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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 So 18.04.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Sei R = {a+b [mm] \sqrt{5} [/mm] i mit a,b [mm] \in \IZ} [/mm] Teilmenge von [mm] \IC
[/mm]
Bestimmen Sie die Einheiten in R.
Zeigen Sie, dass die Elemente 2,3, 1+ [mm] \sqrt{5} [/mm] i, 1- [mm] \sqrt{5} [/mm] i alle irreduzibel sind, aber nicht prim in R sind.
Zeigen Sie weiterhin, dass I = ( 2, [mm] 1+\sqrt{5} [/mm] i ) ein echtes Ideal von R ist, jedoch kein Hauptideal.
Hinweis: Nutzen Sie N(a+b [mm] \sqrt{5} [/mm] i ) = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] 5b^{2} [/mm] also die Norm. Es gilt N(r*s) = N(r)*N(s)
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Hey Matheraumler,
Ich bräuchte mal bitte ein wenig Hilfe bei der Aufgabe, zum einen Kontrolle zum anderen fehlt ein bisschen. Wäre nett wenn mir kjemand bitte helfen könnte.
Zum ersten Teil der Aufgabe:
N(r*s) = N(r)N(s) = 1 [mm] \Rightarrow a^{2} [/mm] + [mm] 5b^{2} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] R*= {+1,-1,2+i,-2+i} ist die Menge der Einheiten
Zum zweiten Teil der Aufgabe:
2 = r*s mit r,s [mm] \in [/mm] R
4 = N(2) = N(r*s) = N(r)N(s)
Alle Möglichkeiten für N(r) = {1,2,4}, nun soll 2 irreduzibel sein, d.h. es existiert keine echte Zerlegung d.h. N(r) [mm] \not= [/mm] 2
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] 5b^{2} [/mm] besitzt keine Lösung in [mm] \IZ [/mm] eine Lösung wäre bspw: [mm] \sqrt{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 ist irreduzibel
3 = r*s mit r,s [mm] \in [/mm] R
9 = N(3) = N(r*s) = N(r)N(s)
Alle Möglichkeiten für N(r) = {1,3,9}, nun soll 3 irreduzibel sein, d.h. es existiert keine echte Zerlegung d.h. N(r) [mm] \not= [/mm] 3
[mm] \Rightarrow [/mm] 3 = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] 5b^{2} [/mm] besitzt keine Lösung in [mm] \IZ [/mm] eine Lösung wäre bspw: [mm] \sqrt{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 3 ist irreduzibel
1+ [mm] \sqrt{5} [/mm] i = r*s mit r,s [mm] \in [/mm] R
6 = N(1+ [mm] \sqrt{5} [/mm] i) = N(r*s) = N(r)N(s)
Alle Möglichkeiten für N(r) = {1, 2, 3, 6}, nun soll 1+ [mm] \sqrt{5} [/mm] i irreduzibel sein, d.h. es existiert keine echte Zerlegung d.h. N(r) [mm] \not= [/mm] 2 oder N(r) [mm] \not= [/mm] 3
[mm] \Rightarrow [/mm] dies wurde bei den Beispielen zuvor schon gezeigt
[mm] \Rightarrow [/mm] 1+ [mm] \sqrt{5} [/mm] i ist irreduzibel
1- [mm] \sqrt{5} [/mm] i = r*s mit r,s [mm] \in [/mm] R
6 = N(1- [mm] \sqrt{5} [/mm] i) = N(r*s) = N(r)N(s) [mm] \Rightarrow [/mm] verhält sich genauso wie 1+ [mm] \sqrt{5} [/mm] i
[mm] \Rightarrow [/mm] 1- [mm] \sqrt{5} [/mm] i ist irreduzibel
Nun soll ich zeigen, dass diese Elemente nicht prim sind, d.h.
Ein Element heißt Primelement p ( [mm] \not= [/mm] 0 ) [mm] \in [/mm] R genau dann, wenn pR ein Primideal P ist, dabei ist es ein Primideal, wenn gilt: ab [mm] \in [/mm] P [mm] \Rightarrow a\in [/mm] P oder [mm] b\in [/mm] P
Wie zeige ich das? Wäre nett, wenn mir das jemand bitte an der zwei mal zeigen könnte?
Nun zum letzten Teil dieser Aufgabe:
I = ( 2, [mm] 1+\sqrt{5} [/mm] i )
2 [mm] \in [/mm] I und (a+b [mm] \sqrt{5} [/mm] i ) [mm] \in [/mm] R
z.Z. Ist 2 * (a+b [mm] \sqrt{5} [/mm] i ) ebenfalls in I?
2 * (a+b [mm] \sqrt{5} [/mm] i ) = (2*a+ 2*b [mm] \sqrt{5} [/mm] i )
[mm] \in \IZ \in \IZ
[/mm]
liegt definitv in R aber wie sehe ich, dass das in I liegt, da ein Ideal abgeschlossen gegenüber multiplikation ist sehe ich das jetzt schon?
Ebenso bei
[mm] 1+\sqrt{5} [/mm] i * (a+b [mm] \sqrt{5} [/mm] i ) = (a-5b) + (a+b) [mm] \sqrt{5} [/mm] i
[mm] \in \IZ \in \IZ
[/mm]
Hier genau das gleiche Spiel oder nicht?
Dem Hauptideal widerspricht das ganze doch schon, da I nicht nur von einem Element erzeugt wird oder nicht? Weiß irgendwie nicht wie ich das sonst begründen soll?
Vielen Dank für die viele Geduld, die mir entgegengebracht wird und vor allem für die Antworten.
Gruß
Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 So 18.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Zum ersten Teil der Aufgabe:
> N(r*s) = N(r)N(s) = 1 [mm]\Rightarrow a^{2}[/mm] + [mm]5b^{2}[/mm] = 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] R*= {+1,-1,2+i,-2+i} ist die Menge der
> Einheiten
Falsch - die letzten beiden Elemente sind gar nicht im Ring ... Da fehlt die Argumentation, warum das (alle) Einheiten sind. Begründest du r ist Einheit gdw. [m]N(r)=1[/m]?
> Zum zweiten Teil der Aufgabe:
> 2 = r*s mit r,s [mm]\in[/mm] R
> 4 = N(2) = N(r*s) = N(r)N(s)
> Alle Möglichkeiten für N(r) = {1,2,4},
4 ist offenbar falsch, denn [m]N(4)=16[/m], du verschweigst, wie du auf die Möglichkeiten kommst.
> irreduzibel sein, d.h. es existiert keine echte Zerlegung
> d.h. N(r) [mm]\not=[/mm] 2
Was soll das sein?
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2 = [mm]a^{2}[/mm] + [mm]5b^{2}[/mm] besitzt keine Lösung in
> [mm]\IZ[/mm]
Wieso? Was machst du? Zeige, dass es kein Element r gibt mit [m]N(r)=2[/m]
> eine Lösung wäre bspw: [mm]\sqrt{2}[/mm]
Interssiert hier überhaupt nicht, btw.
> 3 = r*s mit r,s [mm]\in[/mm] R
> 9 = N(3) = N(r*s) = N(r)N(s)
> Alle Möglichkeiten für N(r) = {1,3,9}, nun soll 3
Gleiche Probleme wie bei 2.
> 1+ [mm]\sqrt{5}[/mm] i = r*s mit r,s [mm]\in[/mm] R
> 6 = N(1+ [mm]\sqrt{5}[/mm] i) = N(r*s) = N(r)N(s)
Gleiche Probleme wie bei 2. Und für das nächste auch.
> Nun soll ich zeigen, dass diese Elemente nicht prim sind,
> d.h.
> Ein Element heißt Primelement p ( [mm]\not=[/mm] 0 ) [mm]\in[/mm] R genau
> dann, wenn pR ein Primideal P ist, dabei ist es ein
> Primideal, wenn gilt: ab [mm]\in[/mm] P [mm]\Rightarrow a\in[/mm] P oder [mm]b\in[/mm]
> P
hatte ihr noch andere Charaktisierungen? zB p ist prim, wenn aus [m]p|a*b[/m], [m]p|a[/m] oder [m]p|b[/m] folgt.
> Wie zeige ich das? Wäre nett, wenn mir das jemand bitte
> an der zwei mal zeigen könnte?
Die 4 Zahlen sind ein großer Hinweis, [m]2*3=6=(1-i*\sqrt{5})*(1+i*\sqrt{5})[/m]. Und jetzt du!
> Nun zum letzten Teil dieser Aufgabe:
> I = ( 2, [mm]1+\sqrt{5}[/mm] i )
> 2 [mm]\in[/mm] I und (a+b [mm]\sqrt{5}[/mm] i ) [mm]\in[/mm] R
> z.Z. Ist 2 * (a+b [mm]\sqrt{5}[/mm] i ) ebenfalls in I?
Das ist nicht zu zeigen, da dies aus der Eigenschaft Ideal folgt. Du hast das von 2 Elementen erzeugte Ideal - wie sieht so eines aus?
> Dem Hauptideal widerspricht das ganze doch schon, da I
> nicht nur von einem Element erzeugt wird oder nicht?
Aha. Wieso? Nur weil du keins findest, heisst es nicht, dass es nicht so ist.
> Weiß
> irgendwie nicht wie ich das sonst begründen soll?
Naja, wenn es einen Erzeuger r gibt, muss [m]N(r)|N(2)[/m] und [m]N(r)|N(1+i*\sqrt{5})[/m] gelten. Daraus folgt, dass [m]\pm 1[/m] im Ideal ist. Das musst du ausschließen, dann bist du fertig. (Für das letztere habe ich keinen guten Tip außer ein allg. Element des Ideals hinschreiben und dann werkeln).
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:10 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Ultio |
> > Zum ersten Teil der Aufgabe:
> > N(r*s) = N(r)N(s) = 1 [mm]\Rightarrow a^{2}[/mm] + [mm]5b^{2}[/mm] = 1
> > [mm]\Rightarrow[/mm] R*= {+1,-1} ist die Menge der
> > Einheiten
>
> Falsch - die letzten beiden Elemente sind gar nicht im Ring
> ... Da fehlt die Argumentation, warum das (alle) Einheiten
> sind. Begründest du r ist Einheit gdw. [m]N(r)=1[/m]?
hatte mich verschrieben ich meinte natürlich mit R*= {+1,-1, }
>
> > Zum zweiten Teil der Aufgabe:
> > 2 = r*s mit r,s [mm]\in[/mm] R
> > 4 = N(2) = N(r*s) = N(r)N(s)
> > Alle Möglichkeiten für N(r) = {1,2,4},
>
> 4 ist offenbar falsch, denn [m]N(4)=16[/m], du verschweigst, wie
> du auf die Möglichkeiten kommst.
>
> > irreduzibel sein, d.h. es existiert keine echte Zerlegung
> > d.h. N(r) [mm]\not=[/mm] 2
>
> Was soll das sein?
>
> > [mm]\Rightarrow[/mm] 2 = [mm]a^{2}[/mm] + [mm]5b^{2}[/mm] besitzt keine Lösung in
> > [mm]\IZ[/mm]
>
> Wieso? Was machst du? Zeige, dass es kein Element r gibt
> mit [m]N(r)=2[/m]
dies muss man im gesamten betrachten, ich schaue nicht auf N(4) sondern auf N(r) = 4 und dann gilt 4 = 1*4= 4*1 = 2 * 2
da a unb b aus den ganzen Zahlen.
Existiert also eine echte Zerlegung in 2*2 so ist keine der beiden Faktoren eine Einheit und damit wäre 2 reduzibel. kein r hat zwei als Norm.
Da dies aber nicht ist, ist es irreduzibel.
Und so gehe ich auch die ganze zeit
Das war doch richtig? Kann mit einer bitte sagen was daran falsch ist?
Danke
> Interssiert hier überhaupt nicht, btw.
>
> > 3 = r*s mit r,s [mm]\in[/mm] R
> > 9 = N(3) = N(r*s) = N(r)N(s)
> > Alle Möglichkeiten für N(r) = {1,3,9}, nun soll 3
>
> Gleiche Probleme wie bei 2.
>
> > 1+ [mm]\sqrt{5}[/mm] i = r*s mit r,s [mm]\in[/mm] R
> > 6 = N(1+ [mm]\sqrt{5}[/mm] i) = N(r*s) = N(r)N(s)
>
> Gleiche Probleme wie bei 2. Und für das nächste auch.
>
> > Nun soll ich zeigen, dass diese Elemente nicht prim sind,
> > d.h.
> > Ein Element heißt Primelement p ( [mm]\not=[/mm] 0 ) [mm]\in[/mm] R
> genau
> > dann, wenn pR ein Primideal P ist, dabei ist es ein
> > Primideal, wenn gilt: ab [mm]\in[/mm] P [mm]\Rightarrow a\in[/mm] P oder [mm]b\in[/mm]
> > P
>
> hatte ihr noch andere Charaktisierungen? zB p ist prim,
> wenn aus [m]p|a*b[/m], [m]p|a[/m] oder [m]p|b[/m] folgt.
Stimmt das hatten wir auch kurz angesprochen... ok mache ich heute noch.
>
> > Wie zeige ich das? Wäre nett, wenn mir das jemand bitte
> > an der zwei mal zeigen könnte?
>
> Die 4 Zahlen sind ein großer Hinweis,
> [m]2*3=6=(1-i*\sqrt{5})*(1+i*\sqrt{5})[/m]. Und jetzt du!
also ganz grob ersteinmal:
6 soll also entweder [mm] 1-i*\sqrt{5} [/mm] oder [mm] 1+i*\sqrt{5} [/mm] teilen, dies ist aber gewiss nicht mehr ganzzahlig danach, also keine Primelement...
>
> > Nun zum letzten Teil dieser Aufgabe:
> > I = ( 2, [mm]1+\sqrt{5}[/mm] i )
> > 2 [mm]\in[/mm] I und (a+b [mm]\sqrt{5}[/mm] i ) [mm]\in[/mm] R
> > z.Z. Ist 2 * (a+b [mm]\sqrt{5}[/mm] i ) ebenfalls in I?
>
> Das ist nicht zu zeigen, da dies aus der Eigenschaft Ideal
> folgt. Du hast das von 2 Elementen erzeugte Ideal - wie
> sieht so eines aus?
>
> > Dem Hauptideal widerspricht das ganze doch schon, da I
> > nicht nur von einem Element erzeugt wird oder nicht?
>
> Aha. Wieso? Nur weil du keins findest, heisst es nicht,
> dass es nicht so ist.
>
> > Weiß
> > irgendwie nicht wie ich das sonst begründen soll?
>
> Naja, wenn es einen Erzeuger r gibt, muss [m]N(r)|N(2)[/m] und
> [m]N(r)|N(1+i*\sqrt{5})[/m] gelten. Daraus folgt, dass [m]\pm 1[/m] im
> Ideal ist. Das musst du ausschließen, dann bist du fertig.
> (Für das letztere habe ich keinen guten Tip außer ein
> allg. Element des Ideals hinschreiben und dann werkeln).
>
> SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Mo 19.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> hatte mich verschrieben ich meinte natürlich mit R*=
> {+1,-1, }
Es fehlen halt noch schlüssige Argumente - muss ja kein Roman sein ...
> > Wieso? Was machst du? Zeige, dass es kein Element r gibt
> > mit [m]N(r)=2[/m]
>
> dies muss man im gesamten betrachten, ich schaue nicht auf
> N(4) sondern auf N(r) = 4 und dann gilt 4 = 1*4= 4*1 = 2 *
> 2
Ah stimmt, mein Fehler.
> da a unb b aus den ganzen Zahlen.
> Existiert also eine echte Zerlegung in 2*2 so ist keine
> der beiden Faktoren eine Einheit und damit wäre 2
> reduzibel.
Fehlt noch, dass es keine Zerlegung in Norm 1, 4 gibt beiden Teilen irreduzibel - bzw. mach dir das klar!
> kein r hat zwei als Norm.
Beweis?
> Das war doch richtig? Kann mit einer bitte sagen was daran
> falsch ist?
Imo ist sehr verwirrend aufgeschrieben.
> also ganz grob ersteinmal:
> 6 soll also entweder [mm]1-i*\sqrt{5}[/mm] oder [mm]1+i*\sqrt{5}[/mm]
> teilen, dies ist aber gewiss nicht mehr ganzzahlig danach,
> also keine Primelement...
6 ist auch nicht irreduzibel - soll heißen: das war's mal gar nicht. Jedes prime Element ist irreduzibel ... puh, wenn du da nicht gerade von 4en gezeigt hättest, dass sie es sind... (die Argumentation mit "ist nicht mehr ganzzahlig" finde ich im Übrigen schön - das müsstest du ja erstmal zeigen)
SEcki
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