Gauss - Verfahren+3 Unbekannte < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Löse das Gleichungssystem:
a - b + 2c = 4
2b + c = -1
-2a + b - 6c = -9 |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Ich soll folgendes Gleichungssystem lösen:
a - b + 2c = 4
2b + c = -1
-2a + b - 6c = -9
Mich verwirrt es total, dass es plötzlich drei Variabeln gibt.
Als erstes würde ich die Zeilen passender umschreiben:
2b + c = -1
a - b + 2c = 4 *2
-2a + b - 6c = -9
-----------------
2b + c = -1
b - 2c = -1
Und dann gerate ich schon ins Stocken. Wie komme ich an die dritte Zeile? Und wie muss ich dann weiter verfahren?
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hallo espritgirl!
> 2b + c = -1
> a - b + 2c = 4 *2
> -2a + b - 6c = -9
> -----------------
> 2b + c = -1
> b - 2c = -1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es muss [mm] $\red{-} [/mm] \ b-2c \ = \ -1$ lauten.
> Und dann gerate ich schon ins Stocken. Wie komme ich an die
> dritte Zeile? Und wie muss ich dann weiter verfahren?
Multipliziere nun die untere (richtige)Gleichung mit 2 und addiere sie zur oberen Gleichung. Damit hast Du dann b eliminiert und kannst c bestimmen.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Geben Sie eine Geradengleichung und eine Ebenengleichung an, so dass man bei der Berechnung des Durchstoßpunktes von g und E das Gleichungssystem aus a) erhält.
Dabei soll S (1/2/3) der Durchstoßpunkt sein. |
Hallo Zusammen ,
Bei dieser Aufgabe fehlt mir jegliche Idee. Ich weiß weder was ein Durchstoßpunkt ist, noch wie man an diese Aufgabe ran gehen soll.
Vielleicht kann jemand mit mir Schritt für Schritt die Lösungsstrategie entwickeln?!
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Di 30.09.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Sarah,
a - b + 2c = 4
2b + c = -1
-2a + b - 6c = -9
Ok die erste Hälfte rechne ich Dir vor.
a, b und c sind die Parameter der Ebenen- bzw. Geradengleichung.
Du kannst z. B. c als Parameter der Geradengleichung nehmen, d.h. die Koeffizienten con c sind die Komponenten des Richtungsvektors. Dann hat die Gleichung die Form
$ [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vec [/mm] p + c [mm] \vektor{2 \\ 1\\-6} [/mm] $
Jetzt weißt Du, das für die Lösung des Gleichungssystems c=1 ist. Außerdem ist S(1/2/3) der Schnittpunkt von Gerade und Ebene, liegt also auf der Geraden, und Du erhälst:
$ [mm] \vec [/mm] p + 1 [mm] \vektor{2 \\ 1\\-6} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\2\\3} [/mm] $
Jetzt kannst Du $ [mm] \vec [/mm] p $ leicht ausrechnen und Du erhälst die Geradengleichung
$ [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vektor{-1 \\ 1\\9} [/mm] + c [mm] \vektor{2 \\ 1\\-6} [/mm] $
Analog gehst Du bei der Ebenengleichung vor. Versuch's mal.
Gruß
Sigrid
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Hallo ,
Ich versuche es gerade, analog für die Ebenengleichung zu machen.
Ich habe den Vektor [mm] \vec{a} [/mm] aus den Koeffizienten abgelesen: [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
Dann habe ich den Vektor [mm] \vec{b} [/mm] aus den Koeffizienten abgelesen:
[mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Dann bin ich soweit gekommen:
[mm] E:\vec{x}= \vec{a}+\lambda\vektor{0 \\ 1 \\ -2}+\mu\vektor{2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Was ist aber mein Vektor [mm] \vektor{a}? [/mm] Kann ich dafür einfach [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] nehmen?
Wenn ich dann meinen [mm] \vektor{a} [/mm] habe, dann nehme ich [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] wieder als mein [mm] \vektor{x}. [/mm]
Dann rechne ich [mm] \vektor{a}-\vektor{1 \\ 2 \\ 3}. [/mm] Stimmt das?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Sarah,
> Hallo Smarty ,
>
>
> Wir haben unterschiedliche Vektoren, da du dich auf dieses
> GLS
> beziehst:
>
> > [mm]1*a+\red{(-1)}*b+2c=4[/mm]
> > [mm]0*a+\red{2}*b+c=-1[/mm]
> > [mm]-2*a+\red{1}*b-6c=-9[/mm]
>
> Ich habe mich aber auf das umgestellte GLS bezogen, da ich
> damit ja auch das Gauss-Verfahren gemacht habe. Was ist
> richtig? Kann man aus beiden GLS die Vektoren ablesen?
>
> Meine stammten aus
>
> [mm]0*a+\red{2}*b+c=-1[/mm]
> [mm]1*a+\red{(-1)}*b+2c=4[/mm]
> [mm]-2*a+\red{1}*b-6c=-9[/mm]
Du solltest aber schon das vorgegebene benutzen. Und da entspricht eben die erste Zeile der ersten Komponente.
Allerdings musst Du doch noch etwas umstellen. Denke dran, das bei der Schnittpunktsberechnung die Terme für die Geraden- und Ebenengleichung auf verschiedenen Seiten des Gleichheitszeichens stehen. Du setzt ja gleich. Also:
$ 2c = - a + b + 4 $
$ c = - 2b - 1 $
- 6c = 2a - b - 9 $
>
> > zu unserem Glück fehlt nur noch die Ebenengleichung und der
> > Lösungsvektor [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> >
> > [mm]\vec{x}=\vec{q}+a*\vektor{1 \\ 0 \\ -2}+b*\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
Hier stimmen die Vorzeichen nicht. (siehe oben)
>
> >
> >
> > Es sind aber schon [mm]\vec{x},a,b[/mm] bekannt. Die brauchst du nur
> > einsetzen und das Gleichungssystem lösen.
>
> Wie löse ich denn ein GLS, wenn ich noch einen Vektor
> [mm]\vec{q}[/mm] da stehen habe? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ...
>
> Da würde dann ja stehen:
>
> [mm]1=\vec{u}+a-b[/mm]
> [mm]2=\vec{u}+0+2b[/mm]
> [mm]3=\vec{u}-2a+b[/mm]
Das kann nicht sein. Du kannst zu Vektoren keine rellen Zahlen addieren.
Wenn Du den Stützvektor $ [mm] \vec [/mm] q = [mm] \vektor{q_1 \\ q_2\\ q_3 } [/mm] $ nennst, erhälst Du
$ 1 = [mm] q_1 [/mm] - a + b $
$ 2 = [mm] q_2 [/mm] + 0 [mm] \cdot [/mm] a - 2b $
$ 3 = [mm] q_3 [/mm] + 2a - b $
Außerdem hast Du ja die Lösung des GLS, dass zu diesem Schnittpunkt führt, nämlich a = 1 und b = -1
Damit erhälst Du
$ 1 = [mm] q_1 [/mm] - 1 - 1 $
$ 2 = [mm] q_2 [/mm] + 2 $
$ 3 = [mm] q_3 [/mm] + 2 + 1 $
Damit erhälst Du
$ [mm] \vec [/mm] q = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0 } [/mm] $
Also ist die Ebenengleichung:
[mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ 0 \\ 0 }+a*\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}+b*\vektor{1 \\ -2 \\ -1}[/mm]
Du siehst jetzt auch, dass Die Differenz der Stützvektoren von Ebene und Gerade den Vektor
$ [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ -9} [/mm] $
ergibt, was der rechten Seite des GLS entspricht.
Liebe Grüße
Sigrid
>
> Muss ich jetzt wieder das Gauss-Verfahren anwenden, um drei
> Komponente für [mm]\vec{u}[/mm] zu erhalten?
>
>
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
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Hallo Sigrid ,
Erst einmal möchte ich dir für deine Antwort danken. Ich hatte heute Mittag die Antwortzeit verfolgt und habe gesehen, dass du lange daran gearbeitet hast.
Ich habe eine Frage:
> > [mm]0*a+\red{2}*b+c=-1[/mm]
> > [mm]1*a+\red{(-1)}*b+2c=4[/mm]
> > [mm]-2*a+\red{1}*b-6c=-9[/mm]
>
> Du solltest aber schon das vorgegebene benutzen. Und da
> entspricht eben die erste Zeile der ersten Komponente.
>
> Allerdings musst Du doch noch etwas umstellen. Denke dran,
> das bei der Schnittpunktsberechnung die Terme für die
> Geraden- und Ebenengleichung auf verschiedenen Seiten des
> Gleichheitszeichens stehen. Du setzt ja gleich. Also:
>
> [mm]2c = - a + b + 4[/mm]
>
> [mm]c = - 2b - 1[/mm]
>
> - 6c = 2a - b - 9 $
Ich habe hier nicht verstanden, weshalb ich nach c umstellen muss. Weil a und b meine Parameter sind? Wären meine Parameter a und c, hätte ich dann nach b umstellen müssen?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Mi 01.10.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Sarah,
Hallo Sigrid,
>
> Ich habe eine Frage:
>
> > > [mm]0*a+\red{2}*b+c=-1[/mm]
> > > [mm]1*a+\red{(-1)}*b+2c=4[/mm]
> > > [mm]-2*a+\red{1}*b-6c=-9[/mm]
> >
> > Du solltest aber schon das vorgegebene benutzen. Und da
> > entspricht eben die erste Zeile der ersten Komponente.
> >
> > Allerdings musst Du doch noch etwas umstellen. Denke dran,
> > das bei der Schnittpunktsberechnung die Terme für die
> > Geraden- und Ebenengleichung auf verschiedenen Seiten des
> > Gleichheitszeichens stehen. Du setzt ja gleich. Also:
> >
> > [mm]2c = - a + b + 4[/mm]
> >
> > [mm]c = - 2b - 1[/mm]
> >
> > - 6c = 2a - b - 9 $
>
>
> Ich habe hier nicht verstanden, weshalb ich nach c
> umstellen muss. Weil a und b meine Parameter sind? Wären
> meine Parameter a und c, hätte ich dann nach b umstellen
> müssen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ja
@ Sigrid: den Einwand mit den Richtungsvektoren verstehe ich noch nicht. I.a.R. ist es doch egal in welche Richtung sie zeigen, solange sie kollinear sind. Ich hatte mit meiner Richtung zwar einen anderen Aufpunkt erhalten als du, aber der Schnittpunkt war derselbe.
Grüße
Smarty
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Do 02.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du eine Ebene
[mm] E:\vec{x}=\vec{e}+\red{a}+\vec{u}+\green{b}*\vec{v}
[/mm]
mit einer Geraden [mm] g:\vec{x}=\vec{f}+\blue{c}*\vec{w} [/mm] gleichsetzt, um den Schnittpunkt zu bekommen, ergibt sich:
[mm] \vec{e}+\red{a}+\vec{u}+\green{b}*\vec{v}=\vec{f}+\blue{c}*\vec{w}
[/mm]
[mm] \gdw \red{a}+\vec{u}+\green{b}*\vec{v}\blue{-c*\vec{w}}=\vec{f}-\vec{e}
[/mm]
Daher das - beim Parameter c der Geraden
(Du könntest natürlich auch die beiden Ebenenvektoren "rüberziehen", so dass diese dann mit negativen Vorzeichen auftauchen)
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 So 05.10.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo smarty,
>
> @ Sigrid: den Einwand mit den Richtungsvektoren verstehe
> ich noch nicht. I.a.R. ist es doch egal in welche Richtung
> sie zeigen, solange sie kollinear sind. Ich hatte mit
> meiner Richtung zwar einen anderen Aufpunkt erhalten als
> du, aber der Schnittpunkt war derselbe.
Du hast völlig recht, die Ebene ist dieselbe und damit natürlich auch der Schnittpunkt. Das Problem ist nur, dass die Schnittpunktsberechnung mit Deiner Ebenengleichung zu einem anderen Gleichungssystem führt als das vorgegebene.
Gruß
Sigrid
>
>
> Grüße
> Smarty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Di 07.10.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Sigrid,
> > @ Sigrid: den Einwand mit den Richtungsvektoren verstehe
> > ich noch nicht. I.a.R. ist es doch egal in welche Richtung
> > sie zeigen, solange sie kollinear sind. Ich hatte mit
> > meiner Richtung zwar einen anderen Aufpunkt erhalten als
> > du, aber der Schnittpunkt war derselbe.
>
> Du hast völlig recht, die Ebene ist dieselbe und damit
> natürlich auch der Schnittpunkt. Das Problem ist nur, dass
> die Schnittpunktsberechnung mit Deiner Ebenengleichung zu
> einem anderen Gleichungssystem führt als das vorgegebene.
>
> Gruß
> Sigrid
ja ok, alles klar, danke
Viele Grüße
Smarty
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Hallo Sigrid ,
> Du siehst jetzt auch, dass Die Differenz der Stützvektoren
> von Ebene und Gerade den Vektor
>
> [mm]\vektor{4 \\ -1 \\ -9}[/mm]
Gibt es einen Grund, weshalb man [mm] \vec{s_{E}} [/mm] - [mm] \vec{s_{g}} [/mm] rechnen muss? Weshalb nicht beispielsweise umgekehrt?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Sa 04.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das hat was mit der Sortierung zu tun.
Wenn du g=E setzt, erscheint links der Stützvektor der Geraden, und rechts der der Ebene.
Wenn du die Paramerterbaehafteten Vektoren (Spannvektoren der Ebene und Richtungsvektor der Geraden) auf die Linke Seite "Sortierst", und die Parameterfreien auf die Andere Seite, musst du Rechts [mm] \vec{s_{e}}-\vec{s_{g}} [/mm] rechnen.
Bei anderer Sortierung kann sich das aber ändern.
Marius
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
- bearbeitest du gerade noch eine andere Aufgabe?
