Gaußklammer < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Do 15.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Zeige [x+k] = [x] + k
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] und alle k [mm] \in \IZ [/mm] |
Für x [mm] \in \IR [/mm] sei [x]= [mm] max\{k\in \IZ| k \le x \}
[/mm]
[x] wird als gaußklammer von x bezeichnet
und es gilt
[x] [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] [x] + 1
[k] = k
Weil k die größte ganze Zahl [mm] \le [/mm] k ist
Die Aussage oben ist klar. Aber Wie soll ich den Beweis aufbauen?
[x+k]=[x]+[k]=[x]+k
Ja aber wieso gilt das erste Gleichheitszeichen ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Fr 16.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige [x+k] = [x] + k
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm] und alle k [mm]\in \IZ[/mm]
> Für x [mm]\in \IR[/mm] sei
> [x]= [mm]max\{k\in \IZ| k \le x \}[/mm]
> [x] wird als gaußklammer
> von x bezeichnet
> und es gilt
> [x] [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] [x] + 1
>
>
> [k] = k
> Weil k die größte ganze Zahl [mm]\le[/mm] k ist
>
> Die Aussage oben ist klar. Aber Wie soll ich den Beweis
> aufbauen?
> [x+k]=[x]+[k]=[x]+k
> Ja aber wieso gilt das erste Gleichheitszeichen ??
das kann nicht ohne weiteres gelten: [mm] $1=[1]\,,$ [/mm] aber [mm] $[0.5]+[0.5]=0+0=0\,.$
[/mm]
(Mir ist bewußt, dass natürlich nicht $0.5 [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt und das so nicht zu den Voraussetzungen passt. Nur, wenn man $k [mm] \in \IZ$ [/mm] hat, hast Du die Behauptung oben dann nur umformuliert, weil natürlich dann [mm] $[k]=k\,$ [/mm] ist.)
Mach' es anders, etwa so:
Man weiß doch, dass für $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dass [mm] $[x]\,$ [/mm] die einzige ganze Zahl $n:=[x] [mm] \in \IZ$ [/mm] ist mit der Eigenschaft $n [mm] \le [/mm] x < [mm] n+1\,,$ [/mm] d.h. auch, wenn $p [mm] \le [/mm] x < p+1$ mit einem $p [mm] \in \IZ\,,$ [/mm] dann kann nur $p=[x]$ sein. Damit folgt das sehr schnell.
Aber natürlich kannst Du auch über die Definition gehen:
Sei [mm] $n:=[x]\,.$ [/mm] Dann ist $n [mm] \in \IZ\,,$ [/mm] wegen $k [mm] \in \IZ$ [/mm] ist auch $(n+k) [mm] \in \IZ$ [/mm] und es wegen $n [mm] \le [/mm] x$ auch $n+k [mm] \le x+k\,.$ [/mm] Also ist [mm] $(n+k)\,$ [/mm] eine ganze Zahl, die [mm] $\le [/mm] x+k$ ist. Wenn $[x+k] [mm] \not=n+k\,,$ [/mm] so ist [mm] $[x+k]=n+k+p\,$ [/mm] mit einer natürlichen Zahl $p [mm] \ge 1\,.$ [/mm] Dann folgt $x+k [mm] \ge [/mm] n+k+p$ ... (Eine kurze Überlegung führt dann auf den Widerspruch, dass dann [mm] $p\,$ [/mm] negativ sein muss.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich hätte dazu noch eine Frage..
> Aber natürlich kannst Du auch über die Definition gehen:
> Sei $ [mm] n:=[x]\,. [/mm] $ Dann ist $ n [mm] \in \IZ\,, [/mm] $ wegen $ k [mm] \in \IZ [/mm] $ ist auch $ (n+k) [mm] \in \IZ [/mm] $ und es wegen $ n [mm] \le [/mm] x $ auch $ n+k [mm] \le x+k\,. [/mm] Also ist $ [mm] (n+k)\, [/mm] $ eine ganze Zahl, die $ [mm] \le [/mm] x+k $ ist.
Okay jetzt ist es klar, weil vorher war das mit Minus glaub ich nicht ganz richtig
> Wenn $ [x+k] [mm] \not=n+k\,, [/mm] $ so ist $ [mm] [x+k]=n+k+p\, [/mm] $ mit einer natürlichen Zahl $ p [mm] \ge 1\,. [/mm]
Ich verstehe nicht ganz warum p unbedingt [mm] \ge [/mm] 1 sein muss ?
> Dann folgt $ x+k [mm] \ge [/mm] n+k+p $ ... (Eine kurze Überlegung führt dann auf den Widerspruch, dass dann $ [mm] p\, [/mm] $ negativ sein muss.)
Warum nimmst du jetzt wieder x+k ohne die Gauußklammer?
x+k [mm] \ge [/mm] n+k+p [mm] \ge [/mm] n+ k
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:03 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich habs versucht anders aufzuschreiben:
[x+k]=[x]+k
[mm] A=\{ l \in \IZ:l \le x+k \} =\{ l \in \IZ:l-k \le x \} [/mm]
[mm] B=\{ l \in \IZ: l \le x\}
[/mm]
m=max(A), n=max(B)
ZuZeigen bleibt: m=n+k
1.ZZ: m [mm] \le [/mm] n+k
m [mm] \le [/mm] x+k => m-k [mm] \le [/mm] x
=> m-k [mm] \in [/mm] B
2.ZZ: m [mm] \ge [/mm] n+k
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Sa 17.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Hat sich erledigt, hab es mit meiner Methode geschafft
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Sa 17.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habs versucht anders aufzuschreiben:
> [x+k]=[x]+k
>
> [mm]A=\{ l \in \IZ:l \le x+k \} =\{ l \in \IZ:l-k \le x \}[/mm]
> [mm]B=\{ l \in \IZ: l \le x\}[/mm]
> m=max(A), n=max(B)
> ZuZeigen bleibt: m=n+k
>
> 1.ZZ: m [mm]\le[/mm] n+k
> m [mm]\le[/mm] x+k => m-k [mm]\le[/mm] x
> => m-k [mm]\in[/mm] B
>
> 2.ZZ: m [mm]\ge[/mm] n+k
mal nebenbei: Im Matheplanet unter "Gaußklammer" findet man genau Deinen Ansatz hier. Du solltest Crosspostings vermeiden, falls Du das dort auch warst. Oder hier auch verlinken. Mache Dich bitte mit den Forenregeln vertraut!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Sa 17.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Jap, das bin nicht ich, aber ich hab dort den Ansatz entdeckt . Ja beim nächsten mal,denke ich daran
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Sa 17.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Jap, das bin nicht ich, aber ich hab dort den Ansatz
> entdeckt .
dann ist es okay. Es ist nur sehr auffällig, weil da halt das gleiche steht.
> Ja beim nächsten mal,denke ich daran
Dazu besteht dann keine Verpflichtung - es wäre aber dennoch schön, da Du ja weißt, dass jmd. das gleiche woanders geschrieben hat, wenn Du es dann verlinken würdest.
Nix für Ungut - war halt nur enorm auffällig! 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Sa 17.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hätte dazu noch eine Frage..
> > Aber natürlich kannst Du auch über die Definition
> gehen:
> > Sei $ [mm]n:=[x]\,.[/mm] $ Dann ist $ n [mm]\in \IZ\,,[/mm] $ wegen $ k
> [mm]\in \IZ[/mm] $ ist auch $ (n+k) [mm]\in \IZ[/mm] $ und es wegen $ n [mm]\le[/mm] x
> $ auch $ n+k [mm]\le x+k\,.[/mm] Also ist $ [mm](n+k)\,[/mm] $ eine ganze
> Zahl, die $ [mm]\le[/mm] x+k $ ist.
> Okay jetzt ist es klar, weil vorher war das mit Minus
> glaub ich nicht ganz richtig
ja, das war erst in der Eile hingeschrieben, dann hab' ich's korrigiert. Da stand Anfangs irgendwie was falsches.
> > Wenn $ [x+k] [mm]\not=n+k\,,[/mm] $ so ist $ [mm][x+k]=n+k+p\,[/mm] $ mit
> einer natürlichen Zahl $ p [mm]\ge 1\,.[/mm]
> Ich verstehe nicht ganz warum p unbedingt [mm]\ge[/mm] 1 sein muss
> ?
Ich wollte einfach nicht ständig erwähnen, dass bei mir [mm] $\IN$ [/mm] "mit [mm] $1\,$ [/mm] beginnt".
> > Dann folgt [mm]x+k \ge n+k+p[/mm] ... (Eine kurze Überlegung
> führt dann auf den Widerspruch, dass dann [mm]p\,[/mm] negativ sein
> muss.)
> Warum nimmst du jetzt wieder x+k ohne die Gauußklammer?
>
> x+k [mm]\ge[/mm] n+k+p [mm]\ge[/mm] n+ k
Warum ich das nehmen?
Weil ich's gebrauchen kann!
Warum das gilt?
Weil stets $y [mm] \ge [/mm] [y]$ ist:
Oben war [mm] $[x+k]=n+k+p\,,$ [/mm] und für [mm] $y:=x+k\,$ [/mm] folgt dann
$$y=x+k [mm] \ge [y]=[x+k]=n+k+p\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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