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| Aufgabe | Seien [mm] $f,g\in\IQ(X)$ [/mm] separable Polynome in einer Variablen mit rationalen Koeffizienten und [mm] $L_f=\IQ(X)/(f)$, $L_g=\IQ(X)/(g)$ [/mm] die dazugehörigen galoisschen Körpererweiterungen.
Wie kann man $f$ und $g$ ansehen, dass [mm] $L_f$ [/mm] und [mm] $L_g$ [/mm] isomorph sind? |
Kennt jemand wenigstens Fachartikel, die sich mit dieser Problematik beschäftigen?
Nur zur Veranschaulichung: Die Körper [mm] $\IQ(X)/(f)$ [/mm] und [mm] $\IQ(X)/(g)$ [/mm] sollten offensichtlich isomorph sein, falls $f(x)=g(x+q)$ für ein [mm] $q\in\IQ$. [/mm] Als konkretes Zahlenbeispiel könnte man nehmen, dass [mm] $\IQ(\sqrt2)$ [/mm] und [mm] $\IQ(1+\sqrt2)$ [/mm] isomorph sind.
Der Hintergrund ist dieser:
In meiner Dissertation bin ich auf ein "geometrisches" Lösungsverfahren für Gleichungen vierten Grades gekommen, das zu einer anderen kubischen Resolvente führt als die klassische Lösung. Die Resolventen erzeugen jeweils einen Zwischenkörper zwischen [mm] $\IQ$ [/mm] und dem Zerfällungskörper des Polynoms vierten Grades. Diese Zwischenkörper sollten isomorph sein und ich würde das gerne direkt auf Grundlage der (kubischen) Resolventenpolynome zeigen.
Nachdem die Koeffizienten der Resolventen von den Koeffizienten der Grundgleichung vierten Grades abhängen, kann man das eventuell noch ausnutzen, aber ich hatte in dieser Richtung bisher keinen Erfolg.
Liebe Grüße
Hugo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Sa 27.06.2015 | | Autor: | felixf |
Moin Hugo!
> Seien [mm]f,g\in\IQ(X)[/mm] separable Polynome in einer Variablen
> mit rationalen Koeffizienten und [mm]L_f=\IQ(X)/(f)[/mm],
> [mm]L_g=\IQ(X)/(g)[/mm] die dazugehörigen galoisschen
> Körpererweiterungen.
Dazu drei Dinge:
- erstmal meinst du [mm] $\IQ[X]/(f)$ [/mm] und [mm] $\IQ[x]/(g)$, [/mm] oder?
- dann sollten $f$ und $g$ irreduzibel sein, damit das Ergebnis jeweils ein Körper ist.
- das Ergebnis ist in den seltensten Fällen eine galoissche Erweiterung von [mm] $\IQ$. [/mm] Kann es sein, dass du eigentlich den Zerfällungskörper von $f$ und $g$ haben willst?
> Wie kann man [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] ansehen, dass [mm]L_f[/mm] und [mm]L_g[/mm] isomorph
> sind?
"Ansehen" ist immer schwierig. [mm] $L_f$ [/mm] und [mm] $L_g$ [/mm] sind (falls [mm] $L_f [/mm] = [mm] \IQ[x]/(f)$ [/mm] und [mm] $L_g [/mm] = [mm] \IQ[x]/(g)$ [/mm] und $f, g$ irreduzibel) genau dann isomorph, wenn [mm] $\deg [/mm] f = [mm] \deg [/mm] g$ und wenn $f$ eine Nullstelle in [mm] $L_g$ [/mm] hat (oder umgkehrt, wenn [mm] $\deg [/mm] f = [mm] \deg [/mm] g$ und $g$ eine Nullstelle in [mm] $L_f$ [/mm] hat).
> Kennt jemand wenigstens Fachartikel, die sich mit dieser
> Problematik beschäftigen?
>
> Nur zur Veranschaulichung: Die Körper [mm]\IQ(X)/(f)[/mm] und
> [mm]\IQ(X)/(g)[/mm] sollten offensichtlich isomorph sein, falls
> [mm]f(x)=g(x+q)[/mm] für ein [mm]q\in\IQ[/mm]. Als konkretes Zahlenbeispiel
> könnte man nehmen, dass [mm]\IQ(\sqrt2)[/mm] und [mm]\IQ(1+\sqrt2)[/mm]
> isomorph sind.
Hier sind die beiden Körper sogar gleich :)
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Rückmeldung.
> - erstmal meinst du [mm]\IQ[X]/(f)[/mm] und [mm]\IQ[x]/(g)[/mm], oder?
Ja, natürlich. Ich bin halt schon ziemlich eingerostet, was die Notation betrifft.
> - dann sollten [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] irreduzibel sein, damit das
> Ergebnis jeweils ein Körper ist
Ja natürlich, das hatte ich in der "Aufgabenstellung", bevor ich das ganze durch "separabel" ersetzt habe. Die Forderung, dass alle Nullstellen nur einfach sind, bezieht sich dabei gar nicht auf $f$ und $g$, das kann man also vergessen.
Grundsätzlich geht es mir tatsächlich darum, wie man die Gleichheit der Zerfällungskörper zweier rationaler Polynome dritten Grades zweigen kann. Für rationale p,q,r lauten die Polynome
[mm] $$f(x)=x^3+2px^2+(p^2-4r)x-q^2$$
[/mm]
und
[mm] $$g(x)=x^3-px^2-4rx+(4pr-q^2)$$
[/mm]
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Hallo,
nachdem ich nun $g(x)$ noch einmal angeschaut habe, ist mir endlich aufgefallen, dass $f(x)=g(x+p)$.
Zu meiner Verteidigung muss ich sagen, dass $g(x)$ nicht das ursprüngliche Polynom ist, das ich mit $f(x)$ vergleichen musste, sondern ich vorher schon eine weitere Umformung exklusiv für den MatheRaum durchgeführt habe. Insofern hat die Stellung der Frage hier viel weitergeholfen.
Danke an Felix, der auf meine Frage reagiert hat. 
Liebe Grüße
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Mo 29.06.2015 | | Autor: | felixf |
Moin Hugo,
> nachdem ich nun [mm]g(x)[/mm] noch einmal angeschaut habe, ist mir
> endlich aufgefallen, dass [mm]f(x)=g(x+p)[/mm].
das nenn ich mal eine hübsche Lösung!
> Zu meiner Verteidigung muss ich sagen, dass [mm]g(x)[/mm] nicht das
> ursprüngliche Polynom ist, das ich mit [mm]f(x)[/mm] vergleichen
> musste, sondern ich vorher schon eine weitere Umformung
> exklusiv für den MatheRaum durchgeführt habe. Insofern
> hat die Stellung der Frage hier viel weitergeholfen.
Das glaub ich sofort. Oft lösen sich Fragen ganz von allein, wenn man erstmal die "richtige" Fragestellung gefunden hat :)
Liebe Grüsse,
Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Mi 05.08.2015 | | Autor: | felixf |
Moin Hugo
Ich hab deine Frage mal auf "reagiert" gestellt, da das was du eigentlich wissen wolltest offenbar beantwortet ist, auch wenn die Frage die du gestellt hast allgemeiner ist. Ich hoffe das ist OK für dich
LG Felix
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