Ganze Funktion konstant < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:15 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Sei f eine ganze Funktion, für die [mm] \limes_{|z|\rightarrow\infty} [/mm] Im(f(z))= 0. Dann ist f [mm] \equiv [/mm] c für ein c [mm] \in \IR.
[/mm]
Hinweis: 1.Fall: f ist ein Polynom, 2. Fall: f ist transzendent |
Ich versuche gerade beim ersten Fall einen Widerspruch zu erzeugen, komme da aber irgendwie nicht weiter.
Habe angenommen, dass der Grad vom Polynom größer gleich 1 ist.
Und mir dann f(z) := [mm] \summe_{i=0}^{m} a_m z^m, [/mm] wobei der Grad des Polynoms ist und [mm] a_m \not= [/mm] 0 gilt.
Habe jetzt versucht durch abschätzen irgendwas widersprüchliches zu erzeugen, ist mir aber nicht gelungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:11 Fr 10.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f eine ganze Funktion, für die
> [mm]\limes_{|z|\rightarrow\infty}[/mm] Im(f(z))= 0. Dann ist f
> [mm]\equiv[/mm] c für ein c [mm]\in \IR.[/mm]
> Hinweis: 1.Fall: f ist ein
> Polynom, 2. Fall: f ist transzendent
> Ich versuche gerade beim ersten Fall einen Widerspruch zu
> erzeugen, komme da aber irgendwie nicht weiter.
> Habe angenommen, dass der Grad vom Polynom größer gleich
> 1 ist.
> Und mir dann f(z) := [mm]\summe_{i=0}^{m} a_m z^m,[/mm] wobei der
> Grad des Polynoms ist und [mm]a_m \not=[/mm] 0 gilt.
> Habe jetzt versucht durch abschätzen irgendwas
> widersprüchliches zu erzeugen, ist mir aber nicht
> gelungen.
Sei v(z):=Im(f(z)).
Wegen v(z) [mm] \to [/mm] 0 für |z| [mm] \to \infty [/mm] ex. ein r>0 mit: |v(z)| [mm] \le [/mm] 1 für |z|>r.
Auf [mm] K:=\{z \in \IC: |z| \le r\} [/mm] ist v beschränkt, da v stetig und K kompakt ist.
Fazit: v ist auf [mm] \IC [/mm] beschränkt, etwa
|v(z)| [mm] \le [/mm] M für alle z,
mit einem M>0.
Nun sei $w:=i(M+23)$. Dann hat die Gleichung f(z)=w keine Lösung in [mm] \IC.
[/mm]
Das ist dem Fundamentalsatz der Algebra aber gar nicht recht, wenn f nicht konstant ist !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:30 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Gnocchi |
> > Sei f eine ganze Funktion, für die
> > [mm]\limes_{|z|\rightarrow\infty}[/mm] Im(f(z))= 0. Dann ist f
> > [mm]\equiv[/mm] c für ein c [mm]\in \IR.[/mm]
> > Hinweis: 1.Fall: f ist
> ein
> > Polynom, 2. Fall: f ist transzendent
> > Ich versuche gerade beim ersten Fall einen Widerspruch
> zu
> > erzeugen, komme da aber irgendwie nicht weiter.
> > Habe angenommen, dass der Grad vom Polynom größer
> gleich
> > 1 ist.
> > Und mir dann f(z) := [mm]\summe_{i=0}^{m} a_m z^m,[/mm] wobei
> der
> > Grad des Polynoms ist und [mm]a_m \not=[/mm] 0 gilt.
> > Habe jetzt versucht durch abschätzen irgendwas
> > widersprüchliches zu erzeugen, ist mir aber nicht
> > gelungen.
>
>
> Sei v(z):=Im(f(z)).
>
> Wegen v(z) [mm]\to[/mm] 0 für |z| [mm]\to \infty[/mm] ex. ein r>0 mit:
> |v(z)| [mm]\le[/mm] 1 für |z|>r.
>
> Auf [mm]K:=\{z \in \IC: |z| \le r\}[/mm] ist v beschränkt, da v
> stetig und K kompakt ist.
>
> Fazit: v ist auf [mm]\IC[/mm] beschränkt, etwa
>
> |v(z)| [mm]\le[/mm] M für alle z,
>
> mit einem M>0.
>
> Nun sei [mm]w:=i(M+23)[/mm]. Dann hat die Gleichung f(z)=w keine
> Lösung in [mm]\IC.[/mm]
>
> Das ist dem Fundamentalsatz der Algebra aber gar nicht
> recht !
>
> FRED
Dankeschön :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:41 Fr 10.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei f eine ganze Funktion, für die
> > > [mm]\limes_{|z|\rightarrow\infty}[/mm] Im(f(z))= 0. Dann ist f
> > > [mm]\equiv[/mm] c für ein c [mm]\in \IR.[/mm]
> > > Hinweis: 1.Fall: f
> ist
> > ein
> > > Polynom, 2. Fall: f ist transzendent
> > > Ich versuche gerade beim ersten Fall einen
> Widerspruch
> > zu
> > > erzeugen, komme da aber irgendwie nicht weiter.
> > > Habe angenommen, dass der Grad vom Polynom größer
> > gleich
> > > 1 ist.
> > > Und mir dann f(z) := [mm]\summe_{i=0}^{m} a_m z^m,[/mm] wobei
> > der
> > > Grad des Polynoms ist und [mm]a_m \not=[/mm] 0 gilt.
> > > Habe jetzt versucht durch abschätzen irgendwas
> > > widersprüchliches zu erzeugen, ist mir aber nicht
> > > gelungen.
> >
> >
> > Sei v(z):=Im(f(z)).
> >
> > Wegen v(z) [mm]\to[/mm] 0 für |z| [mm]\to \infty[/mm] ex. ein r>0 mit:
> > |v(z)| [mm]\le[/mm] 1 für |z|>r.
> >
> > Auf [mm]K:=\{z \in \IC: |z| \le r\}[/mm] ist v beschränkt, da v
> > stetig und K kompakt ist.
> >
> > Fazit: v ist auf [mm]\IC[/mm] beschränkt, etwa
> >
> > |v(z)| [mm]\le[/mm] M für alle z,
> >
> > mit einem M>0.
> >
> > Nun sei [mm]w:=i(M+23)[/mm]. Dann hat die Gleichung f(z)=w keine
> > Lösung in [mm]\IC.[/mm]
> >
> > Das ist dem Fundamentalsatz der Algebra aber gar nicht
> > recht !
> >
> > FRED
>
> Dankeschön :)
Bitteschön. Aber weiter.....
Wie sieht es mit Fall 2 ( f ganz, aber kein Polynom ) aus ?
FRED
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