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| Aufgabe | | Man zerlege [mm] f:=X^4+X+1 [/mm] in [mm] \mathbb{F}_2 [/mm] in Primfaktoren. Sei K ein Zerfällungskörper von f. Man bestimme [mm] [K:\mathbb{F}_2], [/mm] die Galoisgruppe von [mm] K/\mathbb{F}_2 [/mm] und alle Zwischenkörper. |
Hallo,
wenn ich das richtig sehe, ist f irreduzibel über [mm] \mathbb{F}_2.
[/mm]
Sei a eine Nullstelle von f, dann ist auch a+1 eine Nullstelle. Damit habe ich f ja aber noch nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegt. Ich weiß aber nicht wie ich jetzt weiter machen soll.
Ich dachte mir, dass man alle Nullstellen aus a konstruieren kann. ich sehe aber keine weiteren. Wie komme ich an die dran? Muss ich dann eine weitere Nullstelle, etwa b wählen? Dann wäre wieder b+1 Nullstelle.
Weil a Nullstelle von f ist und f irreduzibel, wäre ja [mm] [\mathbb{F}_2(a):\mathbb{F}_2]=4. [/mm]
Jetzt wäre [mm] \mathbb{F}_2(a,b) [/mm] der Zerfällungskörper. [mm] [\mathbb{F}_2(a,b):\mathbb{F}_2(a)] [/mm] sollte =2 sein, da man die beiden Nullstellen, die aus b konstruiert werden über [mm] \mathbb{F}_2(a) [/mm] abspalten kann, demnach wäre bei mir [mm] [K:\mathbb{F}_2]=8.
[/mm]
Ich finde das aber etwas abstrakt und bin mir sehr unsicher, inwiefern das richtig ist.
Wie ich dann mit der Galoisgruppe umgehen soll und insbesondere mit den Untergruppen, frag ich mich auch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Do 30.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man zerlege [mm]f:=X^4+X+1[/mm] in [mm]\mathbb{F}_2[/mm] in Primfaktoren. Sei
> K ein Zerfällungskörper von f. Man bestimme
> [mm][K:\mathbb{F}_2],[/mm] die Galoisgruppe von [mm]K/\mathbb{F}_2[/mm] und
> alle Zwischenkörper.
>
> wenn ich das richtig sehe, ist f irreduzibel über
> [mm]\mathbb{F}_2.[/mm]
Ja.
> Sei a eine Nullstelle von f, dann ist auch a+1 eine
> Nullstelle. Damit habe ich f ja aber noch nicht
> vollständig in Linearfaktoren zerlegt. Ich weiß aber
> nicht wie ich jetzt weiter machen soll.
Es ist [mm] $\IF_4 [/mm] = [mm] \IF_2[X] [/mm] / [mm] (X^4 [/mm] + X + 1)$. Rechne da doch mal drinnen die Faktorisierung aus. So schwer ist das nicht. Zwei Nullstellen kennst du ja schon: die Restklassen von $X$ und $X+1$. (Nenn die Restklasse von $X$ mal [mm] $\alpha$, [/mm] dann hast du die Nullstellen [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\alpha [/mm] + 1$.)
(Alternativ kannst du auch mit dem Frobeniusautomorphismus [mm] $\pi [/mm] : [mm] \IF_4 \to \IF_4$, [/mm] $a [mm] \mapsto a^2$.)
[/mm]
> Ich dachte mir, dass man alle Nullstellen aus a
> konstruieren kann.
Ja, indem du [mm] $\pi$ [/mm] anwendest.
> ich sehe aber keine weiteren. Wie komme
> ich an die dran? Muss ich dann eine weitere Nullstelle,
> etwa b wählen? Dann wäre wieder b+1 Nullstelle.
> Weil a Nullstelle von f ist und f irreduzibel, wäre ja
> [mm][\mathbb{F}_2(a):\mathbb{F}_2]=4.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt wäre [mm]\mathbb{F}_2(a,b)[/mm] der Zerfällungskörper.
> [mm][\mathbb{F}_2(a,b):\mathbb{F}_2(a)][/mm] sollte =2 sein, da man
> die beiden Nullstellen, die aus b konstruiert werden über
Warum sollte es 2 sein? Ich bezweifle das stark.
> [mm]\mathbb{F}_2(a)[/mm] abspalten kann, demnach wäre bei mir
> [mm][K:\mathbb{F}_2]=8.[/mm]
Das ist falsch.
> Ich finde das aber etwas abstrakt und bin mir sehr
> unsicher, inwiefern das richtig ist.
>
> Wie ich dann mit der Galoisgruppe umgehen soll und
> insbesondere mit den Untergruppen, frag ich mich auch.
Was weisst du ueber endliche Koerper, insbesondere deren Galoisgruppen etc.?
LG Felix
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> Moin!
>
> > Man zerlege [mm]f:=X^4+X+1[/mm] in [mm]\mathbb{F}_2[/mm] in Primfaktoren. Sei
> > K ein Zerfällungskörper von f. Man bestimme
> > [mm][K:\mathbb{F}_2],[/mm] die Galoisgruppe von [mm]K/\mathbb{F}_2[/mm] und
> > alle Zwischenkörper.
> >
> > wenn ich das richtig sehe, ist f irreduzibel über
> > [mm]\mathbb{F}_2.[/mm]
>
> Ja.
>
> > Sei a eine Nullstelle von f, dann ist auch a+1 eine
> > Nullstelle. Damit habe ich f ja aber noch nicht
> > vollständig in Linearfaktoren zerlegt. Ich weiß aber
> > nicht wie ich jetzt weiter machen soll.
>
> Es ist [mm]\IF_4 = \IF_2[X] / (X^4 + X + 1)[/mm]. Rechne da doch mal
> drinnen die Faktorisierung aus. So schwer ist das nicht.
> Zwei Nullstellen kennst du ja schon: die Restklassen von [mm]X[/mm]
> und [mm]X+1[/mm]. (Nenn die Restklasse von [mm]X[/mm] mal [mm]\alpha[/mm], dann hast
> du die Nullstellen [mm]\alpha[/mm] und [mm]\alpha + 1[/mm].)
>
Wieso ist denn [mm]\IF_4 = \IF_2[X] / (X^4 + X + 1)[/mm]? Ich dachte [mm] \IF_2[X] [/mm] / [mm] (X^4 [/mm] + X + 1) ist ein Körper mit [mm] 2^4 [/mm] Elemente. Es gilt doch bereits [mm] \IF_2[X] [/mm] / [mm] (X^2+ [/mm] X + [mm] 1)=\IF_4.
[/mm]
Vielleicht meintest du auch [mm] \IF_2[X] [/mm] / [mm] (X^2 [/mm] + X + 1)? Wenn ich [mm] X^4+X+1 [/mm] in [mm] \IF_2[X] [/mm] / [mm] (X^4 [/mm] + X + 1) betrachte ist das ja 0.
Also wie du das genau mit der Faktorisierung hier meintest, weiß ich nicht, bzw. kann ich nicht umsetzen.
Dennoch, denke ich, dass mit Frobenius dann auch [mm] \alpha^2 [/mm] und [mm] (\alpha+1)^2 [/mm] Nullstellen sind, weil das dann entsprechend [mm] 0^2=0 [/mm] wäre.
Damit hätte ich alle 4 Nullstellen.
> (Alternativ kannst du auch mit dem Frobeniusautomorphismus
> [mm]\pi : \IF_4 \to \IF_4[/mm], [mm]a \mapsto a^2[/mm].)
>
> > Ich dachte mir, dass man alle Nullstellen aus a
> > konstruieren kann.
>
> Ja, indem du [mm]\pi[/mm] anwendest.
>
> > ich sehe aber keine weiteren. Wie komme
> > ich an die dran? Muss ich dann eine weitere Nullstelle,
> > etwa b wählen? Dann wäre wieder b+1 Nullstelle.
> > Weil a Nullstelle von f ist und f irreduzibel, wäre ja
> > [mm][\mathbb{F}_2(a):\mathbb{F}_2]=4.[/mm]
>
>
>
> > Jetzt wäre [mm]\mathbb{F}_2(a,b)[/mm] der Zerfällungskörper.
> > [mm][\mathbb{F}_2(a,b):\mathbb{F}_2(a)][/mm] sollte =2 sein, da man
> > die beiden Nullstellen, die aus b konstruiert werden über
>
> Warum sollte es 2 sein? Ich bezweifle das stark.
>
> > [mm]\mathbb{F}_2(a)[/mm] abspalten kann, demnach wäre bei mir
> > [mm][K:\mathbb{F}_2]=8.[/mm]
>
> Das ist falsch.
>
> > Ich finde das aber etwas abstrakt und bin mir sehr
> > unsicher, inwiefern das richtig ist.
> >
> > Wie ich dann mit der Galoisgruppe umgehen soll und
> > insbesondere mit den Untergruppen, frag ich mich auch.
>
> Was weisst du ueber endliche Koerper, insbesondere deren
> Galoisgruppen etc.?
Sehr wenig. Wenn ich aber den Grad der Erweiterung nun habe, was hier 4 wäre, dann hat die Galoisgruppe dieselbe Ordnung.
Wenn ich das richtig sehe, sollte bei endlichen Körpern die Galoisgruppe zyklisch sein. Demnach gibt es in ihr 2 Primitivwurzeln und ein Element der Ordnung 2. Demnach würde die Identität eine Untergruppe bilden und das Element der Ordnung 2. Jetzt müsste ich nur noch wissen, auf welche Zwischenkörper mich das führt? Die Identität liefert mir ja wieder [mm] K/\IF_2[X]. [/mm] Der Fixkörper [mm] K^G, [/mm] wobei G die Galoisgruppe sein soll, führt mich wieder zu [mm] \IF_2[X]. [/mm] Frage ich mich nur, was das Element der Ordnung 2 ist und welchen Zwischenkörper es mir liefert?
>
> LG Felix
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Ok ich präsentiere einfach mal meine Lösung. Vielleicht kannst du sagen, ob sie richtig ist?
Man findet die Nullstellen [mm] \alpha,\alpha+1,\alpha^{2},\alpha^{2}+1. [/mm] Somit ist [mm] \mathbb{F}_{2}(\alpha) [/mm] der Zerfällungskörper von [mm] X^{4}+X+1. [/mm] Da das irreduzibel ist, ist es das Minimalpolynom von [mm] \alpha. [/mm] Dann gilt [mm] \mathbb{F}_{2}(\alpha)\simeq\mathbb{F}_{2}[X]/(X^{4}+X+1). [/mm] Und das ist der Körper mit [mm] 2^{4}=16 [/mm] Elemente.
Zunächst gilt dann: Die Galoisgruppe von [mm] \mathbb{F}_{2}(\alpha)/\mathbb{F}_{2} [/mm] hat die Ordnung 4 und ist zyklisch, demnach besitzt sie eine echte Untergruppe der Ordnung 2. D.h. der einzige Zwischenkörper ist der Körper mit [mm] 2^{2} [/mm] Elemente, also [mm] \mathbb{F}_{4}.
[/mm]
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Fr 01.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok ich präsentiere einfach mal meine Lösung. Vielleicht
> kannst du sagen, ob sie richtig ist?
>
> Man findet die Nullstellen
> [mm]\alpha,\alpha+1,\alpha^{2},\alpha^{2}+1.[/mm] Somit ist
> [mm]\mathbb{F}_{2}(\alpha)[/mm] der Zerfällungskörper von
> [mm]X^{4}+X+1.[/mm] Da das irreduzibel ist, ist es das
> Minimalpolynom von [mm]\alpha.[/mm] Dann gilt
> [mm]\mathbb{F}_{2}(\alpha)\simeq\mathbb{F}_{2}[X]/(X^{4}+X+1).[/mm]
> Und das ist der Körper mit [mm]2^{4}=16[/mm] Elemente.
>
> Zunächst gilt dann: Die Galoisgruppe von
> [mm]\mathbb{F}_{2}(\alpha)/\mathbb{F}_{2}[/mm] hat die Ordnung 4 und
> ist zyklisch, demnach besitzt sie eine echte Untergruppe
> der Ordnung 2. D.h. der einzige Zwischenkörper ist der
> Körper mit [mm]2^{2}[/mm] Elemente, also [mm]\mathbb{F}_{4}.[/mm]
>
> Richtig?
Ja.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Fr 01.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Man zerlege [mm]f:=X^4+X+1[/mm] in [mm]\mathbb{F}_2[/mm] in Primfaktoren. Sei
> > > K ein Zerfällungskörper von f. Man bestimme
> > > [mm][K:\mathbb{F}_2],[/mm] die Galoisgruppe von [mm]K/\mathbb{F}_2[/mm] und
> > > alle Zwischenkörper.
> > >
> > > wenn ich das richtig sehe, ist f irreduzibel über
> > > [mm]\mathbb{F}_2.[/mm]
> >
> > Ja.
> >
> > > Sei a eine Nullstelle von f, dann ist auch a+1 eine
> > > Nullstelle. Damit habe ich f ja aber noch nicht
> > > vollständig in Linearfaktoren zerlegt. Ich weiß aber
> > > nicht wie ich jetzt weiter machen soll.
> >
> > Es ist [mm]\IF_4 = \IF_2[X] / (X^4 + X + 1)[/mm]. Rechne da doch mal
> > drinnen die Faktorisierung aus. So schwer ist das nicht.
> > Zwei Nullstellen kennst du ja schon: die Restklassen von [mm]X[/mm]
> > und [mm]X+1[/mm]. (Nenn die Restklasse von [mm]X[/mm] mal [mm]\alpha[/mm], dann hast
> > du die Nullstellen [mm]\alpha[/mm] und [mm]\alpha + 1[/mm].)
> >
> Wieso ist denn [mm]\IF_4 = \IF_2[X] / (X^4 + X + 1)[/mm]? Ich dachte
> [mm]\IF_2[X][/mm] / [mm](X^4[/mm] + X + 1) ist ein Körper mit [mm]2^4[/mm] Elemente.
> Es gilt doch bereits [mm]\IF_2[X][/mm] / [mm](X^2+[/mm] X + [mm]1)=\IF_4.[/mm]
Ich meinte auch [mm] $\IF_{2^4} [/mm] = [mm] \IF_{16}$.
[/mm]
> Also wie du das genau mit der Faktorisierung hier meintest,
> weiß ich nicht, bzw. kann ich nicht umsetzen.
Nun: als Produkt von Linearfaktoren schreiben.
> Dennoch, denke ich, dass mit Frobenius dann auch [mm]\alpha^2[/mm]
> und [mm](\alpha+1)^2[/mm] Nullstellen sind, weil das dann
> entsprechend [mm]0^2=0[/mm] wäre.
> Damit hätte ich alle 4 Nullstellen.
Ja. Und [mm] $(\alpha+1)^2 [/mm] = [mm] \alpha^2 [/mm] + 1$.
LG Felix
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