Ganze Zahlen (Anordnung) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 Mi 18.05.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Es seien a und b ganze Zahlen. Beweisen Sie:
i) Ist a<b, so ist [mm] {a+1\le b}
[/mm]
ii) Es gibt kein c [mm] \in \IZ [/mm] mit a<c<a+1
iii) Ist |a-b|<1, so ist a=b |
Hallo Freunde!
Bei dieser Aufgabe fehlt mir irgendwie der Anfang. Das alle Aussage stimmen ist absolut verständlich, nur weiß ich nicht, wie ich das denn zeigen soll. Und die letzte Aussage kann man doch sogar noch enger eingrenzen.
Meine Idee wäre es ein x als Länge zu definieren. Dann würde ich zeigen, dass der kleinste Abstand zwischen zwei ganzen Zahlen 1 wäre. Damit müssten sich alle Aussagen doch zeigen lassen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Mi 18.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Es seien a und b ganze Zahlen. Beweisen Sie:
>
> i) Ist a<b, so ist [mm]{a+1\le b}[/mm]
> ii) Es gibt kein c [mm]\in \IZ[/mm]
> mit a<c<a+1
> iii) Ist |a-b|<1, so ist a=b
> Hallo Freunde!
>
> Bei dieser Aufgabe fehlt mir irgendwie der Anfang. Das alle
> Aussage stimmen ist absolut verständlich, nur weiß ich
> nicht, wie ich das denn zeigen soll.
> Und die letzte Aussage
> kann man doch sogar noch enger eingrenzen.
Was meinst Du damit ?
>
> Meine Idee wäre es ein x als Länge zu definieren.
> Was ist x ?
> Dann
> würde ich zeigen, dass der kleinste Abstand zwischen zwei
> ganzen Zahlen 1 wäre. Damit müssten sich alle Aussagen
> doch zeigen lassen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zu i): aus a<b folgt: es ex. ein k [mm] \in \IZ [/mm] mit a+k=b. Zeige nun Du: k [mm] \ge [/mm] 1.
Zu ii): Nimm an, es gäbe ein c [mm] \in \IZ [/mm] mit: a<c<a+1.
Jetz bemühe i).
Zu iii): Die Ungleichung |a-b|<1 ist gleichbedeutend mit
-1 < a-b <1.
Nimm an, es wäre a [mm] \ne [/mm] b. Ohne Einschränkung kannst Du dann von a<b ausgehen.
Dann wende i) an.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Mi 18.05.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Hallo,
okay, habe es mal versucht mit den Hinweisen.
i) wegen a < b [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] mit:
a + k = b
[mm] \gdw [/mm] k = b - a
wegen a < b ist somit k [mm] \ge [/mm] 0 und da a,b [mm] \in \IZ [/mm] sogar k [mm] \ge [/mm] 1
ii) a < c < a + 1
wegen i) gilt für a < c:
a + 1 [mm] \le [/mm] c
[mm] \Rightarrow [/mm] a < a + 1
iii) Seien a [mm] \not= [/mm] b . Also gilt a < b :
weiter gilt: a + 1 [mm] \le [/mm] b
[mm] \Rightarrow [/mm] -1 < a - ( a + 1 ) < 1
[mm] \gdw [/mm] -1 < -1 < 1
Das ist aber ein Widerspruch. Also muss a = b sein.
Oder
iii) |a-b| < 1 [mm] \gdw [/mm] -1 < a - b < 1
-1 < a - b < 1
-1 < a - b
[mm] \gdw [/mm] 0 < a - b + 1
also a - b + 1 < 1 muss auch gelten.
[mm] \gdw [/mm] a - b < 0
So richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Mi 18.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> okay, habe es mal versucht mit den Hinweisen.
>
> i) wegen a < b [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm] mit:
> a + k = b
> [mm]\gdw[/mm] k = b - a
>
> wegen a < b ist somit k [mm]\ge[/mm] 0
sogar k>0 !
> und da a,b [mm]\in \IZ[/mm] sogar k
> [mm]\ge[/mm] 1
Wie gehts weiter ??
>
> ii) a < c < a + 1
> wegen i) gilt für a < c:
> a + 1 [mm]\le[/mm] c
> [mm]\Rightarrow[/mm] a < a + 1
??? a<a+1 ist trivial und keine Folgerung aus obigem !
Du sollst einen Widerspruch heröleiten !
>
>
> iii) Seien a [mm]\not=[/mm] b .
> Also gilt a < b :
Das gilt nicht, sondern wir können das annehmen. Hab ich Dir oben aber gesagt.
> weiter gilt: a + 1 [mm]\le[/mm] b
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] -1 < a - ( a + 1 ) < 1
Hä ? Was treibst Du da ??? Woraus folgerst Du das ?????
> [mm]\gdw[/mm] -1 < -1 < 1
>
> Das ist aber ein Widerspruch. Also muss a = b sein.
Das war Murks.
>
>
> Oder
>
> iii) |a-b| < 1 [mm]\gdw[/mm] -1 < a - b < 1
> -1 < a - b < 1
> -1 < a - b
> [mm]\gdw[/mm] 0 < a - b + 1
>
> also a - b + 1 < 1 muss auch gelten.
????
>
> [mm]\gdw[/mm] a - b < 0
>
> So richtig?
nein. Ich kann Dir nicht folgen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mi 18.05.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Tut mir leid, da war wirklich einiges schiefgegangen.
Also zur i)
Im Grund habe ich doch schon alles gezeigt.
Wegen a < b gilt a + k = b
[mm] \gdw [/mm] k = b - a [mm] \Rightarrow [/mm] k > 0 bzw. wegen a, b [mm] \in \IZ [/mm] k [mm] \le [/mm] 1
Betachtet man sich jetzt zum Beispiel den Zahlenstrahl, so sieht man, dass 1 der kleinst mögliche Abstand zwischen zwei Elemten der ganzen Zahlen sein muss. Also folgt daraus: a + 1 [mm] \le [/mm] b .
Wüsste jetzt nicht, wieso man diese Folgerung explizit zeigen muss, da es doch aus Kontruktionsgründen der Fall sein muss.
Wenn ich das falsch sehe, entschuldige ich mich natürlich.
ii) Hier habe ich den größten Mist gebaut. Natürlich findet sich kein c [mm] \in \IZ [/mm] , damit diese Aussage gilt.
Würde es dann nicht sogar reichen, wenn ich ein Gegenbeispiel bringen würde, zum Beispiel: Sei a = 3 [mm] \Rightarrow [/mm] 3 < c < 3 +1 [mm] \gdw [/mm] 3 < c < 4 , womit ja ersichtlich ist, dass sich kein c [mm] \in \IZ [/mm] finden lassen kann.
Aber ich will den Widerspruch mal aufgrund von i) zeigen.
Aus i) folgt: 1) a < c [mm] \Rightarrow [/mm] a + 1 [mm] \le [/mm] c
und 2) c < a +1 [mm] \Rightarrow [/mm] c + 1 [mm] \le [/mm] a + 1
1) [mm] \gdw [/mm] a [mm] \le [/mm] c - 1
2) [mm] \gdw [/mm] c [mm] \le [/mm] a
Das ist ja nun ein offensichtlicher Widerspruch für a, c [mm] \in \IZ [/mm]
iii) | a - b | < 1 [mm] \gdw [/mm] -1 < a - b < 1
Sei a [mm] \not= [/mm] b .
Wegen i): 1) -1 + 1 [mm] \le [/mm] a - b
2) a - b + 1 [mm] \le [/mm] 1
1) [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] a - b [mm] \gdw [/mm] b [mm] \le [/mm] a
2) [mm] \gdw [/mm] a - b [mm] \le [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] a [mm] \le [/mm] b
Da aber a [mm] \not= [/mm] b gilt, ist das ein Widerspruch.
Stimmt das jetzt soweit oder bin ich weiter auf dem falschen Weg?
Übringends, wenn ich zeigen will, dass wenn a > b gilt, dass a = b + k gelten muss, würde der Nachweis dann so aussehen?
Sei a, b [mm] \in \IZ [/mm] und k [mm] \in \IN [/mm]
Es gilt: a = b + k
[mm] \gdw [/mm] k = a - b
[mm] \Rightarrow [/mm] (wegen k [mm] \in \IN [/mm] ) a - b [mm] \ge [/mm] 1 und damit auch l := a - b mit l [mm] \in \IN [/mm] .
Daraus folgt ja eben dann, dass a > b sein muss.
Oder?
Gruß
Ardbeg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Do 19.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Tut mir leid, da war wirklich einiges schiefgegangen.
>
> Also zur i)
>
> Im Grund habe ich doch schon alles gezeigt.
Hast Du nicht.....
> Wegen a < b gilt a + k = b
... mit einem k [mm] \in \IZ...
[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] k = b - a [mm]\Rightarrow[/mm] k > 0 bzw. wegen a, b [mm]\in \IZ[/mm] k
> [mm]\le[/mm] 1
Nein, es folgt k [mm] \ge [/mm] 1.
> Betachtet man sich jetzt zum Beispiel den Zahlenstrahl, so
> sieht man, dass 1 der kleinst mögliche Abstand zwischen
> zwei Elemten der ganzen Zahlen sein muss. Also folgt
> daraus: a + 1 [mm]\le[/mm] b .
Anschaulich ist das völlig klar. Aber ein strenger Beweis ist das nicht !
Wir haben: b=a+k und k [mm] \ge [/mm] 1. Dann folgt
b=a+k [mm] \ge [/mm] a+1.
> Wüsste jetzt nicht, wieso man diese Folgerung explizit
> zeigen muss, da es doch aus Kontruktionsgründen der Fall
> sein muss.
> Wenn ich das falsch sehe, entschuldige ich mich natürlich.
>
> ii) Hier habe ich den größten Mist gebaut. Natürlich
> findet sich kein c [mm]\in \IZ[/mm] , damit diese Aussage gilt.
> Würde es dann nicht sogar reichen, wenn ich ein
> Gegenbeispiel bringen würde, zum Beispiel: Sei a = 3
> [mm]\Rightarrow[/mm] 3 < c < 3 +1 [mm]\gdw[/mm] 3 < c < 4 , womit ja
> ersichtlich ist, dass sich kein c [mm]\in \IZ[/mm] finden lassen
> kann.
>
> Aber ich will den Widerspruch mal aufgrund von i) zeigen.
> Aus i) folgt: 1) a < c [mm]\Rightarrow[/mm] a + 1 [mm]\le[/mm] c
O.K.
> und 2) c < a +1 [mm]\Rightarrow[/mm] c + 1 [mm]\le[/mm] a + 1
Hä ? Aus c<a+1 folgt c+1<a+2 !
> 1) [mm]\gdw[/mm] a [mm]\le[/mm] c - 1
?
> 2) [mm]\gdw[/mm] c [mm]\le[/mm] a
?
Das ist doch Unsinn !
>
> Das ist ja nun ein offensichtlicher Widerspruch für a, c
> [mm]\in \IZ[/mm]
Das sehe ich völlig anders !
Wir haben angenommen, es gäbe ein c [mm] \in \IZ [/mm] mit
a<c<a+1.
Aus i) bekommen wir a+1 [mm] \le [/mm] c. Dann fplgt
a+1 [mm] \le [/mm] c <a+1,
also a+1<a+1. Widerspruch !
>
> iii) | a - b | < 1 [mm]\gdw[/mm] -1 < a - b < 1
> Sei a [mm]\not=[/mm] b .
> Wegen i): 1) -1 + 1 [mm]\le[/mm] a - b
Das stimmt.
> 2) a - b + 1 [mm]\le[/mm] 1
??? Wo kommt das denn her ???
>
> 1) [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\le[/mm] a - b [mm]\gdw[/mm] b [mm]\le[/mm]a
O.K.
> 2) [mm]\gdw[/mm] a - b [mm]\le[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] a [mm]\le[/mm] b
2) war schon fraglich !!
>
> Da aber a [mm]\not=[/mm] b gilt, ist das ein Widerspruch.
>
> Stimmt das jetzt soweit
Nein.
Ich hab Dir oben gesagt, Du sollst einen Widerspruchsbeweis machen. Es geht aber auch direkt, sogar einfacher:
es gilt|a-b|<1, also
-1<a-b<1.
Ais i) folgt dann
0=-1+1 [mm] \le [/mm] a-b,
also
(*) a [mm] \le [/mm] b.
Nun ist |b-a|=|a-b|, daher auch
-1 <b-a<1.
Wieder mit i) bekommen wir:
0=-1+1 [mm] \le [/mm] b-a,
also
(**) b [mm] \le [/mm] a.
Aus (*) und (**) folgt a=b.
> oder bin ich weiter auf dem
> falschen Weg?
>
> Übringends, wenn ich zeigen will, dass wenn a > b gilt,
> dass a = b + k gelten muss, würde der Nachweis dann so
> aussehen?
>
> Sei a, b [mm]\in \IZ[/mm] und k [mm]\in \IN[/mm]
> Es gilt: a = b + k
> [mm]\gdw[/mm] k = a - b
> [mm]\Rightarrow[/mm] (wegen k [mm]\in \IN[/mm] ) a - b [mm]\ge[/mm] 1 und damit auch
> l := a - b mit l [mm]\in \IN[/mm] .
> Daraus folgt ja eben dann, dass a > b sein muss.
Merkwürdig ! Oben setzt Du voraus, dass a>b ist. Dann folgerst Du a>b. Was soll das ??
FRED
> Oder?
>
> Gruß
> Ardbeg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Do 19.05.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Hallo.
Okay, zur i) hätte ich also noch die Abschätzung treffen könne, dass sehe ich ein, und das mit k [mm] \ge [/mm] 1 war ein Tippfehler, tut mir leid.
Zur ii) bzw. iii)
Jeweils der erste Schritt 1) war doch okay, wieso also der Zweite nicht? Ich kann doch die zwei Ungleichungen separat betrachten. Dann kann ich doch auch jeweils i) auf beide Ungleichungen anwenden. Also eben,
1) a < c [mm] \Rightarrow [/mm] a + 1 [mm] \le [/mm] c (nach i)
2) c < a + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] c + 1 [mm] \le [/mm] a + 1 (nach i)
Ich habe ja nicht jeweils auf beiden Seiten um 1 addiert, sondern die Bedingung aus i) verwendet. Wieso also sollte das nicht gehen? Es gilt doch für alle Zahlen in [mm] \IZ [/mm]
Und darauf würde sich ja dann auch ein Widerspruch bilden.
Ähnlich bin ich auch bei iii) vorgegangen. Sehe jetzt nicht, warum dass nicht folgen sollte. Stehe ich da auf dem Schlauch?
Am Ende bin ich einfach von zwei neuen ganzen Zahlen ausgegangen. Von mir aus kann man aber auch die Ungleichung lassen und b > a beibehalten. Ich wollte eigentlich nur wissen, ob denn der Beweis dafür so richtig wäre.
Gruß
Ardbeg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Do 19.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
>
> Okay, zur i) hätte ich also noch die Abschätzung treffen
> könne, dass sehe ich ein, und das mit k [mm]\ge[/mm] 1 war ein
> Tippfehler, tut mir leid.
>
> Zur ii) bzw. iii)
> Jeweils der erste Schritt 1) war doch okay, wieso also der
> Zweite nicht? Ich kann doch die zwei Ungleichungen separat
> betrachten. Dann kann ich doch auch jeweils i) auf beide
> Ungleichungen anwenden. Also eben,
>
> 1) a < c [mm]\Rightarrow[/mm] a + 1 [mm]\le[/mm] c (nach i)
> 2) c < a + 1 [mm]\Rightarrow[/mm] c + 1 [mm]\le[/mm] a + 1 (nach i)
O.K., da hab ich nicht aufgepasst. Es folgt tatsächlich c+1 [mm] \le [/mm] a+1.
Aber: wozu brauchst Du das ??
FRED
>
> Ich habe ja nicht jeweils auf beiden Seiten um 1 addiert,
> sondern die Bedingung aus i) verwendet. Wieso also sollte
> das nicht gehen? Es gilt doch für alle Zahlen in [mm]\IZ[/mm]
> Und darauf würde sich ja dann auch ein Widerspruch bilden.
>
> Ähnlich bin ich auch bei iii) vorgegangen. Sehe jetzt
> nicht, warum dass nicht folgen sollte. Stehe ich da auf dem
> Schlauch?
>
> Am Ende bin ich einfach von zwei neuen ganzen Zahlen
> ausgegangen. Von mir aus kann man aber auch die Ungleichung
> lassen und b > a beibehalten. Ich wollte eigentlich nur
> wissen, ob denn der Beweis dafür so richtig wäre.
>
> Gruß
> Ardbeg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Do 19.05.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Damit hätte ich ja auch jeweils einen Widerspruch zeigen können.
Aber vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast, mir zu zeigen, wo in meiner Argumentationskette die Schwächen sind und wie ich diese behebe.
Gruß
Ardbeg
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