Gaußsche Klammerfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mi 15.12.2004 | | Autor: | i-n |
Hallo, es dreht sich um folgende Aufgabe:
(Die Betragsstriche sollen Gaußsche Klammern sein, bei der Gelegenheit wäre es prima, wenn jemand wüsste, wie die mit TeX geschrieben werden, dann änder ich das hier auch gerne)
In welchen Punkten ist die Funktion [mm]\left|\cdot\right| : \IR\to\IZ, x\mapsto\left|x\right|[/mm] stetig, wobei für eine reele Zahl [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]\left|x\right|[/mm] der ganzzahlige Anteil von [mm]x[/mm] bezeichnet werde. Beachte, dass sich [mm]x[/mm] eindeutig zerlegen lässt in der Form [mm]x=\left|x\right|+r[/mm] mir [mm]r\in [0,1[[/mm]. In Punkten, in denen die Funktion [mm]\left|\cdot\right|[/mm] differenzierbar ist, bestimmen Sie die Ableitung.
Eigentlich ist das ganze ja nicht wirklich schwierig. Die Funktion ist für alle nicht ganzzahligen Werte stetig, in den ganzzahligen Werten selbst ist sie nicht stetig. So weit, so gut. Nun kommt allerdings die spannende Frage, wie man das mit dem [mm]\epsilon\delta[/mm]-Kriterium aufschreibt. Wäre schön, wenn mir da jemand helfen könnte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo, es dreht sich um folgende Aufgabe:
> (Die Betragsstriche sollen Gaußsche Klammern sein, bei der
> Gelegenheit wäre es prima, wenn jemand wüsste, wie die mit
> TeX geschrieben werden, dann änder ich das hier auch
> gerne)
Hm, ich kenne das so: $[x]$ (und werde das im Folgenden auch so benutzen, da ich $|.|$ für den Betrag brauche). Aber du meinst vermutlich/vielleicht eine andere Schreibweise?
> In welchen Punkten ist die Funktion [mm]\left|\cdot\right| : \IR\to\IZ, x\mapsto\left|x\right|[/mm]
> stetig, wobei für eine reele Zahl [mm]x\in\IR[/mm] mit
> [mm]\left|x\right|[/mm] der ganzzahlige Anteil von [mm]x[/mm] bezeichnet
> werde. Beachte, dass sich [mm]x[/mm] eindeutig zerlegen lässt in der
> Form [mm]x=\left|x\right|+r[/mm] mir [mm]r\in [0,1[[/mm]. In Punkten, in
> denen die Funktion [mm]\left|\cdot\right|[/mm] differenzierbar ist,
> bestimmen Sie die Ableitung.
>
> Eigentlich ist das ganze ja nicht wirklich schwierig. Die
> Funktion ist für alle nicht ganzzahligen Werte stetig, in
> den ganzzahligen Werten selbst ist sie nicht stetig. So
> weit, so gut. Nun kommt allerdings die spannende Frage, wie
> man das mit dem [mm]\epsilon\delta[/mm]-Kriterium aufschreibt. Wäre
> schön, wenn mir da jemand helfen könnte...
Nun gut:
Eigentlich ist auch das gar nicht so schwer. Ist [mm] $x_0 \in \IR \setminus \IZ$, [/mm] so definierst du dir (sogar unabhängig von dem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, was ich erst später erwähne) [mm] $\delta:=min\{\,|\,[x_0]-x_0|;\,|\,[x_0]+1-x_0|\,\}$. [/mm] (Überlege dir mal (vielleicht am Zahlenstrahl), was dieses [mm] $\delta=\delta_{x_0}$ [/mm] (d.h. das Delta steht in Abhängigkeit zu dem Punkt [mm] $x_0$) [/mm] eigentlich ist!). Dann gilt [m]\delta > 0[/m] (warum?) und du bekommst für alle $x$ mit [m]|x-x_0|<\delta[/m] heraus, dass [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für jedes [m]\varepsilon > 0[/m] gilt (warum?).
Wie sieht es nun für [mm] $x_1 \in \IZ$ [/mm] aus?. Für [mm] $x_1 \in \IZ$ [/mm] gilt doch:
Für jedes $0 < [mm] \delta [/mm] <1$ gilt:
[mm] $f\left(x_1-\frac{\delta}{2}\right)=[x_1]-1=x_1-1$. [/mm]
D.h., für jedes $0 < [mm] \delta [/mm] < 1$ existiert ein $y$ mit [mm] $|y-x_1|=\frac{\delta}{2}< \delta$ [/mm] (nämlich [mm] $y:=x_1-\frac{\delta}{2}$), [/mm] so dass [mm] $|f(y)-f(x_1)|=1 \ge \frac{1}{2}$.
[/mm]
Mit anderen Worten:
Zu (z.B.) [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2} [/mm] > 0$ gibt es kein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass [mm] $|f(x_1)-f(y)|<\frac{1}{2}=\varepsilon$ [/mm] für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|y-x_1|<\delta$ [/mm] gelten könnte.
Zu der Differenzierbarkeit:
Die Funktion ist diff'bar für alle $x [mm] \in \IR \setminus \IZ$ [/mm] und hat dort als Ableitung 0 (Beweis?). (Der Beweis ist ganz simpel, fast schon banal!)
Für $x [mm] \in \IZ$ [/mm] ist sie nicht diff'bar (andernfalls müßte sie dort auch stetig sein, da aus der Diff'barkeit die Stetigkeit folgt).
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Mi 15.12.2004 | | Autor: | i-n |
Erstmal vielen Dank,
ich werde mich morgen früh damit beschäftigen und versuchen durchzusteigen. Dank FriedrichLaher weiß ich nun auch, dass die [mm]\lfloor Gaussklammer\rfloor[/mm] \lfloor und \rfloor geschrieben wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Do 16.12.2004 | | Autor: | i-n |
Also, ich habe mir auch noch mal einen Kopf gemacht und habe folgende Lösung raus. Vielleicht kann mir jemand sagen, ob das so akzeptabel ist?!
Die Funktion des ganzzahligen Anteils
[mm]\lfloor\rfloor:\IR\to\IR[/mm]
[mm]x\mapsto \lfloor x\rfloor=max\{k\in\IZ;k\le x\}[/mm]
ist unstetig für alle [mm]k\in\IZ[/mm], stetig für alle [mm]k\in\IR-\IZ[/mm].
Beweis:
(a) Ich zeige, dass [mm]\lfloor\rfloor[/mm] an jeder Stelle [mm]k\in\IZ[/mm] unstetig ist. Dazu wähle ich die Folge [mm]\left(x_n\right)[/mm] mit [mm]x_n:=k-\bruch{1}{n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]. Dann gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=k[/mm], aber mit [mm]f:=\lfloor\rfloor[/mm] ist
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}f\left(k-\bruch{1}{n}\right)=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(k-1\right)=k-1\not=k=f\left(k\right)[/mm]
Die Bildfolge konvergiert also nicht gegen den Funktionswert [mm]f\left(k\right)[/mm].
(b) Ich zeige, dass [mm]f:=\lfloor\rfloor[/mm] an jeder Stelle [mm]a\in\IR-\IZ[/mm] stetig ist. Nach Definition von [mm]\lfloor\rfloor[/mm] gibt es genau eine ganze Zahl [mm]k[/mm] mit
[mm]k
Ist nun [mm]\left(x_n\right)[/mm] eine beliebige reelle Folge mit
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a[/mm].
Zu [mm]\delta:=min\{a-k,k+1-a\}>0[/mm] gibt es dann ein [mm]N=N\left(\delta\right)\in\IN[/mm], so dass [mm]|x_n-a|<\delta[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]n\ge N[/mm]gilt.
Nun gilt
[mm]|x_n-a|<\delta\gdw a-\delta
und hieraus folgt wegen der Wahl von [mm]\delta[/mm]
[mm]k
für alle [mm]n\ge N[/mm]. Dann gilt aber für alle [mm]n\ge N[/mm]
[mm]f\left(x_n\right)=\lfloor x_n\rfloor=k[/mm],
also gilt
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f\left(x_n\right)=k=f\left(a\right)[/mm].
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Do 16.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Also, ich habe mir auch noch mal einen Kopf gemacht und
> habe folgende Lösung raus. Vielleicht kann mir jemand
> sagen, ob das so akzeptabel ist?!
>
> Die Funktion des ganzzahligen Anteils
> [mm]\lfloor\rfloor:\IR\to\IR[/mm]
> [mm]x\mapsto \lfloor x\rfloor=max\{k\in\IZ;k \le x\}[/mm]
> ist
> unstetig für alle [mm]k\in\IZ[/mm], stetig für alle [mm]k\in\IR-\IZ[/mm].
Ich sehe gerade: Du meinst eher (damit die Bezeichnungen zusammenpassen):
unstetig für alle [mm]\red{x} \in\IZ[/mm], stetig für alle [mm]\red{x} \in\IR-\IZ[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beweis:
> (a) Ich zeige, dass [mm]\lfloor\rfloor[/mm] an jeder Stelle [mm]k\in\IZ[/mm]
> unstetig ist. Dazu wähle ich die Folge [mm]\left(x_n\right)[/mm] mit
> [mm]x_n:=k-\bruch{1}{n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]. Dann gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=k[/mm], aber mit
> [mm]f:=\lfloor\rfloor[/mm] ist
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}f\left(k-\bruch{1}{n}\right)=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(k-1\right)=k-1\not=k=f\left(k\right)[/mm]
> Die Bildfolge konvergiert also nicht gegen den
> Funktionswert [mm]f\left(k\right)[/mm].
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> (b) Ich zeige, dass [mm]f:=\lfloor\rfloor[/mm] an jeder Stelle
> [mm]a\in\IR-\IZ[/mm] stetig ist. Nach Definition von [mm]\lfloor\rfloor[/mm]
> gibt es genau eine ganze Zahl [mm]k[/mm] mit
> [mm]k
> Ist nun
> [mm]\left(x_n\right)[/mm] eine beliebige reelle Folge mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a[/mm].
> Zu [mm]\delta:=min\{a-k,k+1-a\}>0[/mm]
Das ist okay, aber eine Begründung, warum [mm] $\delta [/mm] > 0$ gilt, würde ich schon erwarten (auch, wenn es offensichtlich ist):
Begründung:
Wegen (siehe oben) $k < a < k+1$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[ $a-k > 0$ und $k+1-a>0$ ]
Also ist [mm] $\delta$ [/mm] als Minimum einer zweielementigen Menge echt positiver Zahlen wieder echt positiv. Aber okay, das sind Spitzfindigkeiten. 
> gibt es dann ein
> [mm]N=N\left(\delta\right)\in\IN[/mm], so dass [mm]|x_n-a|<\delta[/mm] für
> alle [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]n\ge N[/mm]gilt.
> Nun gilt
> [mm]|x_n-a|<\delta\gdw a-\delta
> und hieraus
> folgt wegen der Wahl von [mm]\delta[/mm]
> [mm]k
> für alle [mm]n\ge N[/mm]. Dann gilt aber für alle [mm]n\ge N[/mm]
>
> [mm]f\left(x_n\right)=\lfloor x_n\rfloor=k[/mm],
> also gilt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f\left(x_n\right)=k=f\left(a\right)[/mm].
Und noch der Schlußsatz:
Weil [mm]\left(x_n\right)[/mm] eine beliebige reelle Folge mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a[/mm] war, folgt die Behauptung.
Sieht doch alles sehr gut aus!
Viele Grüße,
Marcel
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