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Also, unser Professor hat zur Einführung des Gauß'schen Integralsatz folgendes geschrieben:
Sei [mm] B\subset IR^2 [/mm] ein Normalbereich und parametrisiere den Rand [mm] \partial B[/mm] durch:
[mm] C_{1}:t\in[a,b]\mapsto(t,\alpha(t)) [/mm]
[mm] C_{2}:t\in[\alpha(b),\beta(b)]\mapsto(b,t) [/mm]
[mm] C_{3}:t\in[a,b]\mapsto(t,\beta(t)) [/mm]
[mm] C_{4}:t\in[\alpha(a),\beta(a)]\mapsto(a,t) [/mm]
Sei C der zusammengesetzte Weg aus [mm] C_{1},...,C_{4} [/mm].
Sei ferner [mm] F=(F_{1},F_{2}):B\to\IR^2 [/mm] ein stetiges Vektorfeld, so dass:
[mm] \bruch{\partialF_{1}}{\partialx} [/mm] und [mm]\bruch{\partialF_{2}}{\partialy}[/mm] stetig nach [mm]\partialB[/mm] fortsetzbar .
Es gilt:
[mm] \integral\integral_{B}{\bruch{\partialF_{2}}{\partialy}(x,y) dxdy}
= \integral_{a}^{b}{dx}\integral_{\alpha(x)}^{\beta(x)}{\bruch{\partialF_{2}}{\partialy}(x,y) dxdy} [/mm] (nach Fubini)
[mm]=\integral_{a}^{b}{F_{2}(x,\beta(x))-F_{2}(x,\alpha(x)) dx}
=\integral_{a}^{b}{F_{2}(x,\beta(x))-F_{2}(x,\alpha(x)) dx}
=\integral_{a}^{b}{F_{2}(t,\beta(t))-F_{2}(t,\alpha(t)) dt} [/mm]
Bis hierhin meine ich es verstanden zu haben, aber jetzt kommt etwas, dass ich einfach nicht verstehe:
[mm] =\integral_{a}^{d}{F_{2}(C(t))(-\mu'(t)) dt} \quad wobei \quad (\mu,\nu)=C:[a,d]\to \IR^2[/mm]
[mm]=\integral_{a}^{d}{F_{2}(C(t))(\bruch{-\mu'(t)}{\parallel C'(t) \parallel})\parallel C'(t) \parallel dt} [/mm]
[mm]=\integral_{\gamma}{F_{2}v_{y}ds} \quad wobei \quad v(v_{x},v_{y})=\bruch{1}{\parallel C'(t) \parallel}(\nu',-\mu') [/mm]
[mm]=\integral_{\partialB}{F_{2}v_{y} ds} [/mm]
Ab da ist der Rest dann wieder klar! Nur dieses Stück wirft mich voll aus der Bahn! Kann mir von euch da vielleicht jemand weiterhelfen?
Gruß
Deuterinomium
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Fr 14.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Also, unser Professor hat zur Einführung des Gauß'schen
> Integralsatz folgendes geschrieben:
>
> Sei [mm]B\subset IR^2[/mm] ein Normalbereich und parametrisiere den
> Rand [mm]\partial B[/mm] durch:
> [mm]C_{1}:t\in[a,b]\mapsto(t,\alpha(t))[/mm]
> [mm]C_{2}:t\in[\alpha(b),\beta(b)]\mapsto(b,t)[/mm]
> [mm]C_{3}:t\in[a,b]\mapsto(t,\beta(t))[/mm]
> [mm]C_{4}:t\in[\alpha(a),\beta(a)]\mapsto(a,t)[/mm]
> Sei C der zusammengesetzte Weg aus [mm]C_{1},...,C_{4} [/mm].
> Sei
> ferner [mm]F=(F_{1},F_{2}):B\to\IR^2[/mm] ein stetiges Vektorfeld,
> so dass:
> [mm]\bruch{\partialF_{1}}{\partialx}[/mm] und
> [mm]\bruch{\partialF_{2}}{\partialy}[/mm] stetig nach [mm]\partialB[/mm]
> fortsetzbar .
> Es gilt:
>
> [mm]\integral\integral_{B}{\bruch{\partialF_{2}}{\partialy}(x,y) dxdy}
= \integral_{a}^{b}{dx}\integral_{\alpha(x)}^{\beta(x)}{\bruch{\partialF_{2}}{\partialy}(x,y) dxdy}[/mm]
> (nach Fubini)
> [mm]=\integral_{a}^{b}{F_{2}(x,\beta(x))-F_{2}(x,\alpha(x)) dx}
=\integral_{a}^{b}{F_{2}(x,\beta(x))-F_{2}(x,\alpha(x)) dx}
=\integral_{a}^{b}{F_{2}(t,\beta(t))-F_{2}(t,\alpha(t)) dt}[/mm]
>
> Bis hierhin meine ich es verstanden zu haben, aber jetzt
> kommt etwas, dass ich einfach nicht verstehe:
> [mm]=\integral_{a}^{d}{F_{2}(C(t))(-\mu'(t)) dt} \quad wobei \quad (\mu,\nu)=C:[a,d]\to \IR^2[/mm]
Du musst dir den Weg genau ansehen: er besteht aus [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm], und dann [mm]C_3[/mm] und [mm]C_4[/mm], aber diese beiden in Gegenrichtung (wichtig wegen der Vorzeichen). Die genannte Parametrisierung [mm](\mu,\nu)=C:[a,d]\to \IR^2[/mm] zerfällt daher in 4 Teile, mit geeigneter Verschiebung des Parameters t auf den Einzelstücken:
[mm]C_1: t\in[a,b]\mapsto(t,\alpha(t))[/mm]
[mm]C_{2}:t\in[\alpha(b)+(b-\alpha(b)),\beta(b)+(b-\alpha(b))]\mapsto(b,t-(b-\alpha(b)))[/mm]
usw.
[mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] bezeichnen die x- und y-Koordinaten der Punkte auf C.
Bei [mm]C_2[/mm] und [mm]C_4[/mm] ist die x-Koordinate konstant, also ist entlang dieser beiden Teilstrecken [mm]\mu'=0[/mm].
Bei [mm]C_1[/mm] und [mm]C_3[/mm] ist die x-Koordinate gleich t (plus der passenden konstanten Verschiebung), also ist [mm]\mu'=1[/mm] bzw. [mm]\mu'=-1[/mm] (Gegenrichtung!).
Damit hast du gerade die beiden Terme aus dem Integral vorher.
Viele Grüße
Rainer
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Ja super! Jetzt hats klick gemacht, da hätte ich aber auch allein drauf kommen können!
Vielen Dank!!!!
Gruß
Deuterinomium
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