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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Fr 25.04.2008 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | Bei einseitig eingeklemmten Blattfedern, auf deren Ende eine Kraft wirkt, kann die Biegung durch eine ganzrationale Funktion f vom Grad 3 beschrieben werden.
a)Bestimmen Sie für die angegebenen Abmessungen die Funktion f.
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Hallo zusammen,
ich hab hier noch zwei Problemaufgaben zum Thema: Gleichungen einer ganzrationalen Funktion aufstellen. Alle anderen Aufgaben konnte ich lösen, aber hier komm ich nicht auf das Ergebnis.
Mir gehts jetzt auch nicht um die Rechnung,das trau ich mir durchaus zu. Mein Problem ist,dass ich diese Punkte hab: f(0)= 0 , f(5)=0,5 , f(10)=1,6 und damit keine Funktion vom Grad 3 aufstellen kann. Ich habs in allen möglichen Varianten probiert (auch mit anderen Punkten, dh das Koordinatensystem anders gesetzt) und komm aber nicht auf die Lösung.
Nun würd ich erstmal grundsätzlich gerne wissen ob es möglich ist, damit die richtige Gleichung aufzustellen, oder ob ich einen Punkt übersehe oder einen Punkt falsch angegeben hab?
Danke schön im Voraus,
Liebe Grüße,
Kati
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich würde erstmal sagen, dass du die Punkte [mm] P_1(0|0), P_2(5|-0,5) [/mm] und [mm] P_3(10|-1,6) [/mm] nimmst. Zumindest würde ich das machen, denn wenn ich mir da ein Koordinatensystem hindenke, dann verläuft die feder ja dort unter der x-Achse.
Aber zur eigentlichen Problematik: Du könntest einfach sagen, dass die Funktion punktsymmetrisch ist! Ist ja nicht verboten, dann hättest du nur f(x)=ax³+cx+d zu betrachten, wobei d=0 ist, wegen [mm] P_1(0|0).
[/mm]
Oder aber du gehst von der Zeichnung aus und siehst, dass der Anstieg in [mm] P_1(0|0) [/mm] waagerecht, also =0 ist! Somit wirst du auch auf eine Gleichung ohne x² kommen, nur dass so die Begründung schöner wäre :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Fr 25.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Ah okay, vielen lieben Dank für den Hinweis mit der Punktsymmetrie bzw der "schöneren" Steigung 0 :) Darauf wäre ich selbst nie gekommen, ich hab die ganze Zeit verzweifelt nach nem weiteren Punkt gesucht! Daaaaaaanke schön!
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das mit der waagrechten Tangente im Punkt, wo die Feder eingeklemmt ist, hat einfach damit zu tun, dass man (hoffentlich) annehmen kann, dass das Material der Feder steif genug ist, um dort nicht gerade abzuknicken...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Fr 25.04.2008 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | Ein Metallstreifen ist im Punkt F waagrecht befestigt und liegt im Abstand von 10 cm im Punkt L lose auf. Durch Belastung biegt sich der Streifen so durch ,dass die maximale Durchbiegung 2 cm beträgt.
a) Beschreiben Sie die Form des Metallstreifens durch eine ganzrationale Funktion
(...) |
Ok, dann jetzt die zweite Problem-Aufgabe:
hier stellt sich mir erstmal die Frage woran ich erkenne welchen Grad meine Funktion haben muss. Man braucht ja immer einen Grad weniger als man Punkte hat.
Mein Problem: Ich finde schon wieder nicht alle Punkte, ich komme nur auf 2.
f(0)= 0 , f(10) = 0
oder wahlweise
f(0)= 2 , f(10)= 2
Ich weiss nicht wie ich da den Tiefpunkt einbauen kann, weil ich ja nicht weiss an welcher Stelle er vorliegt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Beachte, dass der Streifen in f(0) waagerecht aufliegen soll; sagt dir das evtl. auch etwas?
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Fr 25.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Meinst du dass ich dort dann f'(0)=0 hab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, du hast dort eine waagerechte Tangente, d.h. die Steigung der Kurve f'(x) an der Stelle x=0 ist 0, d.h. f'(0)=0.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Fr 25.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
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> Ich weiss nicht wie ich da den Tiefpunkt einbauen kann,
> weil ich ja nicht weiss an welcher Stelle er vorliegt.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Du suchst ja eine Funktion dritten Grades, also der Form f(x)=ax³+bx²+cx+d
Klar sollte sein, dass f(0)=0, f(2)=0 und f'(0)=0
Den Tiefpunkt kannst du bestimmen.
f'(x)=3ax²+2bx+c
f'(x)=0
[mm] \gdw [/mm] 3ax²+2bx+c=0
[mm] \gdw x²+\bruch{2b}{3a}x+\bruch{c}{3a}=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{1,2}=-\bruch{b}{3a}\pm\wurzel{\bruch{b²}{9a²}-\bruch{c}{3a}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{b}{3a}\pm\wurzel{\bruch{b²-3ac}{9a²}}
[/mm]
Also [mm] x_{1;2}=\bruch{-b\pm\wurzel{b²-3ac}}{3a}
[/mm]
Somit gilt als vierte Bedingung:
[mm] f(\bruch{-b\pm\wurzel{b²-3ac}}{3a})=-2
[/mm]
Ich würde jetzt aber erstmal die ersten drei Bedingungen bearbeiten:
f(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] d=0
f'(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
Mit c=0 werden die x-Koordinaten der Extremstellen:
[mm] x_{1;2}=\bruch{-b\pm\wurzel{b²-3ac}}{3a}
[/mm]
zu [mm] \bruch{-b\pm\wurzel{b²}}{3*a}=\bruch{-b\pm{b}}{3*a}
[/mm]
Also [mm] x_{1}=\bruch{-b-b}{3a}=\bruch{-2b}{3a}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{-b+b}{3a}=0
[/mm]
Die Extremstelle x=0 haben wir ja schon in den Bedingungen verarbeitet. Bleibt also die Extremtelle [mm] x_{1}=-\bruch{2b}{3a}
[/mm]
Hier weisst du:
[mm] f(-\bruch{2b}{3a})=-2
[/mm]
[mm] \gdw a\left(-\bruch{2b}{3a}\right)^{3}+b\left(-\bruch{2b}{3a}\right)^{2}+c\left(-\bruch{2b}{3a}\right)+d=-2
[/mm]
Mit c und d=0:
[mm] a\left(-\bruch{2b}{3a}\right)^{3}+b\left(-\bruch{2b}{3a}\right)^{2}=-2
[/mm]
Jetzt weisst du, dass f(2)=0
Also 8a+4b+0c+0d=0
(mit c,d=0)
b=-2a
Das mal in
[mm] a\left(-\bruch{2b}{3a}\right)^{3}+b\left(-\bruch{2b}{3a}\right)^{2}=-2
[/mm]
Einsetzen:
Also: [mm] a\left(-\bruch{2(-2a)}{3a}\right)^{3}+(-2a)\left(-\bruch{2(-2a)}{3a}\right)^{2}=-2
[/mm]
Und du hast nur noch eine Gleichung mit der Variable a
Damit bestimme mal a, dann kannst du ja mit b=-2a auch b bestimmen, und somit die Funktion f(x)=ax³+bx² bestimmen.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
Parallel dazu, bin ich von folgenden Funktion ausgegangen: f(x)=a*x²*(x-10). Diese hat Nullstellen bei 0 und 10, die bei 0 ist sogar doppelt -> x-Achse wird da berührt -> Anstieg dort ist 0.
Jetzt kannst du f(x) ableiten, den Extrempunkt mit x>0 bestimmen und dann auch [mm] f(x_E)=-2 [/mm] bestimmen. [mm] (x_E=\bruch{20}{3}).
[/mm]
Kommt das sicher aufs selbe raus, wie bei M. Rex :)
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Fr 25.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Teufel
> Hi nochmal!
>
> Parallel dazu, bin ich von folgenden Funktion ausgegangen:
> f(x)=a*x²*(x-10). Diese hat Nullstellen bei 0 und 10, die
> bei 0 ist sogar doppelt -> x-Achse wird da berührt ->
> Anstieg dort ist 0.
>
> Jetzt kannst du f(x) ableiten, den Extrempunkt mit x>0
> bestimmen und dann auch [mm]f(x_E)=-2[/mm] bestimmen.
> [mm](x_E=\bruch{20}{3}).[/mm]
>
> Kommt das sicher aufs selbe raus, wie bei M. Rex :)
>
> Teufel
Oder so. Das kommt aber auf dasselbe heraus, dass man sich die Funktion so "zusammenstaucht", dass nur noch eine Variable übrig ist.
Und genau das ist der Trick hier.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Fr 25.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Ach du meine Güte, sooooo viele freundliche Helfer!!! Vielen lieben Dank! Muss mich jetzt wirklich bemühen dass erstmal nicht mehr anzugucken, hab mir nur kurz angeguckt was ihr neues hinzugebracht habt - will ja nicht die Rechnung abschreiben, sondern es auch verstehn,damit ich eine ähnliche Aufgabe in Zukunft selbstständig lösen kann!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Fr 25.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Ach du meine Güte, sooooo viele freundliche Helfer!!!
> Vielen lieben Dank! Muss mich jetzt wirklich bemühen dass
> erstmal nicht mehr anzugucken, hab mir nur kurz angeguckt
> was ihr neues hinzugebracht habt - will ja nicht die
> Rechnung abschreiben, sondern es auch verstehn,damit ich
> eine ähnliche Aufgabe in Zukunft selbstständig lösen kann!
Das Ergebnis wirst du hier auch nirgendwo explizit finden. Und die Erklärungen sind auch immer dabei
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Sa 26.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Sorry, M.Rex, hab deine Mitteilung eben erst gesehn.
Habs gestern dann auch gleich alleine hinbekommen, war dann ja im Endeffekt auch gar nicht so schwer ;)
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