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| Aufgabe | | [mm] [x_1]+...+[x_k]\le{[x_1+...+x_k]} [/mm] für alle [mm] x_i \in\IR [/mm] [] bezeichnet die Abrundungsfunktion |
Wie kann man diese Ungl. am elegantesten beweisen?
Ich kenne nur den folgenden Beweis, und möchte fragen ob der so in Ordnung ist.
Nach Def. gilt ja [mm] [x_i]\le{x_i}
[/mm]
=> [mm] [x_1]+...+[x_k]\le{[[x_1]+y_1...+[x_k]+y_k]}
[/mm]
Falls nun die Summe der [mm] y_i [/mm] <1 dann besteht Gleichheit [x]+[y]=[x+y]
Falls die Summe der [mm] y_i [/mm] >=1 dann steht in den Klammern
[mm] [[x_1]+...+[x_k]+1+R]\ge{[[x_1]+...+[x_k]]}>[x_1]+...+[x_k]
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Di 17.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm][x_1]+...+[x_k]\le{[x_1+...+x_k]}[/mm] für alle [mm]x_i \in\IR[/mm] []
> bezeichnet die Abrundungsfunktion
> Wie kann man diese Ungl. am elegantesten beweisen?
>
> Ich kenne nur den folgenden Beweis,
Du kennst ihn, oder Du hast ihn erstellt und willst wissen, ob er stimmt? Wenn Du ihn "kennst" (etwa aus einem Lehrbuch), dann sollte er auch stimmen...
> und möchte fragen ob
> der so in Ordnung ist.
Nein!
> Nach Def. gilt ja [mm][x_i]\le{x_i}[/mm]
Das ist klar!
> => [mm][x_1]+...+[x_k]\le{[[x_1]+y_1...+[x_k]+y_k]}[/mm]
Woher kommen denn hier die [mm] $y_i$ [/mm] und welche Bedingung erfüllen sie? Ohne dieses Wissen/Hinweis ist der Beweis einfach unvollständig.
> Falls nun die Summe der [mm]y_i[/mm] <1 dann besteht Gleichheit
> [x]+[y]=[x+y]
>
> Falls die Summe der [mm]y_i[/mm] >=1 dann steht in den Klammern
>
> [mm][[x_1]+...+[x_k]+1+R]\ge{[[x_1]+...+[x_k]]}>[x_1]+...+[x_k][/mm]
Schreibe es halt nochmal neu und richtig auf. Mir ist schon klar, was Deine Idee ist:
Jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] kann man schreiben als
$$x=[x]+y(x)$$
mit einem $0 [mm] \le [/mm] y(x) < [mm] 1\,.$ [/mm]
Und umgekehrt:
Gilt $x=n+r$ mit einem $n [mm] \in \IZ$ [/mm] und $0 [mm] \le [/mm] r < [mm] 1\,,$ [/mm] so folgt [mm] $n=[x]\,.$
[/mm]
Dürft Ihr dieses Wissen denn benutzen? Falls noch nicht: Dann sind diese beiden Behauptungen auch noch nachzuweisen (und mögen sie Dir auch noch so trivial erscheinen!)!
Und nun:
Schreib' das ganze damit halt mal ausfürhlich hin - schreibe das alles nochmal sauber auf. Dieser Ansatz ist hier sicher brauchbar, keine Frage, aber bei Dir oben könnten die [mm] $y_i$ [/mm] schon alles mögliche sein - es ist unklar, ob sie nur $0 [mm] \le y_i [/mm] < 1$ erfüllen sollen, oder was sonst für sie gelten sollte, und daher kann man den Beweis so alleine nicht stehen lassen! (Auch, wenn jmd., der sich auskennt, sich vll. dazudenken kann, was Du machen willst: Es MUSS aufgeschrieben werden, weil sonst wichtige Informationen fehlen!)
P.S.
Mit der Dezimaldarstellung einer reellen Zahl könnte man hier auch argumentieren (auch, wenn die Argumentation weniger schön wäre wie bei Dir oben).
Oder man benutzt, ähnlich wie bei Dir: Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $n [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt [mm] $[x]=n\,$ [/mm] genau dann, wenn $n [mm] \le [/mm] x < n+1$ ist. (Das wäre dann aber auch nachzurechnen!)
Hier gibt's halt mehrere Möglichkeiten, wie man den Beweis führen könnte...
Gruß,
Marcel
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Der Beweis entstammt von mir, habe ihn aus keinem Lehruch (sonst wäre er wohl wahrscheinlich viel genauer gewesen).
Nun, ich verwende also, dass sich jedes x darstellen lässt als x=[x]+(Differenz von x und [x]:=y), also x=[x]+y wobei [mm] 0\le{y}<1
[/mm]
=> [mm] [x_1]+...+[x_k]\le{[[x_1]+y_1+...+[x_k]+y_k]}. [/mm] Diese Ungleichung müsste nun verständlich sein, ist die Ausgangsungleichung, nur umgeschrieben.
Jetzt schaue ich mir [mm] \summe_{i=1}^{k}y_i [/mm] an. Wenn diese <1, so muss die Gleichheit gelten, also [mm] [x_1]+...+[x_k]=[[x_1]+y_1+...+[x_k]+y_k]
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{k}y_i \ge{1} [/mm] => [mm] [x_1]+...+[x_k]\le{[[x_1]+...+[x_k]+1+R]}
[/mm]
[mm] [[x_1]+...+[x_k]+1+R]\ge{[[x_1]+...+[x_k]]}\ge{[x_1]+...+[x_k]}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 19.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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