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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Mo 26.05.2008 | | Autor: | chrisch |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \vektor{2\\ 5\\ 3\\} \vektor{7\\ 8\\ -1\\} \vektor{5\\ 6\\ 1\\}
[/mm]
Hallo, ich soll anhand der oben genannten Vektoren auf lineare Unabhängigkeit untersuchen. Hab aber leider kA mehr wie das geht. =(
Wär jmd bereit und so nett mir das einmal ausführlich zu ziegen und mit Zwischenschritten zu erklären ??
Wär voll top.....=)
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Lineare Unabhängigkeit heißt anschaulich, dass sich keiner der Vektoren durch die beiden anderen, beliebig verlängert / verkürzt, darstellen lässt.
Es darf also keine Skalare [mm] \lambda_{1},\lambda_{2}\in \IK [/mm] geben, sodass
[mm]\lambda_{1}*v_{1} + \lambda_{2}*v_{2} = v_{3}[/mm],
denn dann hieße das ja gerade, dass sich der dritte Vektor durch die beiden anderen darstellen lässt; die drei Vektoren wären linear abhängig. Beispielsweise lässt sich der Vektor
[mm]\vektor{3\\5\\7}[/mm]
durch die anderen beiden so darstellen:
[mm]1*\vektor{1\\2\\3} + 1*\vektor{2\\3\\4} =\vektor{3\\5\\7}[/mm],
folglich sind die drei Vektoren
[mm] \vektor{1\\2\\3}, \vektor{2\\3\\4}, \vektor{3\\5\\7}
[/mm]
linear abhängig.
Übrigens gilt: Lässt sich ein Vektor durch die beiden anderen wie oben darstellen, so lassen sich auch die beiden anderen Vektoren durch die jeweils übrigen zwei darstellen:
[mm](-1)*\vektor{2\\3\\4} + 1*\vektor{3\\5\\7} = \vektor{1\\2\\3}[/mm]
[mm] (-1)*\vektor{1\\2\\3} + 1*\vektor{3\\5\\7} =\vektor{2\\3\\4}[/mm]
Lineare Unabhängigkeit der Vektoren überprüft man normalerweise mit folgender Gleichung: Aus
[mm]\lambda_{1}*v_{1} + \lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_{3} = o[/mm]
muss folgen:
[mm]\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 0[/mm],
dann sind die Vektoren [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] linear unabhängig.
Wenn du es dir genau ansiehst, bedeutet das im Grunde wieder nichts anderes als dass sich jeder der Vektoren gefälligst nicht als Linearkombination der anderen darstellen lässt. (also praktisch ähnlich der Darstellung ganz oben) Tut er es nämlich, gäbe es eine Kombination von [mm] \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}, [/mm] wo die nicht alle 0 sind.
Beispiel:
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\2\\3}, v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{2\\3\\4}, v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{3\\5\\7}.
[/mm]
Ein geübtes Auge sieht schon:
[mm] v_{1}+v_{2} [/mm] = [mm] v_{3}, [/mm] d.h. die Vektoren sind linear abhängig. Nun kann man auch sehen, dass dann die Bedingung für die Lineare Unabhängigkeit oben fehlschlägt, denn die Gleichung
[mm]\lambda_{1}v_{1} + \lambda_{2}v_{2} +\lambda_{3}v_{3} = 0[/mm]
[mm]\gdw \lambda_{1}\vektor{1\\2\\3} + \lambda_{2}\vektor{2\\3\\4} +\lambda_{3}\vektor{3\\5\\7} = 0[/mm]
impliziert nicht (daraus folgt nicht)
[mm]\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 0[/mm],
denn ich könnte auch [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1, [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1 und [mm] \lambda_{3} [/mm] = -1 wählen und trotzdem wäre die Gleichung erfüllt, d.h. wir haben auch rechnerisch nachgewiesen dass die Vektoren linear abhängig sind.
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Ende Vorrede
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Bei dir sieht man das nun nicht so offenbar, d.h. du musst zunächst die drei Vektoren in die obige Gleichung
[mm]\lambda_{1}*v_{1} + \lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_{3} = o[/mm]
einsetzen und musst dann folgern, dass nur
[mm]\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 0[/mm]
die Gleichung erfüllen, dann hast du gezeigt dass die drei Vektoren linear unabhängig sind. Falls du noch andere mögliche Lösungen für die drei Lambdas findest, sind die Vektoren linear abhängig.
Also: Vektoren einsetzen:
[mm]\lambda_{1}*\vektor{2\\5\\3} + \lambda_{2}*\vektor{7\\8\\-1}+\lambda_{3}*\vektor{5\\6\\1} = o[/mm]
Nun entsteht ein Lineares Gleichungssystem, denn die obersten Koeffizienten in den Vektoren müssen ja auf der linken und rechten Seite übereinstimmen, genauso die mittleren und die unteren. Es ergeben sich also folgende 3 Gleichungen:
[mm]2*\lambda_{1}+ 7*\lambda_{2}+5*\lambda_{3} = 0[/mm]
[mm]5*\lambda_{1} + 8*\lambda_{2}+6*\lambda_{3}=0[/mm]
[mm]3*\lambda_{1} + (-1)*\lambda_{2}+1*\lambda_{3}=0[/mm]
Das kannst du aber auch gleich in eine erweiterte Koeffizientenmatrix umschreiben:
[mm] \pmat{ 2 & 7 & 5 & | & 0\\ 5 & 8 & 6 & | & 0 \\ 3 & -1 & 1 & | & 0}
[/mm]
Du siehst schon: Im Grunde haben wir durch unsere Überlegungen bis jetzt nur die drei Vektoren nebeneinander in eine Matrix geschrieben 
Nun müssen wir die Matrix mit dem Gauß-Algorithmus auf Zeilenstufenform bringen (Ich vermute mal, der ist dir ein Begriff):
Man sollte bei den Umformungen immer das Ziel, also die Zeilenstufenform vor Augen haben, dann sind die Schritt ganz klar.
[mm] \pmat{ 2 & 7 & 5 & | & 0\\ 5 & 8 & 6 & | & 0 \\ 3 & -1 & 1 & | & 0}
[/mm]
Zum Beispiel die erste Zeile durch zwei rechnen:
[mm] \to\pmat{ 1 & \bruch{7}{2} & \bruch{5}{2} & | & 0\\ 5 & 8 & 6 & | & 0 \\ 3 & -1 & 1 & | & 0}
[/mm]
Nun die erste Zeile (-5)-mal auf die zweite Zeile addieren und die erste Zeile (-3)-mal auf die dritte Zeile addieren:
[mm] \to\pmat{ 1 & \bruch{7}{2} & \bruch{5}{2} & | & 0\\ 0 & -\bruch{19}{2} & -\bruch{13}{2} & | & 0 \\ 0 & -\bruch{23}{2} & -\bruch{13}{2} & | & 0}
[/mm]
Die weiteren Umformungen kannst du ja vornehmen, aber man sieht nun schon dass die Matrix vollen Rang hat, d.h. es wird bei der Zeilenstufenform keine Nullzeile entstehen. Das wiederum bedeutet, dass das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist und eine Lösung gibt es immer:
[mm]\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 0[/mm]
Und das ist damit auch die einzige. Die Vektoren sind also linear unabhängig, denn wir konnten zeigen dass aus der Gleichung
[mm]\lambda_{1}*v_{1} + \lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_{3} = o[/mm]
direkt folgt
[mm]\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 0[/mm].
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