Gauß-Algorithmus-Koeffizienten < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Sa 05.07.2008 | | Autor: | robin2k1 |
| Aufgabe | I. 32a+12b+4c+d=0
II. 12a+6b+2c=0
III. 4a+3b+2c+d=4
IV. a+b+c+d=5 |
Hallo,
ich schreibe nächste Woche Schulaufgabe, u.a. kommt dabei das Bestimmen von Funktionstermen dran. Mein Hauptproblem dabei ist die Auflösung der Koeffizienten. Wir machen das zwar nicht mit dem Gauß-Algorithmus in der Schule, da dieser aber angeblich einfacher sein soll und ich die anderen Weise, wie wir es in der Schule gemacht haben auch nicht kapiere, wollte ich es mit dem Gauß-Algorithmus versuchen. Allerdings versteh ich das auch nicht ganz, zumindest nicht nach den Erklärungen, die ich bisher gefunden habe. Ich weiß zwar in etwa, wie es funktioniert, aber ich komme zu keinem richtigen Ergebnis.
Die Aufgabe oben würde ich also erst so schreiben:
[mm] \pmat{ 32a & 12b & 4c & 1d \\ 12a & 6b &2c \\ 4a & 3b & 2c & 1d \\ 1a & 1b & 1c & 1d } \vektor{0 \\ 0 \\ 4 \\ 5}
[/mm]
Nur wie löse ich das dann auf, gibts da ein Schema, wie man es am besten auflöst? Und auf was muss man dann achten?
Gruß Robin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> I. 32a+12b+4c+d=0
> II. 12a+6b+2c=0
> III. 4a+3b+2c+d=4
> IV. a+b+c+d=5
Hallo!
> Hallo,
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> ich schreibe nächste Woche Schulaufgabe, u.a. kommt dabei
> das Bestimmen von Funktionstermen dran. Mein Hauptproblem
> dabei ist die Auflösung der Koeffizienten. Wir machen das
> zwar nicht mit dem Gauß-Algorithmus in der Schule, da
> dieser aber angeblich einfacher sein soll und ich die
> anderen Weise, wie wir es in der Schule gemacht haben auch
> nicht kapiere, wollte ich es mit dem Gauß-Algorithmus
> versuchen. Allerdings versteh ich das auch nicht ganz,
> zumindest nicht nach den Erklärungen, die ich bisher
> gefunden habe. Ich weiß zwar in etwa, wie es funktioniert,
> aber ich komme zu keinem richtigen Ergebnis.
> Die Aufgabe oben würde ich also erst so schreiben:
>
> [mm]\pmat{ 32a & 12b & 4c & 1d \\ 12a & 6b &2c \\ 4a & 3b & 2c & 1d \\ 1a & 1b & 1c & 1d } \vektor{0 \\ 0 \\ 4 \\ 5}[/mm]
So schreibt man das eigentlich nicht. Du suchst praktisch Lösungsvektoren
[mm] \vektor{a\\b\\c\\d},
[/mm]
welche die Gleichung
[mm]\pmat{ 32 & 12 & 4 & 1 \\ 12 & 6 &2 & 0 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }\vektor{a\\b\\c\\d} = \vektor{0 \\ 0 \\ 4 \\ 5}[/mm]
erfüllen. Man schreibt dann vereinfacht
[mm]\pmat{ 32 & 12 & 4 & 1 & | & 0 \\ 12 & 6 &2 & 0 & | & 0 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & | & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 5 }[/mm]
für das Gleichungssystem (also ohne den Vektor) --> sog. erweiterte Koeffizientenmatrix. Ziel ist es dann, links die Form
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & | & ? \\ 0 & 1 &0 & 0 & | & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & ? \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & ? }[/mm]
zu erhalten. Dann kannst du an den ? die Lösungen für die Variablen a,b,c,d einfach ablesen. Klar sollte dir sein, dass der Gauß-Algorithmus und die Matrixschreibweise lediglich eine Vereinfachung der Gleichungen darstellt hinsichtlich des Schreibaufwandes; wie du sehen kannst, hast du im Grunde nämlich auch in Matrix-Schweibweise immer noch mit denselben Gleichungen zu tun.
> Nur wie löse ich das dann auf, gibts da ein Schema, wie man
> es am besten auflöst? Und auf was muss man dann achten?
Du hast nun drei Möglichkeiten, deine erweiterte Koeffizientenmatrix umzuformen um die gewünschte Form zu erhalten.
1. Die erste Möglichkeit basiert auf dem Additionsverfahren:
Du kannst eine Zeile mal eine reelle Zahl auf eine andere Zeile draufaddieren.
Beispiel für obige Matrix: ( (-4)*Zeile4 + Zeile3 [mm] \to [/mm] Zeile3 ), die vierte Zeile wird also praktisch -4 mal auf die dritte Zeile addiert:
[mm]\pmat{ 32 & 12 & 4 & 1 & | & 0 \\ 12 & 6 &2 & 0 & | & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & | & -16 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 5 }[/mm]
Wichtig: Auch der Ergebnisvektor (also die rechte Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix) wird mitverändert! Das erscheint auch logisch, wenn man sich das ganze anstatt mit Matrizen wieder mit Gleichungen vorstellt.
2. Die zweite Möglichkeit besteht darin, eine Zeile mit einer beliebigen reellen Zahl (außer 0) zu multiplizieren. (wenn man es sich wieder mit Gleichungen vorstellt, erscheint auch das logisch erlaubt)
Beispiel für obige Matrix: ( [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)*Zeile2 \to [/mm] Zeile2 ), die zweite Zeile wird also praktisch "halbiert":
[mm]\pmat{ 32 & 12 & 4 & 1 & | & 0 \\ 6 & 3 &1 & 0 & | & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & | & -16 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 5 }[/mm]
Diese Umformungsart eignet sich vor allem, um große Zahlen zu verkleinern und die Matrix übersichtlicher werden zu lassen.
3. Man kann zwei beliebige Zeilen vertauschen. (Anschaulich ist das einfach das Vertauschen zweier Gleichungen)
Beispiel für obige Matrix: ( Zeile1 [mm] \leftrightarrow Zeile4 ), die erste Zeile wird also praktisch mit der vierten vertauscht:
[/mm] [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 6 & 3 &1 & 0 & | & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & | & -16 \\ 32 & 12 & 4 & 1 & | & 0 }[/mm]
Allgemeines Vorgehen:
Zunächst solltest du versuchen, die Matrix mit obigen Umformungen auf folgende Form zu bringen:
[mm]\pmat{ ? & ? & ? & ? & | & ? \\ 0 & ? &? & ? & | & ? \\ 0 & 0 & ? & ? & | & ? \\ 0 & 0 & 0 & ? & | & ? }[/mm]
Dann teilst du jede Zeile jeweils durch das erste Feld, was nicht 0 ist, sodass du auf folgende Form kommst:
[mm]\pmat{ 1 & ? & ? & ? & | & ? \\ 0 & 1 &? & ? & | & ? \\ 0 & 0 & 1 & ? & | & ? \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & ? }[/mm]
Nun addiere zunächst die unterste Zeile sooft auf die zweite, dass das Fragezeichen links verschwindet, usw.
Probiere dich aus!
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 06.07.2008 | | Autor: | robin2k1 |
So, also erstmal vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Jetzt ist mir zumindest schon mal klar wie man vorgehen muss. Ich habe die Aufgabe jetzt mal durchgerechnet, göaube aber irgednwie nicht, dass es ganz richtig ist, ich hab auch nicht ganz verstanden, wie das mit dem "jede Zeile durch das unterste Feld, dass nicht 0 ist teilen" gemeint war.
Ich hab die Matrix erstmal auf die Form gebracht:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 3/4 & 1/4 & -3/16 & | & 0 \\ 0 & 0 & -2/3 & -3 1/4 & | & -16 \\ 0 & 0 & 0 & 68 & | & 352 }
[/mm]
Danach hab ich jede Zeile so multipliziert, dass eben an den Stellen, an denen eine 1 sein soll, eine 1 entsteht. Ich wusste allerdings nicht genau ob man das auch so machen kann.
Als Ergebnisse kamen dann raus a=5, b=0, c=24, d=5,1.
Ich glaub aber nicht, dass das richtig ist.
Ansonsten hab ich irgendwie auch ziemlich lang gebraucht, um des erstmal auf diese Form zu bringen. Zu lang für eine Schulaufgabe :(
Naja habs vielleicht auch umständlicher gemacht, als nötig, wusste aber nicht, wie ichs anders hätte machen sollen
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Hallo!
Zunächst - ein LGS mit 4 Variablen und 4 Gleichungen ist auch äußerst selten auf dem Papier zu lösen. Eigentlich benutzt man dafür immer den Taschenrechner, insbesondere in der Schule.
Deine Lösung ist - wie du schon vermutet hast - leider falsch (auch deine Zwischenmatrix). Es ist allerdings sehr schwer, deinen Lösungsweg nachzuvollziehen, da man sehr viele verschiedene Möglichkeiten hat, umzuformen.
Ich möchte dir deswegen nochmal bis zur Zeilenstufenform helfen, und dann probierst du es nochmal!
[mm] \pmat{ 32 & 12 & 4 & 1 & | & 0 \\ 12 & 6 &2 & 0 & | & 0 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & | & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 5 }
[/mm]
Zunächst sollte man alles soweit wie möglich in kleine Zahlen umwandeln, deswegen schaue ich erstmal, ob man "kürzen" kann: Ja, in der zweiten Zeile ist jede Zahl durch 2 teilbar. Also rechne ich die zweite Zeile durch 2.
[mm] \pmat{ 32 & 12 & 4 & 1 & | & 0 \\ 6 & 3 &1 & 0 & | & 0 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & | & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 5 }
[/mm]
So. Nun müssen wir mal die erste Zeile in Angriff nehmen und die Zahlen leichter und kleiner machen. Dazu rechne ich die 2. Zeile (-4)-mal auf die erste.
Das mache ich natürlich auch deswegen, weil ich sehe, dass dann viele Nullen entstehen.
[mm] \pmat{ 8 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ 6 & 3 &1 & 0 & | & 0 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & | & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 5 }
[/mm]
Nun geht es aber zum Algorithmus über: Zunächst versuche ich, dass in der ersten Spalte nur noch in einer Zeile etwas von 0 verschiedenes steht. Ich denke, das sollte die unterste Zeile sein. (Ich versuche, Brüche zu vermeiden, weil man dann oft zum Taschenrechner greifen muss)
Also subtrahiere ich die unterste Zeile jetzt sooft von den anderen Zeilen wie nötig, damit die Ziffer in der ersten Spalte jeweils verschwindet.
[mm] \pmat{ 0 & -8 & -8 & -7 & | & -40 \\ 0 & -3 &-5 & -6 & | & -30 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & | & -16 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 5 }
[/mm]
Nun versuche ich dasselbe mit der zweiten Spalte. Da lacht mir gleich die dritte Zeile entgegen, die dort eine -1 hat und sich somit sehr gut zum Rechnen eignet. Diese rechne ich nun wieder so auf die anderen beiden oberen Zeilen, dass diese in der zweiten Spalte eine "0" bekommen.
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 8 & 17 & | & 88 \\ 0 & 0 &1 & 3 & | & 18 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & | & -16 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 5 }
[/mm]
Nun dasselbe Spiel noch mit der dritten Spalte:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & -7 & | & -56 \\ 0 & 0 &1 & 3 & | & 18 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & | & -16 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 5 }
[/mm]
So - und nun ist es ein Leichtes 
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 So 06.07.2008 | | Autor: | robin2k1 |
Ok, vielen Dank nochmal.
Bin jetzt letzlich auf dieses Ergebnis gekommen:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & -6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & | & -1 }
[/mm]
d.h. a=8, b=-6, c=4, d=-1
Hoffe, dass stimmt dann so. Habs jetzt am Schluss auch besser verstanden.
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Hallo!
> Ok, vielen Dank nochmal.
> Bin jetzt letzlich auf dieses Ergebnis gekommen:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & -6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & | & -1 }[/mm]
>
> d.h. a=8, b=-6, c=4, d=-1
>
> Hoffe, dass stimmt dann so. Habs jetzt am Schluss auch
> besser verstanden.
Deine Zahlen sind glaub ich richtig , aber du hast sie den falschen Variablen zugewiesen
Wenn du noch mal guckst, wie wir ursprünglich das LGS aufgestellt hatten, siehst du, dass die vierte Spalte für d steht, die dritte für c, die zweite für b und die erste für a!
Deine umgestellte, erweiterte Koeffizientenmatrix heißt doch eigentlich:
[mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 }\vektor{a\\b\\c\\d} = \vektor{8\\-6\\4\\-1}[/mm]
Und wenn du das jetzt mal die linke Seite ausmultiplizierst, steht da:
[mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 }\vektor{a\\b\\c\\d} = \vektor{d\\c\\b\\a} = \vektor{8\\-6\\4\\-1}[/mm],
deswegen müssen die Lösungs-Variablen wie von mir oben dargestellt zugewiesen werden!
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 So 06.07.2008 | | Autor: | robin2k1 |
OK, ales klar. Is ja auch logisch so. :)
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