Gaußsche Summen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein Problem mit einem Beweis zum Thema Gaußsche Summen.
Zunächst einmal haben wir eine Gaußsche Summe wie folgt definiert:
[mm] \tau [/mm] = [mm] \summe_{x \not= 0 mod p} (\frac{x}{p}) \zeta^{x}= \summe_{x=1}^{p-1} (\frac{x}{p}) \zeta^{x}
[/mm]
Der Satz besagt nun, dass [mm] \tau^{2}= p*=(\frac{-1}{p}) \cdot [/mm] p
Nun zum Beweis der sich mir nicht ganz erschließen lässt.
Zunächst ist
[mm] \tau^{2}=\summe_{x,y \not= 0} (\frac{x}{p}) (\frac{y}{p}) \zeta^{x+y}= \summe_{x,y \not= 0} (\frac{xy}{p}) \zeta^{x+y}.
[/mm]
Setze nun y=xt
[mm] \Rightarrow \tau^{2}= \summe_{x,t \not= 0} (\frac{x^{2}t}{p}) \zeta^{x(1+t)}=\summe_{x,t \not= 0} (\frac{t}{p}) \zeta^{x(1+t)}=\summe_{t \not= 0} (\frac{t}{p}) \zeta^{x(1+t)}
[/mm]
Hier beginnen nun allmählich meine Probleme. Mir erschließt sich leider nicht ganz warum sich beim 2. Gleichheitszeichen, dass [mm] x^{2} [/mm] einfach verschwindet. Ist dies der Fall weil das Legendre-Symbol ja den Wert 1 für einen Quadratrest annimmt und -1 für einen Nichtrest. In unserem Fall wäre es dann doch egal weil sowohl -1 als auch 1 zum Quadrat 1 ist. Fällt deswegen, dass [mm] x^{2} [/mm] einfach weg? Eine Frage habe ich dann aber noch zum letzten Gleichheitszeichen warum läuft die Summe dort nur noch über t? obwohl im Exponenten des [mm] \zeta [/mm] noch ein x auftaucht?
Jetzt beachte: für a [mm] \in \IZ [/mm] ist:
[mm] \summe_{x \not= 0} \zeta^{ax}=\begin{cases} p-1, & \mbox{falls } p|a \\ -1, & \mbox{sonst, denn } p \mbox{ teilt nicht a} \Rightarrow \zeta^{1} \mbox{ist primitive p-te Einheitswurzel} \end{cases}
[/mm]
Diesen Ausdruck verstehe ich leider nicht. Wie kommt man darauf das [mm] \zeta [/mm] die angegebenen Werte unter den gegebenen Bedingungen annimmt?
Setzte nun [mm] \summe_{x=0}^{p-1} \zeta^{ax}=(\zeta^{a})^{p-1}+...+\zeta^{a}+1=0. [/mm] Damit ist dann:
[mm] \tau^{2}=(\bruch{-1}{p}) [/mm] (p-1) - [mm] \summe_{t \not= 0, p-1} (\frac{t}{p}) [/mm] = [mm] (\frac{-1}{p}) [/mm] - [mm] \summe_{t \not= 0} (\frac{t}{p})=0
[/mm]
Diese letzte Umformung verstehe ich leider gar nicht. Ich sehe auch leider nicht wie ich damit die Aussage des Satzes bewiesen habe.
Ich wäre über jede Erklärung zum Satz sehr dankbar.
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Do 08.12.2011 | | Autor: | hippias |
Hallo Schmetterfee
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem mit einem Beweis zum Thema Gaußsche
> Summen.
>
> Zunächst einmal haben wir eine Gaußsche Summe wie folgt
> definiert:
> [mm]\tau[/mm] = [mm]\summe_{x \not= 0 mod p} (\frac{x}{p}) \zeta^{x}= \summe_{x=1}^{p-1} (\frac{x}{p}) \zeta^{x}[/mm]
>
> Der Satz besagt nun, dass [mm]\tau^{2}= p*=(\frac{-1}{p}) \cdot[/mm]
> p
>
> Nun zum Beweis der sich mir nicht ganz erschließen
> lässt.
> Zunächst ist
> [mm]\tau^{2}=\summe_{x,y \not= 0} (\frac{x}{p}) (\frac{y}{p}) \zeta^{x+y}= \summe_{x,y \not= 0} (\frac{xy}{p}) \zeta^{x+y}.[/mm]
>
> Setze nun y=xt
> [mm]\Rightarrow \tau^{2}= \summe_{x,t \not= 0} (\frac{x^{2}t}{p}) \zeta^{x(1+t)}=\summe_{x,t \not= 0} (\frac{t}{p}) \zeta^{x(1+t)}=\summe_{t \not= 0} (\frac{t}{p}) \zeta^{x(1+t)}[/mm]
>
> Hier beginnen nun allmählich meine Probleme. Mir
> erschließt sich leider nicht ganz warum sich beim 2.
> Gleichheitszeichen, dass [mm]x^{2}[/mm] einfach verschwindet. Ist
> dies der Fall weil das Legendre-Symbol ja den Wert 1 für
> einen Quadratrest annimmt und -1 für einen Nichtrest. In
> unserem Fall wäre es dann doch egal weil sowohl -1 als
> auch 1 zum Quadrat 1 ist. Fällt deswegen, dass [mm]x^{2}[/mm]
> einfach weg?
Im Prinzip hast Du es richtig erklaert: Wenn eine Zahl $z$ ein quadratischer Rest mod $p$ ist, dann ist [mm] $(\frac{z}{p})= [/mm] 1$; sonst $=-1$. Ist wie hier $z$ selber eine Quadratzahl, ist es selbstverstaendlich erst recht ein quadratischer Rest. Deshalb ist [mm] $(\frac{x^{2}}{p})= [/mm] 1$, und nicht, weil [mm] $(-1)^{2}= [/mm] 1$ oder so.
> Eine Frage habe ich dann aber noch zum letzten
> Gleichheitszeichen warum läuft die Summe dort nur noch
> über t? obwohl im Exponenten des [mm]\zeta[/mm] noch ein x
> auftaucht?
Das muss ein Schreibfehler sein; aus dem weiteren Beweis geht hervor, dass noch weiter ueber $x$ summiert wird.
>
> Jetzt beachte: für a [mm]\in \IZ[/mm] ist:
> [mm]\summe_{x \not= 0} \zeta^{ax}=\begin{cases} p-1, & \mbox{falls } p|a \\ -1, & \mbox{sonst, denn } p \mbox{ teilt nicht a} \Rightarrow \zeta^{1} \mbox{ist primitive p-te Einheitswurzel} \end{cases}[/mm]
>
> Diesen Ausdruck verstehe ich leider nicht. Wie kommt man
> darauf das [mm]\zeta[/mm] die angegebenen Werte unter den gegebenen
> Bedingungen annimmt?
Das ist eine geometrische Reihe, wenn [mm] $p\not| [/mm] a$: [mm] $\summe_{x \not= 0} \zeta^{ax}= \summe_{x=1}^{p-1} \zeta^{ax}= \ldots. =\frac{\zeta^{ap}-\zeta^{a}}{\zeta^{a}-1}$; [/mm] weitere Verinfachung liefert die Behauptung. Wenn aber $p|a$ gilt, so ist naemlich [mm] $\zeta^{a}= \ldots$, [/mm] also [mm] $\summe_{x \not= 0} \zeta^{ax}= \summe_{x=1}^{p-1} \zeta^{ax}= \summe_{x=1}^{p-1} \ldots= [/mm] p-1$.
> Setzte nun [mm]\summe_{x=0}^{p-1} \zeta^{ax}=(\zeta^{a})^{p-1}+...+\zeta^{a}+1=0.[/mm]
> Damit ist dann:
> [mm]\tau^{2}=(\bruch{-1}{p})[/mm] (p-1) - [mm]\summe_{t \not= 0, p-1} (\frac{t}{p})[/mm]
> = [mm](\frac{-1}{p})[/mm] - [mm]\summe_{t \not= 0} (\frac{t}{p})=0[/mm]
>
> Diese letzte Umformung verstehe ich leider gar nicht. Ich
> sehe auch leider nicht wie ich damit die Aussage des Satzes
> bewiesen habe.
Weil oben die Summe ueber $x$ fehlt: [mm] $\summe_{t \not= 0}\summe_{x=1}^{p-1} (\frac{t}{p}) \zeta^{x(1+t)}= \summe_{t \not= 0}(\frac{t}{p}) \summe_{x=1}^{p-1} \zeta^{x(1+t)}$. [/mm] Wertest Du die Summe [mm] $\summe_{x=1}^{p-1} \zeta^{x(1+t)}$ [/mm] gemaess obiger Ueberlegung aus - $a= t+1$ - so erhaelst Du bestimmt das behauptete Ergebnis.
>
> Ich wäre über jede Erklärung zum Satz sehr dankbar.
>
> LG Schmetterfee
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Hallöchen
danke schön für die Erklärungen. Es ist leider alles nicht so einfach wenn man noch nicht mal davon ausgehen kann, dass alle benötigten Formulierungen richtig an der Tafel stehen. Aber vielen dank für die Hilfe.
LG Schmetterfee
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Hallöchen,
ich habe mir gerade den Beweis nochmal angeguckt und muss zugeben, dass ich ihn wohl doch noch nicht richtig verstanden habe.
> > Jetzt beachte: für a [mm]\in \IZ[/mm] ist:
> > [mm]\summe_{x \not= 0} \zeta^{ax}=\begin{cases} p-1, & \mbox{falls } p|a \\ -1, & \mbox{sonst, denn } p \mbox{ teilt nicht a} \Rightarrow \zeta^{1} \mbox{ist primitive p-te Einheitswurzel} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Diesen Ausdruck verstehe ich leider nicht. Wie kommt man
> > darauf das [mm]\zeta[/mm] die angegebenen Werte unter den
> gegebenen
> > Bedingungen annimmt?
> Das ist eine geometrische Reihe, wenn [mm]p\not| a[/mm]: [mm]\summe_{x \not= 0} \zeta^{ax}= \summe_{x=1}^{p-1} \zeta^{ax}= \ldots. =\frac{\zeta^{ap}-\zeta^{a}}{\zeta^{a}-1}[/mm];
> weitere Verinfachung liefert die Behauptung. Wenn aber [mm]p|a[/mm]
> gilt, so ist naemlich [mm]\zeta^{a}= \ldots[/mm], also [mm]\summe_{x \not= 0} \zeta^{ax}= \summe_{x=1}^{p-1} \zeta^{ax}= \summe_{x=1}^{p-1} \ldots= p-1[/mm].
>
Ich verstehe deinen Hinweis leider nicht. Auch durch Umformungen gelange ich nicht zum gewünschten Ziel. Kannst du mir da nochmal helfen?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Fr 03.02.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallöchen,
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> ich habe mir gerade den Beweis nochmal angeguckt und muss
> zugeben, dass ich ihn wohl doch noch nicht richtig
> verstanden habe.
>
> > > Jetzt beachte: für a [mm]\in \IZ[/mm] ist:
> > > [mm]\summe_{x \not= 0} \zeta^{ax}=\begin{cases} p-1, & \mbox{falls } p|a \\ -1, & \mbox{sonst, denn } p \mbox{ teilt nicht a} \Rightarrow \zeta^{1} \mbox{ist primitive p-te Einheitswurzel} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Diesen Ausdruck verstehe ich leider nicht. Wie kommt man
> > > darauf das [mm]\zeta[/mm] die angegebenen Werte unter den
> > gegebenen
> > > Bedingungen annimmt?
> > Das ist eine geometrische Reihe, wenn [mm]p\not| a[/mm]:
> [mm]\summe_{x \not= 0} \zeta^{ax}= \summe_{x=1}^{p-1} \zeta^{ax}= \ldots. =\frac{\zeta^{ap}-\zeta^{a}}{\zeta^{a}-1}[/mm];
Beachte fuer beide Faelle, dass [mm] $\zeta^{p}= [/mm] 1$. Damit folgt [mm] $\frac{\zeta^{ap}-\zeta^{a}}{\zeta^{a}-1}= \frac{1-\zeta^{a}}{\zeta^{a}-1}= [/mm] -1$ ...
> > weitere Verinfachung liefert die Behauptung. Wenn aber [mm]p|a[/mm]
> > gilt, so ist naemlich [mm]\zeta^{a}= \ldots[/mm], also [mm]\summe_{x \not= 0} \zeta^{ax}= \summe_{x=1}^{p-1} \zeta^{ax}= \summe_{x=1}^{p-1} \ldots= p-1[/mm].
>
... und [mm] $\summe_{x=1}^{p-1} \zeta^{ax}= \summe_{x=1}^{p-1} [/mm] 1= p-1
> >
> Ich verstehe deinen Hinweis leider nicht. Auch durch
> Umformungen gelange ich nicht zum gewünschten Ziel. Kannst
> du mir da nochmal helfen?
>
> LG Schmetterfee
Beantwortet das Deine Frage, oder habe ich etwas missverstanden?
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Hallöchen,
so jetzt hängt es aber immer noch am Ende des Beweises.
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> > Setze nun [mm]\summe_{x=0}^{p-1} \zeta^{ax}=(\zeta^{a})^{p-1}+...+\zeta^{a}+1=0.[/mm]
> > Damit ist dann:
> > [mm]\tau^{2}=(\bruch{-1}{p})[/mm] (p-1) - [mm]\summe_{t \not= 0, p-1} (\frac{t}{p})[/mm]
> > = [mm](\frac{-1}{p})p[/mm] - [mm]\summe_{t \not= 0} (\frac{t}{p})=0[/mm]
> >
Erstmal ist mir nicht klar warum ich diese Summe 0 setzen darf?
Dann bei den Umformungen verstehe ich ziemlich viele Sachen nicht. z.B. wo kommt gleich [mm] (\bruch{-1}{p}) [/mm] her? und warum darf bei der zweiten summe t nicht p-1 sein?
Außerdem verstehe ich auch das zweite Gleichheitszeichen nicht, wieso kann ich - [mm] (\bruch{-1}{p}) [/mm] einfach in die Summe ziehen so dass die Summe denn über alle t ungleich 0 läuft?
das ist mir irgendwie auch nicht ganz klar.
Kannst du mir da auch noch weiter helfen?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 So 05.02.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallöchen,
>
> so jetzt hängt es aber immer noch am Ende des Beweises.
> >
> > > Setze nun [mm]\summe_{x=0}^{p-1} \zeta^{ax}=(\zeta^{a})^{p-1}+...+\zeta^{a}+1=0.[/mm]
> > > Damit ist dann:
> > > [mm]\tau^{2}=(\bruch{-1}{p})[/mm] (p-1) - [mm]\summe_{t \not= 0, p-1} (\frac{t}{p})[/mm]
> > > = [mm](\frac{-1}{p})p[/mm] - [mm]\summe_{t \not= 0} (\frac{t}{p})=0[/mm]
>
> > >
> Erstmal ist mir nicht klar warum ich diese Summe 0 setzen
> darf?
Das ist zweifellos schlecht formuliert: Die Summe ist $=0$, was z.B. sich durch Anwendung der Formel fuer die geometrische Reihe ergibt.
> Dann bei den Umformungen verstehe ich ziemlich viele
> Sachen nicht. z.B. wo kommt gleich [mm](\bruch{-1}{p})[/mm] her? und
> warum darf bei der zweiten summe t nicht p-1 sein?
> Außerdem verstehe ich auch das zweite Gleichheitszeichen
> nicht, wieso kann ich - [mm](\bruch{-1}{p})[/mm] einfach in die
> Summe ziehen so dass die Summe denn über alle t ungleich 0
> läuft?
> das ist mir irgendwie auch nicht ganz klar.
> Kannst du mir da auch noch weiter helfen?
>
> LG Schmetterfee
Es waere nett gewesen, wenn Du den gesamten Beweis gepostet haettest. Nach Definition ist [mm] $\tau= \sum_{x\neq 0} (\frac{x}{p}) \zeta^{x}= \sum_{x=1}^{p-1} (\frac{x}{p}) \zeta^{x}$. [/mm] Also [mm] $\tau^{2}= \sum_{x=1}^{p-1} \sum_{y=1}^{p-1} (\frac{xy}{p}) \zeta^{x+y}$ [/mm] wie sich durch Ausmultiplizieren, Umsortieren und Anwendung der Multiplikativitaet des Legendre-Symbols ergibt.
Ihr habt jetzt $y= xt$ gesetzt, was Sinn ergibt, denn da [mm] $x\neq [/mm] 0$ gibt es zu jedem [mm] $y\neq [/mm] 0$ genau ein [mm] $t\neq [/mm] 0$,das diese Gleichung erfuellt. Die Summe nach Umindizierung schaut jetzt so aus:
[mm] $\tau^{2}= \sum_{x=1}^{p-1} \sum_{t=1}^{p-1} (\frac{x^{2}t}{p}) \zeta^{x(1+t)}= \sum_{x=1}^{p-1} \sum_{t=1}^{p-1} (\frac{t}{p}) \zeta^{x(1+t)}$, [/mm] wobei die letzte Gleichung aus [mm] $(\frac{x^{2}}{p})= [/mm] 1$ folgt. Jetzt wird umsortiert:
[mm] $\tau^{2}= \sum_{x=1}^{p-1} \sum_{t=1}^{p-1} (\frac{t}{p}) \zeta^{x(1+t)}= \sum_{t=1}^{p-1} (\frac{t}{p}) \sum_{x=1}^{p-1} \zeta^{x(1+t)}$. [/mm] Die letzte Summe ist eine geom. Reihe. Um die bekannte Formel anwenden zu koennen, muss [mm] $1+t\neq [/mm] 0$ sein, weshalb eine Fallunterscheidung in $t= p-1$ und $t<p-1$ notwendig ist:
[mm] $\tau^{2}= \sum_{t=1}^{p-1} (\frac{t}{p}) \sum_{x=1}^{p-1} \zeta^{x(1+t)}= \sum_{t=1}^{p-2} (\frac{t}{p}) \sum_{x=1}^{p-1} \zeta^{x(1+t)}+ (\frac{p-1}{p}) \sum_{x=1}^{p-1} \zeta^{xp}$.
[/mm]
Fuer den zweiten Teil der Summe beachte [mm] $(\frac{p-1}{p})= (\frac{-1}{p})$ [/mm] und [mm] $\zeta^{p}= [/mm] 1$, also [mm] $(\frac{p-1}{p}) \sum_{x=1}^{p-1} \zeta^{xp}= [/mm] (p-1) [mm] (\frac{-1}{p})$.
[/mm]
Auf den ersten Teil wende die Formel fuer die geom. Reihe an:
[mm] $\sum_{x=1}^{p-1} \zeta^{x(1+t)}= \frac{x^{p(1+t)}-x^{1+t}}{x^{1+t}-1}= [/mm] -1$.
Insgesamt:
[mm] $\tau^{2}= [/mm] - [mm] \sum_{t=1}^{p-2} (\frac{t}{p})+ [/mm] (p-1) [mm] (\frac{-1}{p})= [/mm] - [mm] \sum_{t=1}^{p-1} (\frac{t}{p})+ [/mm] p [mm] (\frac{-1}{p})$.
[/mm]
Weiter: [mm] $(\frac{t}{p})$ [/mm] nimmt nur die Werte [mm] $\pm [/mm] 1$ an und zwar bei durchlaufen der Werte von [mm] $t=1,\ldots, [/mm] p-1$ jeden der beiden gleich haeufig, also genau [mm] $\frac{p-1}{2}$ [/mm] mal - ich nehmem an, es ist $p>2$ ? - sodass der Wert der Summe $= 0$ wird.
Ich weiss jetzt gar nicht, ob das ueberhaupt Deine Frage war. Ist noch etwas unklar geblieben?
Gruesse,
hippias
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