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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 28.05.2015 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | | Seien f,g ganze Funktionen mit f(g(z))=0 für alle [mm] z\in\IC. [/mm] Ist g nicht konstant, so ist f die Nullabbildung. |
Zur Lösung dieser Aufgabe habe ich mir überlegt, dass einen Widerspruchsbeweis machen könnte. Ich nehme dann an, dass f keine Nullabbildung ist und will dann daraus folgern, dass g konstant ist und mit Kontraposition folgt dann die Behauptung.
Ich nehme also an dass f nicht die Nullabbildung ist. In der Vorlesung hatten wir den Satz von Liouville, der besagt dass jede beschränkte, ganze Funktion konstant ist. Leider habe ich keine Idee wie man mit unseren Voraussetzungen und der Annahme, dass f keine Nullabbildung ist, folgern könnte, dass g beschränkt ist.
Eine andere Idee: Wegen unserer Annahme, dass f keine Nullabbildung ist, existiert ein [mm] z'\in\IC [/mm] sodass [mm] f(z')\not=0 [/mm] ist. Da f ganz ist, ist f entweder ein Polynom oder transzendent.
1.Fall: f ist ein Polynom. Dann hat f nach dem Hauptsatz der Algebra nur endlich viele Nullstellen und da f(g(z))=0 gilt sind g(z) die Nullstellen von f. Da es aber nur endliche viele gibt, muss g(z) für alle [mm] z\in\IC [/mm] die Werte für die das Polynom f=0 ist, annehmen. Das heißt einige Werte von g(z) wiederholen sich und somit folgt nach dem Identitätssatz, dass g gleich dieser konstanten Funktion ist. (Kann man das so folgern?)
2. Fall: f ist transzendent. O.E. f hat [mm] \infty [/mm] -viele Nullstellen (sonst betrachte Fall 1). Und ab hier weiß ich dann nicht mehr wie ich weitermachen kann um zufolgern dass g konstant ist.
Viele Grüße, MinLi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Do 28.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Seien f,g ganze Funktionen mit f(g(z))=0 für alle [mm]z\in\IC.[/mm]
> Ist g nicht konstant, so ist f die Nullabbildung.
> Zur Lösung dieser Aufgabe habe ich mir überlegt, dass
> einen Widerspruchsbeweis machen könnte. Ich nehme dann an,
> dass f keine Nullabbildung ist und will dann daraus
> folgern, dass g konstant ist und mit Kontraposition folgt
> dann die Behauptung.
>
> Ich nehme also an dass f nicht die Nullabbildung ist. In
> der Vorlesung hatten wir den Satz von Liouville, der besagt
> dass jede beschränkte, ganze Funktion konstant ist. Leider
> habe ich keine Idee wie man mit unseren Voraussetzungen und
> der Annahme, dass f keine Nullabbildung ist, folgern
> könnte, dass g beschränkt ist.
>
> Eine andere Idee: Wegen unserer Annahme, dass f keine
> Nullabbildung ist, existiert ein [mm]z'\in\IC[/mm] sodass
> [mm]f(z')\not=0[/mm] ist. Da f ganz ist, ist f entweder ein Polynom
> oder transzendent.
> 1.Fall: f ist ein Polynom. Dann hat f nach dem Hauptsatz
> der Algebra nur endlich viele Nullstellen und da f(g(z))=0
> gilt sind g(z) die Nullstellen von f. Da es aber nur
> endliche viele gibt, muss g(z) für alle [mm]z\in\IC[/mm] die Werte
> für die das Polynom f=0 ist, annehmen. Das heißt einige
> Werte von g(z) wiederholen sich und somit folgt nach dem
> Identitätssatz, dass g gleich dieser konstanten Funktion
> ist. (Kann man das so folgern?)
> 2. Fall: f ist transzendent. O.E. f hat [mm]\infty[/mm] -viele
> Nullstellen (sonst betrachte Fall 1). Und ab hier weiß ich
> dann nicht mehr wie ich weitermachen kann um zufolgern dass
> g konstant ist.
>
> Viele Grüße, MinLi
>
Da g nicht konstant ist, ist [mm] G:=g(\IC) [/mm] ein Gebiet. Wegen $f(g(z))=0$ für alle $ [mm] z\in\IC [/mm] $ ist
(*) $G [mm] \subseteq \{z \in \IC:f(z)=0\}$
[/mm]
Wäre f nicht konstant, so wäre [mm] \{z \in \IC:f(z)=0\} [/mm] diskret in [mm] \IC, [/mm]
also insbesondere höchstens abzählbar.
Die Inklusion in (*) hat da aber gewaltig was dagegen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Fr 29.05.2015 | | Autor: | MinLi |
Ich verstehe deinen Beweis nicht so richtig. Wieso muss $ [mm] \{z \in \IC:f(z)=0\} [/mm] $ diskret sein wenn f nicht konstant ist? Und wieso ist $ [mm] \{z \in \IC:f(z)=0\} [/mm] $ dann höchstens abzählbar? Warum ist das ein Widerspruch zu (*) und wie kann man aus f ist konstant folgern, dass f die Nullabbildung ist?
Viele Grüße, MinLi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Sa 30.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe deinen Beweis nicht so richtig. Wieso muss [mm]\{z \in \IC:f(z)=0\}[/mm]
> diskret sein wenn f nicht konstant ist?
Satz: Ist G ein Gebiet und f:G [mm] \to \IC [/mm] holomorph und ist f nicht konstant, so ist die Nullstellenmenge von f diskret in G.
Hattet Ihr diesen Satz ?
> Und wieso ist [mm]\{z \in \IC:f(z)=0\}[/mm]
> dann höchstens abzählbar?
Was bedeutet denn, dass eine Menge diskret in [mm] \IC [/mm] ist ?
> Warum ist das ein Widerspruch
> zu (*)
G ist überbazählbar
> und wie kann man aus f ist konstant folgern, dass f
> die Nullabbildung ist?
Ist f konstant =c und f(z) =0 für ein z, so ist c=0.
FRED
>
> Viele Grüße, MinLi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:59 Sa 30.05.2015 | | Autor: | MinLi |
Satz: Ist G ein Gebiet und f:G $ [mm] \to \IC [/mm] $ holomorph und ist f nicht konstant, so ist die Nullstellenmenge von f diskret in G.
Diesen Satz hatten wir leider noch nicht. Wie man mit diskreten Mengen umgeht weiß ich auch nicht, wir haben diskrete Mengen noch nicht eingeführt, aber ich habe mir Definitionen aus dem Internet durchgelesen und kann mir jetzt etwas darunter vorstellen.
Wie könnte man den Beweis denn noch lösen, ohne diesen Satz zu benutzen? War keiner meiner Ansätze richtig?
MinLi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 So 31.05.2015 | | Autor: | felixf |
Moin
> Satz: Ist G ein Gebiet und f:G [mm]\to \IC[/mm] holomorph und ist f
> nicht konstant, so ist die Nullstellenmenge von f diskret
> in G.
>
> Diesen Satz hatten wir leider noch nicht. Wie man mit
Hattet ihr den ![[]](/images/popup.gif) Identitätssatz (in irgendeiner Form)? Daraus folgt die obige Aussage: eine Menge heisst diskret, wenn sie keine Häufungspunkte hat.
LG Felix
> diskreten Mengen umgeht weiß ich auch nicht, wir haben
> diskrete Mengen noch nicht eingeführt, aber ich habe mir
> Definitionen aus dem Internet durchgelesen und kann mir
> jetzt etwas darunter vorstellen.
>
> Wie könnte man den Beweis denn noch lösen, ohne diesen
> Satz zu benutzen? War keiner meiner Ansätze richtig?
>
> MinLi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 So 31.05.2015 | | Autor: | MinLi |
Hallo
Ja den Identitätssatz hatten wir, aber ich verstehe den Zusammenhang nicht so richtig. Wie folgt aus dem Identitätssatz dass f diskret ist? Also wieso hat f keine Häufungspunkte?
Viele Grüße, MinLi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 So 31.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> Ja den Identitätssatz hatten wir, aber ich verstehe den
> Zusammenhang nicht so richtig.
f verschwindet auf der offenen Menge [mm] g(\IC). [/mm] Nach dem Id.-Satz verschwindet f auf [mm] \IC.
[/mm]
> Wie folgt aus dem
> Identitätssatz dass f diskret ist?
Es war nicht von "f diskret" die Rede !!!!
FRED
Also wieso hat f keine
> Häufungspunkte?
>
> Viele Grüße, MinLi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 31.05.2015 | | Autor: | MinLi |
$ [mm] \{z \in \IC:f(z)=0\} [/mm] $ soll diskret sein, aber wieso verschwindet f auf [mm] g(\IC)? [/mm] Weil f für [mm] z\in\IC [/mm] 0 ist? Und hat f deshalb auch keinen Häufungspunkt?
Viele Grüße, MinLi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 So 31.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\{z \in \IC:f(z)=0\}[/mm] soll diskret sein,
Ja, wenn f nicht konstant ist.
aber wieso
> verschwindet f auf [mm]g(\IC)?[/mm]
Nach Vor. ist doch f(g(z))=0 für alle $ [mm] z\in\IC. [/mm] $
> Weil f für [mm]z\in\IC[/mm] 0 ist?
> Und
> hat f deshalb auch keinen Häufungspunkt?
Was soll das ???? Mengen haben Häufungspunkte oder auch nicht.
Du wirfst alles kuntebunt durcheinander. Die nötigen Grundlagen fehlen Dir auch.
Nochmal von vorne:
Aus f(g(z))=0 für alle $ [mm] z\in\IC [/mm] $ folgt, dass f auf der offenen Menge [mm] g(\IC) [/mm] verschwindet. Nach dem Id. - Satz verschwindet dan f auf [mm] \IC [/mm] . Fertig !
FRED
> Viele Grüße, MinLi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 So 31.05.2015 | | Autor: | MinLi |
Ok, danke.
LG, MinLi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 02.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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