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| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \forall x\in\mathbb R\exists!n\in \quad [/mm] Z : [mm] n\le [/mm] x [mm] \le [/mm] n+1
Wir setzen dann [mm] \left[x\right] [/mm] :=n. Wir nennen [mm] \left[x\right] [/mm] das größte Ganze von x. |
Ich suche einen kleinen Ansatz für die Beweisführung. Stehe gerade voll auf der Leitung. Danke schon im voraus.
Mfg,
Tsetsefliege
p.s.:Die zweite kleiner-gleich Relation sollte nur eine kleiner-als Relation sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Mi 28.04.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Abend,
der Hinweis ist der Schlüssel.
> Wir setzen dann [mm]\left[x\right][/mm] :=n. Wir nennen
> [mm]\left[x\right][/mm] das größte Ganze von x.
Schau mal:
[mm] $\left[x\right]$ [/mm] ist eine ganze Zahl höchstens gleich $x$,
[mm] $\left[x+1\right]$ [/mm] ist eine ganze Zahl echt größer als $x$.
Schönen Gruß
Karsten
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Ich hätte es mir folgendermaßen gedacht. Zuerst schaue ich mir die linke Seite an. Also n [mm] \le [/mm] x.
Das es so ein n und x gibt folgt aus der Vorraussetzung $ [mm] \forall x\in\mathbb R\exists!n\in \quad [/mm] Z $
Und das n kleiner als n+1 ist, ist auch logisch. Aber ich komme nicht darauf, wie man zeigt, dass auch noch das x zwischen den beiden Werten einen Platz hat.
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Hallo,
denk' an das archimedische Axiom:
zu je zwei reellen Zahlen $\ x,y > 0 $ existiert eine natürliche Zahl $\ n $ mit $\ nx > y $
Hilft dir das?
Grüße
ChopSuey
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Ich glaube ich bin jetzt dahinter gekommen.
Also ich muss das Archimedische Axiom erstmals beweisen. Das ist nicht so schwer.
[mm] \forall [/mm] y > x [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \mathbb [/mm] N: nx>y
Indirekt würde ich es wie folgt beweisen:
nx [mm] \le [/mm] y. Dann ist y die obere Schranke von (nx), und y0 das Supremum von nx. [mm] nx\le [/mm] y0-x < y0
y0-x muss ja auch eine Schranke sein und ist kleiner als y0. y0 ist aber die kleinste obere Schranke, also ist es ein Widerspruch.
Und jetzt schließen wir daraus den Beweis mit der Gaußklammer:
[mm] \forall x\in \mathbb R\exists n1,n2\in [/mm] N mit n1>x und -(n2)<x
=> [mm] \forall x\in \mathbb R\exists [/mm] ! [mm] n\in \mathbb [/mm] Z mit [mm] n\le [/mm] x<n+1
Wäre das nun so korrekt? Also kann man das einfach daraus schließen.
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Hallo,
das archimedische Axiom brauchst du nicht zu beweisen.
Das Ganze ist gerade eine Folgerung aus diesem Axiom.
Probier doch mal das, was dir Fred vorgeschlagen hat.
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Do 29.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
> [mm]\forall x\in\mathbb R\exists!n\in \quad[/mm] Z : [mm]n\le[/mm] x [mm]\le[/mm] n+1
Hier solte es wohl
[mm]\forall x\in\mathbb R\exists!n\in \quad[/mm] Z : [mm]n\le[/mm] x [mm]<[/mm] n+1
lauten
Ah, ich seh gerade, dass Du das unten geschrieben hast.
> Wir setzen dann [mm]\left[x\right][/mm] :=n. Wir nennen
> [mm]\left[x\right][/mm] das größte Ganze von x.
> Ich suche einen kleinen Ansatz für die Beweisführung.
> Stehe gerade voll auf der Leitung. Danke schon im voraus.
Sei x [mm] \in \IR [/mm] und [mm] $M_x:= \{k \in \IZ: k \le x \}$
[/mm]
Zeige: [mm] $M_x \ne \emptyset$
[/mm]
Setze dann [mm] $\left[x\right]:= supM_x$ [/mm] und zeige [mm] \left[x\right] \in \IZ
[/mm]
FRED
>
> Mfg,
> Tsetsefliege
>
> p.s.:Die zweite kleiner-gleich Relation sollte nur eine
> kleiner-als Relation sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:19 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tsetsefliege!
Könntest Du mal bitte Dein Profil überarbeiten. Das erschneint mir teilweise etwas widersprüchlich!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:29 Fr 30.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Tsetsefliege!
>
>
> Könntest Du mal bitte Dein Profil überarbeiten. Das
> erschneint mir teilweise etwas widersprüchlich!
Hallo Loddar,
wahrscheinlich hast Du recht.
Ich wollte nur mitteilen, dass so etwas vorkommt:
In meiner Vorlesung "Analysis II" habe ich momentan einen sogenannten "schülerstudenten", der in der 9. Klasse ist. Ein brillanter Bursche !
Gruß FRED
>
>
> Gruß
> Loddar
>
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