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| Aufgabe | | Die Funktion lautet: [mm] -x^8 [/mm] + [mm] 12x^4 [/mm] - 42. Berechnen Sie Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte für f(x) und f'(x) und zeichnen Sie die Graphen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Freunde,
bei einer Funktion 3. oder 4. Grades wüsste ich wohl, dass man eine oder zwei Nullstellen raten bzw. schätzen muss. Aber bei dieser Aufgabe müsste ich 6 raten, oder seh ich das falsch. Weiss nich wie ich an die Sache rangehen soll. Wäre für jede Hilfe wirklich dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ivan!
Mit der Substitution $z \ := \ [mm] x^4$ $\gdw$ [/mm] $x \ = \ [mm] \pm\wurzel[4]{z}$ [/mm] erhältst Du folgende quadratische Gleichung, die man wie gewohnt lösen kann:
[mm] $$-z^2+12*z-42 [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
erst einmal danke für deine Hilfe. Wenn ich es so mache, wie du vorgeschlagen hast, erhalte ich auch nur zwei Nullstellen. Wie komme ich denn zu den restlichen sechs? Hatte so etwas noch nicht im Schulunterricht, würde mir das aber gerne aneignen. Können wir die Aufgabe mal durchgehen, ohne zu sehr ins Detail zu gehen? Vielen Dank schonmal. Gruß Ivan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ivan!
Welche Ergebnisse hast Du denn bisher erhalten? Bitte poste doch diese ...
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
habe 6,48 im + und - Bereich. Aber irgendwie passt das nicht ganz. Auf die anderen Nullstellen komme ich erst garnicht. So schwer kann das nicht sein, ich müsste nur wissen, wie genau. Wenn ich den Satz von Vieta benutzen würde, (x+6,48) * (x-6,48), löst sich der x-Wert in der Mitte ja auf, sonst passt es. Hab ich irgendwas nicht bedacht oder vergessen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Do 13.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du musst die Ergebnisse noch Rücksubstituieren
Also:
[mm] -x^{8}+12x^{4}-42=0
[/mm]
wird mit [mm] z=x^{4} [/mm] zu:
-z²+12z-42=0
[mm] \gdw0=z²-12z+42
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_{1;2}=6\pm\wurzel{36-42}
[/mm]
Daraus folgt, es gibt keine Nullstellen, weil du aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kannst.
Hättest du Werte für z bekommen, müsstest du dann noch die vierte Wurzel ziehen, um die Werte für x zu bekommen.
Bei den Extrema und Wendestellen klammere mal grösstmöglich aus, also
[mm] f'(x)=-8x^{7}+48x³
[/mm]
[mm] -8x^{7}+48x³=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{3}(-8x^{4}+48)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^{3}=0 [/mm] oder [mm] -8x^{4}+48=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ...
Marius
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Erst einmal danke für eure Hilfe. Habe mir mal eine Gleichung ausgesucht, die glatte Zahlen enthält, um ein besseres Verständnis für die Systematik zu erhalten. Die Gleichung [mm] x^8 [/mm] - [mm] 14x^4 [/mm] + 49 substituiert würde [mm] z^2 [/mm] - 14z + 49 ergeben. Als Nullstelle kriege ich folglich die Zahl 7 als Ergebnis, davon die vierte Wurzel ergibt 1,63. Das bedeutet wohl soviel wie dass bei 7 eine Nullstelle ist und bei 1,63 auch eine. Ich denke mir mal dass diese Nullstellen auch im negativen Bereich sind, also habe ich insgesamt schon 4. Wie komme ich an die restlichen 4 und ist das, was ich mir so zusammengesponnen habe überhaupt richtig? Vielen Dank nochmal für eure tatkräftige Unterstützung.
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Hallo Ivan_Helguera und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Erst einmal danke für eure Hilfe. Habe mir mal eine
> Gleichung ausgesucht, die glatte Zahlen enthält, um ein
> besseres Verständnis für die Systematik zu erhalten. Die
> Gleichung [mm]x^8[/mm] - [mm]14x^4[/mm] + 49 substituiert würde [mm]z^2[/mm] - 14z +
> 49 ergeben. Als Nullstelle kriege ich folglich die Zahl 7
> als Ergebnis, davon die vierte Wurzel ergibt 1,63. Das
> bedeutet wohl soviel wie dass bei 7 eine Nullstelle ist und
> bei 1,63 auch eine. Ich denke mir mal dass diese
> Nullstellen auch im negativen Bereich sind, also habe ich
> insgesamt schon 4. Wie komme ich an die restlichen 4 und
> ist das, was ich mir so zusammengesponnen habe überhaupt
> richtig? Vielen Dank nochmal für eure tatkräftige
> Unterstützung.
Eine Funktion muss nicht immer die maximal mögliche Anzahl von Nullstellen haben!
deine ursprüngliche Funktion habe ich mal gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
nun zu [mm] f(x)=x^8-14x^4+49
[/mm]
bei x=7 ist beileibe keine Nullstelle!
aus [mm] z^2-14z+49=0 [/mm] folgt doch z=7 und damit [mm] x^2=z=7 \Rightarrow x=\pm \wurzel{7}
[/mm]
und mehr Nullstellen gibt es auch nicht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo informix,
danke für deine Antwort/bildliche Darstellung. Das ich nur zwei Nullstellen habe, ist natürlich gut zu wissen. Nochmal danke und schönes Wochenende.
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