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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Behauptungen:
Für jedes n [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt:
[mm]E(Y_{n})=\left\{\begin{matrix}
\bruch{1-m^{n+1}}{1-m}, & \mbox{wenn } m\not=1 \\
n+1, & \mbox{wenn } m=1
\end{matrix}\right[/mm]
Ist außerdem [mm] \sigma^{2} [/mm] endlich, gilt außerdem:
[mm]Var(Y_{n})=\left\{\begin{matrix}
\bruch{\sigma^{2}}{(1-m)^{2}} \left( \bruch{1-m^{2n+1}}{1-m} - (2n+1)m^{n} \right), & \mbox{wenn }m\not=1 \\
\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)\sigma^{2}, & \mbox{wenn }m=1
\end{matrix}\right.[/mm]
Gegeben ist folgendes:
[mm] (Z_{n})_{n\in\IN_{0}} [/mm] GWP, [mm] Y_{n}=\sum_{k=0}^{n} Z_{k}
[/mm]
m ist das Reproduktionsmittel, [mm] \sigma^{2} [/mm] die Reproduktionsvarianz |
Das mit dem Erwartungswert habe ich bereits mit vollständiger Induktion gezeigt. Nur die Varianz bekomm ich nicht hin. Ich habe es auch mal mit vollständiger Induktion probiert und komme nicht weiter.
[mm] Var(Y_{n+1}) [/mm] = [mm] Var(Y_{n}+Z_{n+1}) [/mm] = [mm] Var(Y_{n}) [/mm] + [mm] Var(Z_{n+1}) [/mm] + [mm] 2Cov(Y_{n}, Z_{n+1})
[/mm]
Aber irgendwie komm ich damit auch nicht weiter.. Jetzt kann ich zwar für den ersten Term meine IV einsetzen aber die anderen Terme sind immer noch unbekannt.
Für Tipps wär ich sehr dankbar.. Egal welchen Ansatz ich versuche, ich lande immer entweder bei einer Kovarianz oder einem Produkt im Erwartungswert, das ich (da keine Unabhängigkeit vorliegt) nicht berechnen kann. Hat jemand eine Idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 19.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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