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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Di 14.02.2006 | | Autor: | Marie |
Hallo!
Ich habe heute die Aufgabe bekommen, mit der Funktion f(x)= x³ - 1/x² eine Kurvendiskussion durchzuführen. Ich weiß auch im Prinzip wie man das macht, nur verwirrt mich die x³ etwas.. muss ich diese jetzt in die ganze Kurvendiskussion mit einbeziehen oder reicht es wenn ich mit - 1/x² rechne? ( wäre die ganze funktion gebrochen-rational wäre es also kein problem :-/ ) .. wie stelle ich hier z.B den Definitionsbereich fest usw?
wäre für eine Hilfe sehr dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Di 14.02.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Zu deiner Frage ob du die ganze Funktion miteinbezihen musst: Ja, das musst du! 
Vom Prinzip her funktioniert jede Kurvendiskussion gleich. Ein Schema könnte etwa sein:
Untersuchung auf ...
1. Definitionsbereich
2. Symmetrieeigenschaften
3. Verhalten im Unendlichen
4. Stetigkeit/Unstetigkeit
5. Nullstellen
6. y-Achsenabschnitt
7. Extremstellen
8. Wendepunkte
9. Graph
Um einige Tips zu den einzelnen Punkten zu geben ...
1. Definitionsbereich
Der Definitionsbereich einer gebrochenrationalen Fkt. ist eben grade [mm] D_{f}=\IR [/mm] \ {x|f(x)=0}, in diesem speziellen Fall ist dies der Fall für x=0.
2. Symmetrieeigenschaften
Gilt etwa f(x)=f(-x) (Symm. zur y-Achse) oder f(x)=-f(-x) (Symm. zum Koordinatenursprung)?
3. Verhalten im Unendlichen
Betrachte [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow-\infty}f(x).
[/mm]
4. Stetigkeit/Unstetigkeit
Hat f(x) eine Polstelle?
5. Nullstellen
f(x)=0
6. y-Achsenabschnitt
f(0)
7. Extremstellen
f'(x)=0 ...
8. Wendepunkte
f''(x)=0
Wie du leicht siehst, ist der Knackpunkt gegenüber einer ganzrationalen Funktion der mit dem Definitionsbereich, den Polstellen und evtl. Asymptoten.
Alles andere wird völlig analog behandelt.
Hoffe hiermit ist einiges klar geworden!
Vlg, Kübi
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