo in Betrag und warum quadriere ich und ziehe daraus die Wurzel? Hätte ich das nicht auch so ausrechnen können?
[mm] |zo| = \wurzel{2} * \wurzel{\bruch{2}{4}} [/mm]
[mm] |zo| = \wurzel{2} * \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]
[mm] |zo| = 1 [/mm]
Die erste Teilaufgabe ist damit fertig.
Jetzt sämtliche komplexe Lösungen:
[mm] w^2 = 1 * e^{i*\bruch{\pi}{4}} [/mm] ; hier weiß ich nicht warum ich [mm] e^{i*\bruch{\pi}{4}} [/mm] nehme
[mm] w = \wurzel{1 * e^{i*\bruch{\pi}{4}}} [/mm]
[mm] w = 1* (e^{i*\bruch{\pi}{4}})^{\bruch{1}{2}} [/mm]
[mm] w = e^{i*\bruch{\pi}{8}} [/mm]
In die Gausche Zahlenebene würde ich das dann so eintragen:
Zo auf der Realen Achse
und w um den Winkel [mm] \bruch{\pi}{8} [/mm] verschoben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Fr 07.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der Gaussschen Zahlenebene darstellen, heisst es da als Punkt eintragen, dazu besser:
[mm] z=\wurzel{2}/2 [/mm] + [mm] i*\wurzel{2}/2
[/mm]
|z| kannst du so ausrechnen, 1 ist richtig, damit weisst du, dass z auf dem Einheitskreis ligt und wei Real und Imaginärteil gleich sind auf der Winkelhalbierenden im 1. Quadranten.
du kannst aber Re und Im auch direkt eintragen, ohne |z| zu berechnen.
aber für die 2 te Aufgabe brauchst du den Winkel und Betrag. die 45° sind die [mm] \pi/2
[/mm]
und [mm] z_0=r*e^{i\phi} [/mm] gibt r den Betrag, [mm] \phi [/mm] den Winkel zur reellen Achse (gegen den Uhrzeigersinn gerechnet) an.
aber mit [mm] \pi/2 [/mm] ist auch [mm] \pi/2+n*2\pi [/mm] ein richtiger Winkel, für n=1 bekommst du damit die 2 te Lösung.
zeichnerisch kannst du, weil der Betrag 1 ist, einfach den Winkel auf dem Einheitskreis halbieren, allerdings auch den von dem Punkt [mm] z_o [/mm] weiter im Uhrzeigersinn bis zur reellen Achse. der punkt ist [mm] \pi [/mm] bzw 180° weiter als der erste.
wie du deine Zeichnf beschreibst [mm] Z_o [/mm] auf der reellen Achse usw versteh ich nicht.
zeichne einen 1 Einhit langen Pfeil mit 22.5° zur Achse, dann noch den GegenPfeil, sie enden an den richtigen punkten.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Sosa,
> Stellen sie die komplexe Zahl [mm]zo = \wurzel{2} * \bruch{1-i}{2}[/mm]
> sowie sämtliche Lösungen der Gleichung [mm]w^2 - zo = 0[/mm] in
> der Gauschen Zahlenebene graphisch dar.
>
> Zuerst hab ich Zo ausgerechnet:
>
> [mm]zo = \wurzel{2} * \bruch{1-i}{2}[/mm]
> [mm]zo = \wurzel{2} * ( \bruch{1}{2} - \bruch{1}{2}i )[/mm]
> ; [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist der Realteil und [mm]\bruch{1}{2}i[/mm] ist der
> Imaginärteil
Nein. Real- und Imaginärteil sind beides reelle Zahlen. Es ist
$z= [mm] \frac {\sqrt 2} [/mm] 2 [mm] -i\frac {\sqrt 2} [/mm] 2$, daher ist der Realteil [mm] $\frac {\sqrt 2} [/mm] 2$ und der Imaginärteil [mm] $-\frac {\sqrt 2} [/mm] 2$.
> Bei den nächsten schritt weiß ich nicht wirklich warum
> ich das so machen muss (habs gemacht wie bei der
> Beispielaufgabe)
Du willst $z$ in Polardarstellung angeben. Sie lautet
[mm] $z=|z|*e^{i\phi}$.
[/mm]
Dabei ist [mm] $\phi$ [/mm] ein Winkel mit dem Scheitel im Nullpunkt, der positiven reellen Achse als dem einen Schenkel und der Gerade durch 0 und $z$ als dem anderen Schenkel.
Der Betrag ist definiert als [mm] $\sqrt{x^2 + y^2}$, [/mm] wenn $x$ und $y$ Real- und Imaginärteil von $z$ sind.
Wir erhalten:
[mm] $|z|=\sqrt [/mm] { [mm] \left(\frac {\sqrt 2} 2\right)^2 +\left( -\frac {\sqrt 2} 2)\right)^2}= [/mm] 1$.
Jetzt zum Winkel. $z$ liegt im vierten Quadranten, weil der Realteil positiv und der Imaginärteil negativ ist. Der Winkel ist [mm] $-45^\circ=-\pi/4$, [/mm] weil die Beträge von Real- und Imaginärteil gleich sind.
Damit haben wir die Polardarstellung von $z$:
[mm] $z=e^{-i\pi/4}$.
[/mm]
Jetzt zur Bestimmung aller $w$ mit [mm] $w^2=z$. [/mm] Sei [mm] $w=|w|*e^{i\psi}$. [/mm] Aus [mm] $w^2=z$ [/mm] folgt
[mm] $|w|^2*e^{i2\psi} [/mm] = [mm] e^{-i\pi/4}$ [/mm] und hieraus
[mm] $w=\pm e^{-i\pi/8}$.
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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