Gauß'sche Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Do 09.06.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man zeige:
a) [mm] $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i] \exists \gamma,\rho \in \mathbb{Z}[i]: \alpha [/mm] = [mm] \gamma\beta+\rho, N(\rho)
b) Zeige: Führt man für [mm] $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i]$ [/mm] fortwährend Division mit Rest durch (siehe Bsp. a) ), d.h. [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \gamma_0\beta+\rho_1, \beta [/mm] = [mm] \gamma_1\rho_1+\rho_2, \rho_1 [/mm] = [mm] \gamma_2\rho_2+\rho_3\ldots [/mm] $ mit [mm] $N(\beta)>N(\rho_1)>N(\rho_2)>\ldots$, [/mm] so bricht Verfahren ab. Ist dabei der letzte Rest von Null verschieden, so ist [mm] $(\rho_n) [/mm] $ ein größter gemeinsamer Teiler von [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta.$ [/mm] |
Zu a) Wir haben den Beweis gelernt für Division mit Rest und euklidischer Algorithmus im Reellen. Meine Idee ist nun, dass man den reellen Fall direkt auf den komplexen Fall übertragen kann. Ich habe dies aber schon versucht. Es klappt leider nicht.
Wie ich soll ich denn zeigen, dass z.B. bei a) die Normen diese strikte Ungleichheit erfüllen (analog zu den Resten im reellen Fall)?
Zu b) Ich meine, man braucht sich (zumindest für den reellen Fall) doch nur überlegen, dass die Ungleichheitskette irgendwann einmal abbricht und dass dies so ist, ist klar, denn jede Teilmenge natürlicher Zahlen hat ein Minimum, darum muss es einen kleinsten Rest [mm] $r_n$ [/mm] geben. Aber, wie kann ich dies auf das Komplexe übertragen? Ist dies nicht genau das gleiche?
Okay, ich müsste bezüglich des GRÖSSTEN gemeinsamen Teilers ja noch zeigen: [mm] $\rho_n|\alpha, \rho_n|\beta$ [/mm] und wenn [mm] $\delta|\alpha, \delta|\beta \Rightarrow \delta|\rho_n.$ [/mm] Nur, wie mache ich das im Komplexen??? Da bin ich etwas verwirrt und würde mich über Hilfe sehr freuen!
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vorneweg wenn du ein paar Suchbegriffe dafür brauchst: euklidischer Ring, gaußsche zahlen.
folgende Sachen musst du dir überlegen:
Wenn x,y Gaußzahlen sind, dann ja [mm] $x*y^{-1}=q_1+iq_2$ [/mm] mit [mm] $q_1,q_2\in \IQ$ [/mm] Jetzt gibt es zu jeder komplexen Zahl in einer [mm] $\sqrt{2}$-Umgebung [/mm] eine Gaußzahl. Also gibt es ja ganze Zahlen [mm] $n_1,n_2$ [/mm] mit [mm] $|q_1-n_1|<0.5\;$ [/mm] und [mm] $|q_2-n_2|<0.5\;$
[/mm]
Jetzt addierst du intelligen eine 0 dran
[mm] $q_1+iq_2=n_1+in_2 [/mm] + [mm] \ldots$
[/mm]
[mm] N((q_1-n_1)+(q_2-n_2)i)<1 [/mm] (WARUM?)
Bedenke die Norm ist ein Homomorphismus!
Dann ist [mm] $x=yq_1+iq_2y$. [/mm] Norm anwenden.
Kommst du weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Do 09.06.2011 | | Autor: | clemenum |
Hallo Wieshoo!
Ja, ich komme weiter, passt!
Danke für deine Hilfe! 
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