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Hallo. Habe ne Frage zu dem Gauss-Seidel-Verfahren.
Ich habe eine 5x5 Matrix gegeben. Ich soll zeigen, dass das Gauss-Seidel-Verfahren in diesem Fall konvergiert. Wie mache ich das?
Die Matrix ist:
3 0 -3 0 0
2 8 2 0 0
0 2 8 2 0
0 0 2 8 2
0 0 -3 0 3
Wie beweise ich das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo Desperados,
Konvergenzkriterien raussuchen und anhand dieser deine Matrix überprüfen. Welche kennst Du denn?
gruß
mathemaduenn
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Hallo
Was ich weiß ist, dass
1: Ist die Matrix symmetrisch und positiv definit, so konvergiert sie (beim Gauss-Seidel-Verfahren)
2: Sind ihre Eigenwerte betragsmäßig kleiner 1, so konvergiert sie auch.
Zu 1: Die Matrix ist nicht symmetrisch!
Zu 2: Es ist nicht gerade leicht, die Eigenwerte einer 5x5 Matrix zu finden...
Da muss es einen leichteren Weg geben!
Irgend ein iteratives Verfahren wurde angesprochen, aber genaueres wurde nicht gesagt.
Aber die Iterationsmatrix haben wir auch, nur weiß nicht, was ich damit anfangen soll...
Sie lautet:
G= M-1 * N
Bei Gauss-Seidel: G= -(L+D)-1 *(R)
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Hallo Desperados,
Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme kann man folgendermaßen beschreiben:
[mm] x^{k+1}=Mx^k+c
[/mm]
Konvergenz tritt ein wenn der Spektralradius der Matrix M also
[mm] \wurzel{ \lambda_{max} (M^T M) } [/mm] ( [mm] \lambda_{max} [/mm] ist der größte Eigenwert) kleiner 1 ist.
Für das Gauss Seidel Verfahren sieht das nun so aus:
Gleichungssystem : Ax=b
[mm] x^{k+1}=(L+D)^{-1}Rx^k [/mm] + [mm] (L+D)^{-1}b
[/mm]
Wobei L,D,R eine Zerlegung der Matrix A in linke untere Dreiecksmatrix, Diagonalmatrix und rechte obere Dreiecksmatrix ist.
So jetzt habe ich das was Du zuletzt geschrieben hast zuerst beantwortet.
> 1: Ist die Matrix symmetrisch und positiv definit, so
> konvergiert sie (beim Gauss-Seidel-Verfahren)
Diagonaldominanz ist mir noch eingefallen kannst ja mal nachschauen ob ihr das auch hattet.
> 2: Sind ihre Eigenwerte betragsmäßig kleiner 1, so
> konvergiert sie auch.
Sind hier die Eigenwerte der Iterationsmatrix gemeint?
gruß
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Do 27.01.2005 | | Autor: | Aliena |
Hallo!
Du kannst die Diagonaldominanz nutzen:
Deine matrix erfüllt das schwache Zeilensummenkriterieum, d.h. die Zeilensumme ohne diagonalelement ist kleiner gleich Diagonalelement. (in mindestens einem Fall echt kleiner)
Zusätzlich ist deine matrix irreduzibel da sie eine Tridiagonalmatrix ist.
Mit diesen beiden Bedingungen ist Konvergenz gesichert.
Falls du das Eigenwertkriterium anwenden möchtest, beachte, dass du die EW der Iterationsmatix und nicht der Matrix A betrachten musst.
Sind diese alle betragsmäßig kleiner 1 folgt konvergenz.
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