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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Blume |
| Aufgabe | Die rechte Seite des Gleichungssystems hängt von r ab. Bestimmen sie die Lösung in Abhängigkeit von r.
2x1 (nicht Multiplikation!!! sondern INDEX) +x2+x3 =r
x2-x3= r+1
2x1+ 3x2 =r
neue Aufgabe:
3x1+ 2x2+x3 = 4r
2x1+ x2 = r+2
x1 -2x2+3x3 = 2r
neue Aufgabe:
Ein kleines Kreuzfahrtschiff hat doppelt so viele Passagiere wie Kabinen.Die Anzahl der Passagiere zusammen mit der Anzahl des Servicepersonals ist um 30 weniger als die dreifache Anzahl der Kabinen. Die Anzahl der Kabinen, der Passagiere und des Servicepersonals beträgt zusammen das 5-fache des Alters des Kapitäns. Die Anzahl der Kabinen und des Servicepersonals zusammen mit dem Alter des Kapitäns übertrifft die Anzahl der Passagiere um 20. Berechnen sie die Anzahl der Kabinen, der Passagiere, des Servicepersonals und das Alter des Kapitäns. |
Hallo,
Ich würde mich freuen, wenn sie meine ersten zwei Aufagben ausführlich nach dem Gauss-Verfahren und ohne die Matrixschreibweise rechnen würden,dabei ist es mir wichtig,dass immer die erste Parabel? mit x1 wegfällt.
Die Textaufgabe ist ebenso zu lösen.
Ich verstehe dass Gauss-Verfahren nicht,würde mich über eine ausführliche Erklärung freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:38 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Palin |
Hi Blume
Bei mir reicht ein überigenz ein Du.
Ich rechnen mal die Dritte Aufgabe als Beispiel, dann kannst du dich an den anderen mal versuchen ;).
Nun mal eben was was ist:
x1 = Passagiere
x2 = Kabinen
x3 = Servicepersonals
x4 = Alter des Kapitäns
Nun stell ich erst mal aus dem Text die Gleichungen auf und sortiere sie von x1 an (Wobei ich sie gegebenen falls umstelle).
2*x1 = x2 => 2*x1-x2 = 0
x1+x3 = 3*x2 -30=> x1-3*x2 +x3 = -30
x1+x2+x3=5*x4 => x1+x2+x3-5*x4 =0
x2+x3+x4 =x1+20 =>-x1+x2+x3+x4 =20
Nun da ich einwenig faul bin, und das Gaußverfahren sich leichter an einer Matrix erklären läst benutze ich gleich Matrizen, also mal eben kurz wie ich zu der Matrix komme.
Die einzelnen Gleichungen sind meine Zeilen, x1 bis x4 die Spalten und die Werte hinter dem Gleich mein "Ergenisvektor".
An den einzelnel stellen der Matrix wird nur der Multiplikator vor dem x geschrieben zB bei -x wird eine -1 an der entsprächenden Stelle geschrieben, wenn kein wert vorhanden ist wird eine 0 eingetragen.
Ich schreib einfach nochmal die Gleichungen mit entsprächenden Multiplikator hin, dann sieht man hofentlich wie die Matrix gebildet wird.
2*x1 -1*x2 +0*x3 +0*x4 = 0
1*x1 -3*x2 +1*x3 +0 x4 = -30
1*x1 +1*x2 +1*x3 -5*x4 =0
-1*x1 +1*x2 +1*x3 +1*x4 =20
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -5 \\ -1 & 1 & 1&1 } \vektor{0 \\ -30 \\ 0 \\ 20}
[/mm]
So nun kannst du die einzelnen Gauß "umformungen" auf die Matrix anwenden.
Also das vielfache einer Zeile zu der anderen addieren oder substituieren,
wobei x1 dann immer von x1 abgezogen wird usw. Man solte dabei natürlich nich die Werte hinter dem = vergessen ;)
Dann kannst du auch noch Zeilen vertauschen.
(Du kannst auch noch Spalten vertauschen, dann ändert sich aber die position des x-wertes, deshalb lassen wir das hier mal weg.)
Nun ich fang einfach mal mit dem Tauschen Zweier Zeilen an auch wenn es nicht unbeding nötig ist, aber man kann mal sehen wie es Funktioniert.
Also unsere Matrix lautet erstmal:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -5 \\ -1 & 1 & 1&1 } \vektor{0 \\ -30 \\ 0 \\ 20}
[/mm]
Nun vertausche ich die 1. und die 2. Zeile.
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -5 \\ -1 & 1 & 1&1 } \vektor{-30 \\ 0 \\ 0 \\ 20}
[/mm]
Wie man sieht stehen nun in der 1. Zeile die Werte aus der 2. und umgekert. die "Ergebnisse" wurden auch entsprechent vertauscht.
Nun will ich meine Matrix auf Stufenform bekommen dazu addiere (subtraire) ich das entsprächende einer Zeile von der anderen.
Ich benutze meist die 1. Zeile um die 1. Spalte der anderen Zeilen auf Null zubekommen.
Also nochmal unsere Matrix (nach dem Zeilentaussch)
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -5 \\ -1 & 1 & 1&1 } \vektor{-30 \\ 0 \\ 0 \\ 20}
[/mm]
Nun ziehe ich das 2 Fache der erten Zeile von der 2. ab
=>
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 2-2 & -1-(-6) & 0-1 & 0 -0\\ 1 & 1 & 1 & -5 \\ -1 & 1 & 1&1 } \vektor{-30 \\ 0-(-30) \\ 0 \\ 20}
[/mm]
=
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -5 \\ -1 & 1 & 1&1 } \vektor{-30 \\ 30 \\ 0 \\ 20}
[/mm]
So ums ein wenig schnell er zu machen ziehe ich jetzt mal die 1. Zeile von der 3. ab und addiere sie auf die 4.
=>
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -1 & 0 \\ 1-1 & 1-(-3) & 1-1 & -5-0 \\ -1+1 & 1+(-3) & 1+1&1+0 } \vektor{-30 \\ 30 \\ 0-(-30) \\ 20+(-30)}
[/mm]
=
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & -5 \\ 0 & -2 & 2 &1 } \vektor{-30 \\ 30 \\ 30 \\-10}
[/mm]
Jetzt tausche ich mal die 2. Zeile mit der 4.
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 0 & -5 \\ 0 & 5 & -1 &0 } \vektor{-30 \\ -10 \\ 30 \\-30}
[/mm]
Nun Teile ich die 2. Zeile durch -2
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -0,5 \\ 0 & 4 & 0 & -5 \\ 0 & 5 & -1 &0 } \vektor{-30 \\ 5 \\ 30 \\-30}
[/mm]
Nun ziehe ich daß 4 Fache der 2. von der 3 Zeile ab und das 5 Fache von der 2. von der 4.
=>
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -0,5 \\ 0 & 0 & 4& -3 \\ 0 & 0 & 4 & 2,5 } \vektor{-30 \\ 5 \\ 10 \\-50}
[/mm]
So nun ziehe ich die 3. von der 4 Zeile ab.
=>
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -0,5 \\ 0 & 0 & 4& -3 \\ 0 & 0 & 0 & 5,5 } \vektor{-30 \\ 5 \\ 10 \\-60}
[/mm]
Damit habe ich meine Matrix nun mit Gauß auf Stufenform gebracht.
als Gleichung geschrieben sieht es nun so aus:
x1- 3x2 +1x3 +0x4 = 30
x2 -1x3 -0,5x4 = 5
4x3 -3x4 =10
5,5x4 =-60
(So ich hoffe mal das kein Rechenfehler dabei ist, kann aber durchaus sein)
MFG Palin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Sa 23.09.2006 | | Autor: | jerry |
Hallo Palin,
es hat sich bei dir leider ein kleiner leichtsinnsfehler beim aufstellen der gleichungen eingeschlichen.
die erste gleichung müßte heißen:
[mm] x_1=2\cdot x_2
[/mm]
dein gauss verfahren stimmt natürlich =)
wobei beim vertauschen der 2. und 4. zeile auch noch ein fehler eingeschlichen hatte.
es müßte rauskommen:
[mm] x_1=140
[/mm]
[mm] x_2=70
[/mm]
[mm] x_3=40
[/mm]
[mm] x_4=30
[/mm]
gruß benni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Palin |
Mist ertappt ;)
Aber hatte mir schon gedacht daß irgendwo ein Fehler drin ist bei den Krummenwerten.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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Gauß-Algorithmus