Gaussches Eliminationsverfahre < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Di 04.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich habe soeben folgendes Gleichungssystem mit Gausschen Eliminationsverfahren gelöst
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 3 } [/mm] *x = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
Nun ist die Frage ob es einen Vektor gibt z [mm] \in R^{4} [/mm] ,sodass Ax=z keine Lösung besitzt und ich soll meine Antwort wie immer begründen ;)
Also keine Lösung habe ich ja wenn Rang(A) < Rang (A,b) ist aber wie kann ich einen Vektor schnell finden ohne lang herumzurechnen zu müssen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 04.03.2014 | | Autor: | luis52 |
> Nun ist die Frage ob es einen Vektor gibt z [mm]\in R^{4}[/mm]
> ,sodass Ax=z keine Lösung besitzt und ich soll meine
> Antwort wie immer begründen ;)
>
> Also keine Lösung habe ich ja wenn Rang(A) < Rang (A,b)
> ist aber wie kann ich einen Vektor schnell finden ohne lang
> herumzurechnen zu müssen?
Du formulierst *ein* Kriterium. Ein weiteres besagt, dass gilt [mm] $\det [/mm] A=0$...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:38 Mi 05.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Okay ich habe det(A) mittels Unterdeterminaten berechnet und =0 .
Laut Wikepedia :Ist der Wert jedoch gleich Null, hängt die Lösbarkeit von den Werten der Nebendeterminanten ab. Bei diesen wird jeweils eine Spalte der Koeffizientenmatrix durch die Spalte der rechten Seite (den Vektor b) ersetzt. Nur wenn alle Nebendeterminanten den Wert Null haben, kann das System unendlich viele Lösungen haben, ansonsten ist das Gleichungssystem unlösbar.
Das mit den Ersetzen verstehe ich nicht? Könnt ihr mir das vorzeigen bitte!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mi 05.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Okay ich habe det(A) mittels Unterdeterminaten berechnet
> und =0 .
>
> Laut Wikepedia :Ist der Wert jedoch gleich Null, hängt die
> Lösbarkeit von den Werten der Nebendeterminanten ab. Bei
> diesen wird jeweils eine Spalte der Koeffizientenmatrix
> durch die Spalte der rechten Seite (den Vektor b) ersetzt.
> Nur wenn alle Nebendeterminanten den Wert Null haben, kann
> das System unendlich viele Lösungen haben, ansonsten ist
> das Gleichungssystem unlösbar.
>
> Das mit den Ersetzen verstehe ich nicht? Könnt ihr mir das
> vorzeigen bitte!
mach das doch so: nenne die obige Matrix mal A.
Dann ist die Abbildung f: [mm] \IR^4 \to \IR^4, [/mm] def. durch f(x)=Ax, linear.
Nach dem Rangsatz ist
4= [mm] dim(\IR^4)=dim(Kern(f))+dimBild(f).
[/mm]
Ist nun det(A)=0 (das hab ich nicht nachgerechnet !), so ist dim(Kern(f))>0, also
dim(Bild(f))<4.
Damit ex. ein z [mm] \in \IR^4 [/mm] mit z [mm] \notin [/mm] Bild(f).
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Mi 05.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Vielen Dank
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