Gaußsche Fehlerintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | | Das Gaußsche Fehlerintegral [mm] I=\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx} [/mm] ist mit Integrationsmethoden einer reellen Variablen analytisch nicht berechenbar, aber kann mit der zweidimensionalen Integrationstechnik berechnet werden. Berechnen Sie das Integral. |
Hallo,
ich habe zwar einen Ansatz für die Aufgabe, aber nach dem Rechnen schaut er falsch aus. Ich schreib mal auf, was ich bisher gemacht habe:
Ich hab I nochmal mit y aufgeschrieben und hab dann [mm] I_x*I_y=I^2=A=\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}*\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-y^2}dy}. [/mm] So und jetzt weiß ich, dass man das Produkt zweier Funktionen auch als eine Funktion von zwei Veränderlichen darstellen kann, somit erhalte ich folgendes Bereichsintegral:
[mm] A=\integral_{B}\integral{e^{-(x^2+y^2)}dxdy}, [/mm] wobei B: [mm] -\infty
= [mm] \pi *\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-r^2}r dr}.
[/mm]
Nun hab ich substituiert [mm] u=r^2, [/mm] du=2rdr und bekomme [mm] A=\bruch{\pi}{2} *\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-u} du} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [-e^{-u}]_{-\infty}^{\infty}.
[/mm]
So und ab da ergibt das ganze keinen Sinn mehr, weil das Ergebnis dann [mm] -\infty [/mm] ist. Was hab ich falsch gemacht oder klappt der ganze Ansatz nicht?
Danke,
Zweiti
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Deine Integrationsgrenzen nach der Variablentransformation sind falsch. Da sich die Integration über die volle Ebene erstreckt, mußt du für den Winkel einen vollen Kreisumlauf nehmen, zum Beispiel [mm]\gamma \in [-\pi , \pi][/mm] (dein Bereich für [mm]\gamma[/mm] deckt nur die rechte Halbebene ab). Der Radius [mm]r[/mm] dagegen gibt den (positiven!) Abstand eines Punktes zum Ursprung an. Er muß über das Intervall [mm]r \in [0,\infty)[/mm] geführt werden.
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